Eventos complementares: em que consistem e exemplos

Os eventos adicionais são definidos como qualquer grupo de eventos que se excluem mutuamente uns dos outros, em que a união deles é capaz de cobrir totalmente o espaço de amostra ou possíveis casos de experimentação (são exaustiva).

Sua interseção resulta no conjunto vazio (∅). A soma das probabilidades de dois eventos complementares é igual a 1. Ou seja, 2 eventos com essa característica cobrem completamente a possibilidade de eventos de um experimento.

Eventos complementares: em que consistem e exemplos 1

Fonte: pexels.com

Quais são os eventos complementares?

Um caso genérico muito útil para entender esses tipos de eventos é lançar um dado:

Ao definir o espaço da amostra, todos os casos possíveis que o experimento oferece são nomeados. Este conjunto é conhecido como o universo.

Espaço da amostra (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

As opções não estipuladas no espaço amostral não fazem parte das possibilidades do experimento. Por exemplo { deixe o número sete sair} Tem uma probabilidade de zero.

Dependendo do objetivo da experimentação, conjuntos e subconjuntos são definidos, se necessário. A notação de conjunto a ser usada também é determinada de acordo com o objetivo ou parâmetro a ser estudado:

A: { Sair de um número par} = {2, 4, 6}

B: { Sair de um número ímpar } = {1, 3, 5}

Nesse caso, A e B são eventos complementares. Como os dois conjuntos são mutuamente exclusivos (um número par ímpar, por sua vez, não pode ser gerado) e a união desses conjuntos cobre todo o espaço da amostra.

Outros subconjuntos possíveis no exemplo anterior são:

C : { Sair de um número primo } = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Os conjuntos A, B e C são escritos em notação descritiva e analítica , respectivamente. A notação algébrica foi usada para o conjunto D , descrevendo os possíveis resultados correspondentes ao experimento na notação analítica .

Observa-se no primeiro exemplo que sendo eventos complementares A e B

A: { Sair de um número par} = {2, 4, 6}

B: { Sair de um número ímpar } = {1, 3, 5}

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Os seguintes axiomas são atendidos:

  1. AUB = S ; A união de dois eventos complementares é igual ao espaço da amostra
  2. A ∩B = ; A interseção de dois eventos complementares é igual ao conjunto vazio
  3. A ‘= B ᴧ B’ = A; Cada subconjunto é igual ao complemento de sua contraparte
  4. A ‘∩ A = B’ ∩ B = ; A interseção de um conjunto com seu complemento é igual a vazio
  5. A ‘UA = B’ UB = S; A união de um conjunto com seu complemento é igual ao espaço da amostra

Nos estudos estatísticos e probabilísticos, eventos complementares fazem parte da teoria dos conjuntos, sendo muito comuns entre as operações realizadas nessa área.

Para aprender mais sobre eventos complementares , é necessário entender certos termos que ajudam a defini-los conceitualmente.

Quais são os eventos?

São possibilidades e eventos resultantes da experimentação, capazes de oferecer resultados em cada uma de suas iterações. Os eventos geram os dados a serem registrados como elementos de conjuntos e subconjuntos, as tendências nesses dados são motivos para estudo de probabilidade.

Exemplos de eventos são:

  • A moeda apontou o rosto
  • A partida resultou em um empate
  • O químico reagiu em 1,73 segundos
  • A velocidade no ponto máximo era de 30 m / s
  • O dado marcou o número 4

O que é um complemento?

Com relação à teoria dos conjuntos. Um complemento refere-se à parte do espaço da amostra, que precisa ser adicionada a um conjunto para que ele abranja seu universo. É tudo o que não faz parte do conjunto.

Uma maneira bem conhecida de denotar complemento na teoria de conjuntos é:

Um complemento

Diagrama de Venn

Eventos complementares: em que consistem e exemplos 2

Fonte: pixabay.com

É um esquema de conteúdo gráfico – analítico, amplamente utilizado em operações matemáticas envolvendo conjuntos, subconjuntos e elementos. Cada conjunto é representado por uma letra maiúscula e uma figura oval (esse recurso não é obrigatório em seu uso) que contém todos e cada um de seus elementos.

Os eventos adicionais são vistas de diagramas de Venn directamente, como o seu método gráfico para identificar os somadores correspondentes a cada conjunto.

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Simplesmente visualizar completamente o ambiente de um conjunto, omitindo sua borda e estrutura interna, permite definir o complemento do conjunto estudado.

Exemplos de eventos complementares

Exemplos de eventos complementares são sucesso e derrota em um evento onde a igualdade não pode existir (um jogo de beisebol).

Variáveis ​​booleanas são eventos complementares: Verdadeiro ou falso, do mesmo modo certo ou errado, fechado ou aberto, ativado ou desativado.

Exercícios complementares para eventos

Exercício 1

Seja S o conjunto do universo definido por todos os números naturais menores ou iguais a dez.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Os seguintes subconjuntos de S são definidos

H: {Números naturais menores que quatro} = {0, 1, 2, 3}

J: {Múltiplos de três} = {3, 6, 9}

K: {Múltiplos de cinco} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Números naturais maiores ou iguais a quatro} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Determine:

Quantos eventos complementares podem ser formados relacionando pares de subconjuntos de S ?

De acordo com a definição de eventos complementares , os pares que atendem aos requisitos são identificados (excluem-se mutuamente e cobrem o espaço da amostra ao ingressar). Os seguintes pares de subconjuntos são eventos complementares :

  • H e N
  • J e M
  • L e K

Exercício 2

Mostre que: (M ∩ K) ‘= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; A interseção entre os conjuntos resulta nos elementos comuns entre os dois conjuntos operantes. Assim, 5 é o único elemento comum entre M e K.

{5} ‘= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Como L e K são complementares, o terceiro axioma descrito acima é cumprido ( cada subconjunto é igual ao complemento de sua contraparte)

Exercício 3

Definir: [(J ∩ H) UN] ‘

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J = H = {3} ; Homologamente ao primeiro passo do exercício anterior.

(J = H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Essas operações são conhecidas como combinadas e geralmente são tratadas com um diagrama de Venn.

[(J ∩ H) UN] ‘ = {0, 1, 2}; O complemento da operação combinada é definido.

Exercício 4

Prove que: { [HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK]} ‘=

A operação composta descrita nas chaves refere-se às interseções entre as junções dos eventos complementares. Dessa forma, procedemos à verificação do primeiro axioma ( a união de dois eventos complementares é igual ao espaço da amostra).

[HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK] = S ∩ S ∩ S = S; A união e interseção de um conjunto consigo gera o mesmo conjunto.

Então; S ‘=Por definição de conjuntos.

Exercício 5

Defina 4 interseções entre subconjuntos, cujos resultados são diferentes do conjunto vazio (∅).

  • M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

  • L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

  • J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Referências

  1. O PAPEL DOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS EM CIÊNCIA INFORMÁTICA E BIOINFORMATICA. Irina Arhipova Universidade de Agricultura da Letônia, Letônia. [email protected]
  2. Estatísticas e avaliação de evidências para cientistas forenses. Segunda Edição Colin GG Aitken. Escola de Matemática. Universidade de Edimburgo, Reino Unido
  3. TEORIA BÁSICA DA PROBABILIDADE, Robert B. Ash. Departamento de Matemática. Universidade de Illinois
  4. ESTATÍSTICAS Elementares. Décima Edição Mario F. Triola. Boston San.
  5. Matemática e Engenharia em Ciência da Computação. Christopher J. Van Wyk. Instituto de Ciências da Computação e Tecnologia. Bureau Nacional de Padrões. Washington, DC 20234
  6. Matemática para Ciência da Computação. Eric Lehman Google Inc.
    F Thomson Leighton Departamento de Matemática e Laboratório de Ciência da Computação e IA, Instituto de Tecnologia de Massachusetts; Akamai Technologies

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