Ângulos na circunferência: tipos, propriedades, exercícios resolvidos

Ângulos na circunferência: tipos, propriedades, exercícios resolvidos

Os ângulos da circunferência são chamados  aqueles em que alguns de seus elementos são ou cruzam uma dada circunferência. Entre eles estão os seguintes:

1.- O ângulo central , cujo vértice está no centro da circunferência e seus lados estão secantes, como podemos ver na imagem a seguir:

2.- O ângulo inscrito , cujo vértice está na circunferência e seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.

3.- Ângulo exterior , cujo vértice está fora da circunferência, mas seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.

4.- O ângulo interior , com o vértice dentro da circunferência e seus lados secos.

Todos esses ângulos têm certas relações entre si e isso nos leva a importantes propriedades entre os ângulos pertencentes a uma dada circunferência.

Propriedades

– ângulo central

O ângulo central é definido como aquele cujo vértice está no centro do círculo e seus lados cruzam o círculo.

A medida radiana de um ângulo central é o quociente entre o arco subendente, ou seja, o arco da circunferência entre os lados do ângulo e o raio da circunferência. 

Se a circunferência é unitária, ou seja, o raio 1, a medida do ângulo central é o comprimento do arco, que corresponde ao número de radianos.

Se você deseja a medida do ângulo central em graus, multiplique a medida em radianos pelo fator 180º / π.

Os instrumentos de medição de ângulo, como o transferidor e o goniômetro, sempre usam um ângulo central e o comprimento do arco subtendido.

Eles são calibrados em graus sexagesimais, o que significa que sempre que um ângulo é medido com eles, basicamente o que é medido é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central.

Propriedade

A medida de um ângulo central em radianos é igual ao comprimento do arco de subtenda ou interceptação dividido pelo comprimento do raio.

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– ângulo inscrito

O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice no círculo e seus raios são secantes ou tangentes a ele. 

Suas propriedades são:

Propriedades

-O ângulo inscrito é convexo ou plano.

Quando um ângulo inscrito intercepta o mesmo arco que o ângulo central, a medição do primeiro será metade da do segundo.

A Figura 3 mostra dois ângulos ∠ABC e queAOC que cruzam o mesmo arco de circunferência A⌒C.

Se a medida do ângulo inscrito é α, então a medida β do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito (β = 2 α) porque ambos subtendam o mesmo arco de medição d.

– ângulo exterior

É o ângulo cujo vértice está fora da circunferência e cada um dos seus lados corta a circunferência em um ou mais pontos.

Propriedade

-SU medida é igual à semidiferença (ou diferença dividida por 2) dos ângulos centrais que interceptam os mesmos arcos.

Para garantir que a medida seja positiva, a meia diferença deve sempre ser a do ângulo central da maior medida menos a medida do ângulo central do menor, conforme ilustrado na figura a seguir.

– Ângulo interior

O ângulo interno é aquele cujo vértice está dentro da circunferência e seus lados cruzam a circunferência.

Propriedade 

Sua medição é igual à meia soma do ângulo central que subtende o mesmo arco, mais o ângulo central que subtende o mesmo arco que seu ângulo de extensão (este é o ângulo interno formado pelas linhas complementares do ângulo interior original).

A figura a seguir ilustra e esclarece a propriedade do ângulo interno.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Suponha um ângulo inscrito no qual um de seus lados passe pelo centro do círculo, como mostra a Figura 6. O raio do círculo é OA = 3 cm e o arco d tem um comprimento de π / 2 cm. Determine o valor dos ângulos α e β.

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Solução

Nesse caso, o triângulo isósceles COB é formado, uma vez que [OC] = [OB]. Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais; portanto, temos que ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado, BCOB = 180º – β. Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:

α + α + (180º – β) = 180º

Daí resulta que 2 α = β, ou o equivalente α = β / 2, confirmando a propriedade (3) da seção anterior, de que a medida do ângulo inscrito é metade do ângulo central, quando ambos os ângulos legendam o mesmo acorde [AC].

Passamos agora a determinar os valores numéricos: o ângulo β é central e sua medida em radianos é o quociente entre o arco d e o raio r = OA, portanto, sua medida é:

β = d / r = (π / 2 cm) / (3 cm) = π / 6 rad = 30º.

Por outro lado, já havia sido afirmado que α = β / 2 = (π / 6 rad) / 2 = π / 12 rad = 15º. 

– Exercício 2

Na Figura 7, os ângulos a 1 e? 2 têm a mesma medida. Além disso, o ângulo β 1 mede 60º. Determine os ângulos β e α.

Solução

Nesse caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC no qual o centro O da circunferência está dentro do ângulo.

Devido ao alojamento (3) é α 2 = β 2 /2 e α 1 = β 1 /2. Quão:

α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2

Portanto, é necessário que:

α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2.

Ou seja, de acordo com as propriedades:

α = β / 2

Como nos é dito que β 1 = 60º então:

α 1 = ½ 1/2 = 60º / 2 = 30º.

Eles também nos dizem que α 1 = β 2 então segue-se que:

β 2 = 30º.

O ângulo β resulta:

β 1 + β 2 = 60º + 30º = 90º.

E como α = β / 2, então:

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α = 90º / 2 = 45º. 

Em conclusão:

β = 90º e α = 45º.

Referências

  1. Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editorial cultural da América Central.
  2. EA 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  3. Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es.
  4. Toda a ciência. Exercícios resolvidos de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
  5. Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com

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