Os ângulos na circunferência são elementos fundamentais da geometria que nos permitem compreender a relação entre pontos e arcos em uma circunferência. Existem diversos tipos de ângulos na circunferência, como o ângulo central, o ângulo inscrito, o ângulo semi-inscrito, entre outros. Cada tipo de ângulo possui propriedades específicas que nos ajudam a resolver problemas e questões relacionadas à circunferência. Neste artigo, iremos explorar os diferentes tipos de ângulos na circunferência, suas propriedades e apresentar exercícios resolvidos para ajudar na compreensão e fixação do conteúdo.
Principais características e propriedades de uma circunferência: tudo o que você precisa saber.
Uma circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado centro. Ela é composta por diversos elementos importantes, como o raio, o diâmetro, a corda, o arco e o setor circular.
O raio é a distância do centro da circunferência até qualquer ponto da sua circunferência. O diâmetro é o segmento que passa pelo centro da circunferência e possui os dois extremos na circunferência. A corda é qualquer segmento de reta que une dois pontos da circunferência. O arco é uma parte da circunferência compreendida entre dois pontos dela. E o setor circular é a região limitada por um arco e dois raios consecutivos.
Além disso, as circunferências possuem propriedades importantes, como o Teorema de Tales, que afirma que retas paralelas a uma corda determinam segmentos proporcionais, e o Teorema de Pitágoras, que relaciona o raio, o diâmetro e a circunferência de um círculo.
As circunferências também estão presentes no estudo dos ângulos na circunferência. Existem diversos tipos de ângulos que podem ser formados em uma circunferência, como ângulos inscritos, ângulos centrais, ângulos no mesmo segmento, ângulos opostos pelo vértice, entre outros. Cada tipo de ângulo possui propriedades específicas que podem ser utilizadas na resolução de problemas geométricos.
Para entender melhor como os ângulos na circunferência funcionam, é importante praticar resolvendo exercícios. Um exemplo de exercício resolvido é determinar a medida de um ângulo central sabendo a medida de um arco correspondente. Utilizando a propriedade de que um ângulo central é o dobro de um ângulo inscrito que corresponde ao mesmo arco, é possível chegar à resposta correta.
Portanto, conhecer as principais características e propriedades de uma circunferência, assim como os diferentes tipos de ângulos que podem ser formados nela, é essencial para quem deseja se aprofundar no estudo da geometria e resolver problemas de forma mais eficiente.
Descubra os diferentes tipos de ângulos presentes na circunferência.
Os ângulos na circunferência são classificados de acordo com a posição dos seus vértices em relação à circunferência. Existem quatro tipos principais de ângulos na circunferência: ângulos inscritos, ângulos centrais, ângulos internos e ângulos externos.
Os ângulos inscritos são formados por duas cordas que se encontram em um ponto da circunferência. A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente.
Os ângulos centrais têm o seu vértice localizado no centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
Os ângulos internos são formados por duas secantes que se intersectam dentro da circunferência. A soma dos ângulos internos é igual a 180 graus.
Os ângulos externos são formados por duas secantes que se intersectam fora da circunferência. A soma dos ângulos externos é igual a 360 graus.
Para calcular a medida de um ângulo na circunferência, podemos utilizar as propriedades dos diferentes tipos de ângulos e das relações entre ângulos e arcos.
Para praticar o conhecimento sobre ângulos na circunferência, é importante resolver exercícios que envolvam a identificação dos diferentes tipos de ângulos e a aplicação das propriedades relacionadas a eles.
Cada tipo de ângulo possui propriedades específicas que nos ajudam a calcular suas medidas e a resolver problemas relacionados a eles.
Conheça os 5 componentes essenciais de uma circunferência em detalhes.
Uma circunferência é uma figura geométrica formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado de centro. Para entender melhor a circunferência, é importante conhecer seus 5 componentes essenciais:
- Centro: é o ponto fixo no qual todos os pontos da circunferência estão equidistantes.
- Raio: é a distância do centro até qualquer ponto da circunferência.
- Diâmetro: é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência e tem seus extremos na própria circunferência.
- Circunferência: é o próprio conjunto de pontos equidistantes do centro.
- Arco: é qualquer parte da circunferência compreendida entre dois pontos.
Os ângulos na circunferência são fundamentais para compreender as relações entre os elementos de uma circunferência. Existem diferentes tipos de ângulos na circunferência, como ângulo central, ângulo inscrito, ângulo semi-inscrito, entre outros.
Os ângulos na circunferência possuem diversas propriedades, como por exemplo, o ângulo central que é o dobro do ângulo inscrito que está sobre o mesmo arco. Além disso, a soma dos ângulos internos de um triângulo inscrito em uma circunferência é sempre igual a 180 graus.
Para fixar o conhecimento sobre ângulos na circunferência, é importante resolver exercícios práticos. Por exemplo, calcular a medida de um ângulo central dado o arco correspondente, ou encontrar a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência.
A prática de exercícios é fundamental para fixar o conhecimento e aplicá-lo em situações reais.
Como encontrar a medida do ângulo inscrito em uma circunferência?
Para encontrar a medida do ângulo inscrito em uma circunferência, é importante lembrar da propriedade dos ângulos inscritos. Essa propriedade nos diz que um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade do ângulo central que possui o mesmo arco. Ou seja, se um ângulo inscrito intercepta um arco de 120 graus, o ângulo inscrito terá medida de 60 graus.
Para calcular a medida do ângulo inscrito, basta utilizar a fórmula:
Ângulo inscrito = 1/2 * Ângulo central
Por exemplo, se o ângulo central corresponde a 140 graus, o ângulo inscrito terá medida de 70 graus. Essa é uma forma simples e eficaz de encontrar a medida do ângulo inscrito em uma circunferência.
Lembre-se de que a soma dos ângulos internos de um triângulo inscrito em uma circunferência é sempre igual a 180 graus. Essa é outra propriedade importante que pode auxiliar na resolução de problemas envolvendo ângulos na circunferência.
Praticar exercícios é fundamental para fixar esses conceitos e garantir um bom desempenho em questões que envolvam ângulos na circunferência. Com um pouco de prática, você estará apto a resolver qualquer problema relacionado a medidas de ângulos inscritos.
Ângulos na circunferência: tipos, propriedades, exercícios resolvidos
Os ângulos da circunferência são chamados aqueles em que alguns de seus elementos são ou cruzam uma dada circunferência. Entre eles estão os seguintes:
1.- O ângulo central , cujo vértice está no centro da circunferência e seus lados estão secantes, como podemos ver na imagem a seguir:
2.- O ângulo inscrito , cujo vértice está na circunferência e seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.
3.- Ângulo exterior , cujo vértice está fora da circunferência, mas seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.
4.- O ângulo interior , com o vértice dentro da circunferência e seus lados secos.
Todos esses ângulos têm certas relações entre si e isso nos leva a importantes propriedades entre os ângulos pertencentes a uma dada circunferência.
Propriedades
– ângulo central
O ângulo central é definido como aquele cujo vértice está no centro do círculo e seus lados cruzam o círculo.
A medida radiana de um ângulo central é o quociente entre o arco subendente, ou seja, o arco da circunferência entre os lados do ângulo e o raio da circunferência.
Se a circunferência é unitária, ou seja, o raio 1, a medida do ângulo central é o comprimento do arco, que corresponde ao número de radianos.
Se você deseja a medida do ângulo central em graus, multiplique a medida em radianos pelo fator 180º / π.
Os instrumentos de medição de ângulo, como o transferidor e o goniômetro, sempre usam um ângulo central e o comprimento do arco subtendido.
Eles são calibrados em graus sexagesimais, o que significa que sempre que um ângulo é medido com eles, basicamente o que é medido é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central.
Propriedade
A medida de um ângulo central em radianos é igual ao comprimento do arco de subtenda ou interceptação dividido pelo comprimento do raio.
– ângulo inscrito
O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice no círculo e seus raios são secantes ou tangentes a ele.
Suas propriedades são:
Propriedades
-O ângulo inscrito é convexo ou plano.
– Quando um ângulo inscrito intercepta o mesmo arco que o ângulo central, a medição do primeiro será metade da do segundo.
A Figura 3 mostra dois ângulos ∠ABC e queAOC que cruzam o mesmo arco de circunferência A⌒C.
Se a medida do ângulo inscrito é α, então a medida β do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito (β = 2 α) porque ambos subtendam o mesmo arco de medição d.
– ângulo exterior
É o ângulo cujo vértice está fora da circunferência e cada um dos seus lados corta a circunferência em um ou mais pontos.
Propriedade
-SU medida é igual à semidiferença (ou diferença dividida por 2) dos ângulos centrais que interceptam os mesmos arcos.
Para garantir que a medida seja positiva, a meia diferença deve sempre ser a do ângulo central da maior medida menos a medida do ângulo central do menor, conforme ilustrado na figura a seguir.
– Ângulo interior
O ângulo interno é aquele cujo vértice está dentro da circunferência e seus lados cruzam a circunferência.
Propriedade
Sua medição é igual à meia soma do ângulo central que subtende o mesmo arco, mais o ângulo central que subtende o mesmo arco que seu ângulo de extensão (este é o ângulo interno formado pelas linhas complementares do ângulo interior original).
A figura a seguir ilustra e esclarece a propriedade do ângulo interno.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
Suponha um ângulo inscrito no qual um de seus lados passe pelo centro do círculo, como mostra a Figura 6. O raio do círculo é OA = 3 cm e o arco d tem um comprimento de π / 2 cm. Determine o valor dos ângulos α e β.
Solução
Nesse caso, o triângulo isósceles COB é formado, uma vez que [OC] = [OB]. Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais; portanto, temos que ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado, BCOB = 180º – β. Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:
α + α + (180º – β) = 180º
Daí resulta que 2 α = β, ou o equivalente α = β / 2, confirmando a propriedade (3) da seção anterior, de que a medida do ângulo inscrito é metade do ângulo central, quando ambos os ângulos legendam o mesmo acorde [AC].
Passamos agora a determinar os valores numéricos: o ângulo β é central e sua medida em radianos é o quociente entre o arco d e o raio r = OA, portanto, sua medida é:
β = d / r = (π / 2 cm) / (3 cm) = π / 6 rad = 30º.
Por outro lado, já havia sido afirmado que α = β / 2 = (π / 6 rad) / 2 = π / 12 rad = 15º.
– Exercício 2
Na Figura 7, os ângulos a 1 e? 2 têm a mesma medida. Além disso, o ângulo β 1 mede 60º. Determine os ângulos β e α.
Solução
Nesse caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC no qual o centro O da circunferência está dentro do ângulo.
Devido ao alojamento (3) é α 2 = β 2 /2 e α 1 = β 1 /2. Quão:
α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2
Portanto, é necessário que:
α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2.
Ou seja, de acordo com as propriedades:
α = β / 2
Como nos é dito que β 1 = 60º então:
α 1 = ½ 1/2 = 60º / 2 = 30º.
Eles também nos dizem que α 1 = β 2 então segue-se que:
β 2 = 30º.
O ângulo β resulta:
β 1 + β 2 = 60º + 30º = 90º.
E como α = β / 2, então:
α = 90º / 2 = 45º.
Em conclusão:
β = 90º e α = 45º.
Referências
- Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editorial cultural da América Central.
- EA 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
- Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es.
- Toda a ciência. Exercícios resolvidos de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com