Números compostos: características, exemplos, exercícios

Números compostos: características, exemplos, exercícios

Os números dos compostos são aqueles números inteiros que possuem mais de dois divisores. Se olharmos atentamente, todos os números são pelo menos exatamente divisíveis entre si e entre 1. Aqueles que possuem apenas esses dois divisores são chamados primos e aqueles que têm mais são compostos.

Vejamos o número 2, que só pode ser dividido entre 1 e 2. O número 3 também possui dois divisores: 1 e 3. Portanto, ambos são primos. Agora, vejamos o número 12, que podemos dividir exatamente por 2, 3, 4, 6 e 12. Tendo 5 divisores, 12 é um número composto.

E o que acontece com o número 1, aquele que divide todos os outros? Bem, não é primo, porque não possui dois divisores e não é composto, portanto, 1 não se enquadra em nenhuma dessas duas categorias. Mas existem muitos mais números que o fazem.

Os números compostos podem ser expressos como o produto de números primos, e esse produto, exceto pela ordem dos fatores, é exclusivo para cada número. Isso é assegurado pelo teorema fundamental da aritmética provado pelo matemático grego Euclides (325-365 aC).

Voltemos ao número 12, que podemos expressar de várias maneiras. Vamos tentar alguns:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 2 x 3 = 3 x 2 2 = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

As formas destacadas em negrito são produtos de números primos e a única coisa que muda é a ordem dos fatores, que sabemos que não altera o produto. As outras formas, embora válidas para expressar 12, não consistem apenas em números primos.

Exemplos de números compostos

Se quisermos decompor um número composto em seus fatores primos, devemos dividi-lo por números primos de modo que a divisão seja exata, ou seja, que o restante seja 0.

Esse procedimento é chamado de decomposição de fator primário ou decomposição canônica. Os fatores primos podem ser elevados para expoentes positivos.

Vamos decompor o número 570, observando que ele é par e, portanto, divisível por 2, que é um número primo.

Usaremos uma barra para separar o número à esquerda dos divisores à direita. Os respectivos quocientes são colocados abaixo do número à medida que são obtidos. A decomposição está completa quando o último número na coluna da esquerda é 1:

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570 │2
285 │

Ao dividir por 2, o quociente é 285, que é divisível por 5, outro número primo, para terminar em 5.

570 │2
285 │5
57 │

O 57 é divisível por 3, também um primo, pois a soma dos seus dígitos 5 +7 = 12 é um múltiplo de 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Finalmente, obtemos 19, que é um número primo, cujos divisores são 19 e 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Ao obter 1, já podemos expressar 570 assim:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

E vemos que é realmente o produto de 4 números primos.

Neste exemplo, começamos dividindo por 2, mas os mesmos fatores (em outra ordem) seriam obtidos se começássemos dividindo por 5, por exemplo.

Critérios de divisibilidade

Para decompor um número composto em seus fatores primos, é necessário dividi-lo exatamente. Os critérios de divisibilidade entre números primos são regras que permitem saber quando um número é exatamente divisível por outro, sem ter que testar ou tentar.

Divisibilidade entre 2

Todo número par, aqueles que terminam em 0 ou um número par são divisíveis por 2.

Divisibilidade entre 3

Se a soma dos dígitos de um número for um múltiplo de 3, o número também será, portanto, divisível por 3.

Divisibilidade entre 5

Os números que terminam em 0 ou 5 são divisíveis por 5.

-Divisibilidade entre 7

Um número é divisível por 7 se, separando o último número, multiplicando-o por 2 e subtraindo o número restante, o valor resultante é um múltiplo de 7.

Essa regra parece um pouco mais complicada do que as anteriores, mas na realidade não é muito, então vamos ver um exemplo: será 98 divisível por 7?

Vamos seguir as instruções: separamos o último número que é 8, multiplicamos por 2 que dá 16. O número que resta ao separar o 8 é 9. Subtraia 16 – 9 = 7. E como 7 é um múltiplo, 98 é divisível entre 7.

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-Divisibilidade entre 11

Se a soma dos números na posição par (2, 4, 6 …) for subtraída da soma dos números na posição ímpar (1, 3, 5, 7 …) e for obtido 0 ou um múltiplo de 11, o número será divisível por 11.

Os primeiros múltiplos de 11 são facilmente identificados: são 11, 22, 33, 44 … 99. Mas tenha cuidado, 111 não é, mas 110 é.

Como exemplo, vamos ver se 143 é um múltiplo de 11.

Esse número tem 3 dígitos, o único número par é 4 (o segundo), os dois números ímpares são 1 e 3 (primeiro e terceiro) e sua soma é 4.

Ambas as somas são subtraídas: 4 – 4 = 0 e, como 0 é obtido, verifica-se que 143 é um múltiplo de 11.

-Divisibilidade entre 13

O número sem o dígito das unidades deve ser subtraído 9 vezes esse dígito. Se a conta fornecer 0 ou múltiplo de 13, o número será múltiplo de 13.

Como exemplo, verificaremos se 156 é um múltiplo de 13. O dígito das unidades é 6 e o ​​número que permanece sem ele é 15. Multiplicamos 6 x 9 = 54 e agora subtraímos 54 – 15 = 39.

Mas 39 é 3 x 13, então 56 é um múltiplo de 13.

Números primos entre si

Dois ou mais números primos ou compostos podem ser primos um para o outro ou coprime. Isso significa que o único divisor comum que eles têm é 1.

Há duas propriedades importantes a serem lembradas sobre coprimes:

-Dois, três e mais números consecutivos são sempre primos um para o outro.

-O mesmo pode ser dito de dois, três ou mais números ímpares consecutivos.

Por exemplo, 15, 16 e 17 são números primos entre si e 15, 17 e 19.

Como descobrir quantos divisores um número composto possui

Um número primo tem dois divisores, o mesmo número e 1. E quantos divisores um número composto possui? Estes podem ser primos ou compostos.

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Seja N um número composto expresso em termos de sua decomposição canônica da seguinte maneira:

N = a n . b m . c p … r k

Onde a, b, c … r são os fatores primos en, m, p … k são os respectivos expoentes. Bem, o número de divisores C que N possui é dado por:

C = (n +1) (m + 1) (p + 1) … (k + 1)

Com C = divisores primos + divisores compostos + 1

Por exemplo 570, que é expresso assim:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Todos os fatores primos são aumentados para 1, portanto, 570 tem:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divisores

Desses 10 divisores, já sabemos: 1, 2, 3, 5, 19 e 570. Faltam mais 10 divisores, que são números compostos: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 e 285. Eles estão observando a decomposição em fatores primos e também multiplicando combinações desses fatores entre si.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Decomponha os seguintes números em fatores primos:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Solução para

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Solução b

143 1311
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Solução c

540 1085
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 2 x 3 3

Solução d

3705 75
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

– Exercício 2

Descubra se os seguintes números são primos um ao outro:

6, 14, 9

Solução

-Os divisores de 6 são: 1, 2, 3, 6

-Como para 14, é divisível por: 1, 2, 7, 14

-Finalmente 9 tem como divisores: 1, 3, 9

O único divisor que eles têm em comum é 1, então eles são primos um para o outro.

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Byju’s. Números primos e compostos. Recuperado de: byjus.com.
  3. Números primos e compostos. Recuperado de: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
  4. Smartick. Critérios de divisibilidade. Recuperado de: smartick.es.
  5. Wikipedia. Números compostos. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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