Os números imaginários são aqueles que resolvem a equação em que o desconhecido, elevado ao quadrado é igual a um número real negativo. A unidade imaginária é i = √ (-1) .
Na equação: z 2 = – a, z é um número imaginário expresso da seguinte forma:
z = √ (-a) = i√ (a)
É um número real positivo. Se a = 1 , então z = i , onde i é a unidade imaginária.
Em geral, um número imaginário puro z é sempre expresso na forma:
z = y⋅i
Onde y é um número real ei é a unidade imaginária.
Assim como os números reais são representados em uma linha, chamada linha real , da mesma forma, números imaginários são representados na linha imaginária .
A linha imaginária é sempre ortogonal (formato 90º) à linha real e as duas linhas definem um plano cartesiano chamado plano complexo .
A Figura 1 mostra o plano complexo e nele estão representados alguns números reais, alguns imaginários e também alguns complexos:
X 1 , X 2 , X 3 são números reais
Y 1 , Y 2 , Y 3 são números imaginários
Z 2 e Z 3 são números complexos
O número O é o zero real e também é o zero imaginário; portanto, a origem O é o zero complexo expresso por:
0 + 0i
Propriedades
O conjunto de números imaginários é indicado por:
I = {……, -3i,…, -2i,…., – i,…., 0i,…., Eu,…., 2i,…., 3i,…}
E você pode definir algumas operações neste conjunto numérico. Um número imaginário nem sempre é obtido com essas operações, então vamos vê-los com mais detalhes:
Adicionar e subtrair imagens
Os números imaginários podem ser adicionados e subtraídos um do outro e, como resultado, você terá um novo número imaginário. Por exemplo:
3i + 2i = 5i
4i – 7i = -3i
Produto imaginário
Quando o produto de um número imaginário é produzido com outro, o resultado é um número real. Vamos fazer a seguinte operação para verificá-la:
2i x 3i = 6 xi 2 = 6 x (√ (-1)) 2 = 6 x (-1) = -6.
E, como podemos ver, -6 é um número real, embora tenha sido obtido pela multiplicação de dois números imaginários puros.
Produto de um número real por outro imaginário
Se um número real for multiplicado por i, o resultado será um número imaginário, que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.
E é que i 2 corresponde a duas rotações consecutivas de 90 graus, o que equivale a multiplicar por -1, ou seja, i 2 = -1. Pode ser visto no diagrama a seguir:
Por exemplo:
-3 x 5i = -15i
-3 xi = -3i.
Empoderamento de um imaginário
Você pode definir o aprimoramento de um número imaginário para um expoente inteiro:
i 1 = i
i 2 = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1
i 3 = ixi 2 = -i
i 4 = i 2 xi 2 = -1 x -1 = 1
i 5 = ixi 4 = i
Em geral, temos que i n = i ^ (n mod 4), em que mod é o restante da divisão entre n e 4 .
A potenciação inteira negativa também pode ser realizada:
i -1 = 1 / i 1 = i / (ixi 1 ) = i / (i 2 ) = i / (-1) = -i
i- 2 = 1 / i 2 = 1 / (-1) = -1
i- 3 = 1 / i 3 = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi -1 = (-1) x (-i) = i
Em geral, o número imaginário b⋅i elevado à potência n é:
(b⋅i) i n = b n i n = b n i ^ (n mod 4)
Alguns exemplos são os seguintes:
(5 i) 12 = 5 12 i 12 = 5 12 i = 5 12 x 1 = 244140625
(5 i) 11 = 5 11 i 11 = 5 11 i 3 = 5 11 x (-i) = -48828 125 i
(-2 i) 10 = -2 10 i 10 = 2 10 i 2 = 1024 x (-1) = -1024
Soma do número real e imaginário
Ao adicionar um número real a um imaginário, o resultado não é real nem imaginário, é um novo tipo de número chamado número complexo .
Por exemplo, se X = 3,5 e Y = 3,75i, o resultado é o número complexo:
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i
Observe que na soma as partes reais e imaginárias não podem ser agrupadas; portanto, um número complexo sempre terá uma parte real e outra parte imaginária.
Esta operação estende o conjunto de números reais ao maior número complexo.
Formulários
O nome dos números imaginários foi proposto pelo matemático francês René Descartes (1596-1650) como uma zombaria ou desacordo com a proposta do mesmo feita pelo matemático italiano do século Raffaelle Bombelli.
Outros grandes matemáticos, como Euler e Leibniz, apoiaram Descartes nessa discordância e nomearam números imaginários como números de anfíbios, que lutavam entre o ser e o nada.
O nome dos números imaginários é mantido hoje, mas sua existência e importância são muito reais e palpáveis, pois aparecem naturalmente em muitos campos da física, como:
-A teoria da relatividade.
-Em eletromagnetismo.
-Mecânica quântica.
Exercícios com números imaginários
– Exercício 1
Encontre as soluções da seguinte equação:
z 2 + 16 = 0
Solução
z 2 = -16
Tomando raiz quadrada em ambos os membros, temos:
√ (z 2 ) = √ (-16)
Qual o valor de x na equação x + 1 = 0 – Brainly.com.br
Em outras palavras, as soluções da equação original são:
z = + 4i oz = -4i.
– Exercício 2
Encontre o resultado de elevar a unidade imaginária à potência 5 menos a subtração da unidade imaginária elevada à potência -5.
Solução
i 5 – i – 5 = i 5 – 1 / i 5 = i – 1 / i = i – (i) / (ixi) = i – i / (- 1) = i + i = 2i
– Exercício 3
Encontre o resultado da seguinte operação:
(3i) 3 + 9i
Solução
3 3 i 3 – 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i
– Exercício 4
Encontre as soluções da seguinte equação quadrática:
(-2x) 2 + 2 = 0
Solução
A equação é reorganizada da seguinte maneira:
(-2x) 2 = -2
Então raiz quadrada é tomada em ambos os membros
√ ((- 2x) 2 ) = √ (-2)
Calcule o valor de x na equação ax2 + bx + c = 0 (x-1) = 0 – Brainly.com.br
Então x é limpo para finalmente obter:
x = ± √2 / 2 i
Ou seja, existem duas soluções possíveis:
x = (√2 / 2) i
Ou este:
x = – (√2 / 2) i
– Exercício 5
Encontre o valor de Z definido por:
Z = √ (-9) √ (-4) + 7
Solução
Sabemos que a raiz quadrada de um número real negativo é um número imaginário; por exemplo, √ (-9) é igual a √ (9) x √ (-1) = 3i.
Por outro lado, √ (-4) é igual a √ (4) x √ (-1) = 2i.
Portanto, a equação original pode ser substituída por:
3i x 2i – 7 = 6 i 2 – 7 = 6 (-1) – 7 = -6 – 7 = -13
– Exercício 6
Encontre o valor de Z resultante da seguinte divisão de dois números complexos:
Z = (9 – i 2 ) / (3 + i)
Solução
O numerador da expressão pode ser fatorado usando a seguinte propriedade:
Uma diferença de quadrados é o produto da soma da diferença dos binômios sem quadratura.
Assim:
Z = [(3 – i) (3 + i)] / (3 + i)
A expressão resultante é simplificada abaixo, deixando
Z = (3 – i)
Referências
- Earl, R. Números complexos. Recuperado de: maths.ox.ac.uk.
- Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
- Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações de Monfort.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Wikipedia. Número imaginário. Recuperado de: en.wikipedia.org