Números imaginários: propriedades, aplicações, exemplos

Os números imaginários são aqueles que resolvem a equação em que o desconhecido, elevado ao quadrado é igual a um número real negativo. A unidade imaginária é i = √ (-1) .

Na equação:  z ² = – a,  z é um número imaginário expresso da seguinte forma:

 z = √ (-a) = i√ (a)

É um número real positivo. Se a = 1 , então z = i , onde i é a unidade imaginária.

Em geral, um número imaginário puro z é sempre expresso na forma: 

z = y⋅i

Onde y é um número real ei é a unidade imaginária.

Assim como os números reais são representados em uma linha, chamada linha real , da mesma forma, números imaginários são representados na linha imaginária .

A linha imaginária é sempre ortogonal (formato 90º) à linha real e as duas linhas definem um plano cartesiano chamado plano complexo .

A Figura 1 mostra o plano complexo e nele estão representados alguns números reais, alguns imaginários e também alguns complexos:

X ₁ , X ₂ , X ₃ são números reais

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ são números imaginários

Z ₂ e Z ₃ são números complexos

O número O é o zero real e também é o zero imaginário; portanto, a origem O é o zero complexo expresso por:

0 + 0i 

Propriedades

O conjunto de números imaginários é indicado por:

I = {……, -3i,…, -2i,…., – i,…., 0i,…., Eu,…., 2i,…., 3i,…}

E você pode definir algumas operações neste conjunto numérico. Um número imaginário nem sempre é obtido com essas operações, então vamos vê-los com mais detalhes:

Adicionar e subtrair imagens

Os números imaginários podem ser adicionados e subtraídos um do outro e, como resultado, você terá um novo número imaginário. Por exemplo:

 3i + 2i = 5i

4i – 7i = -3i

Produto imaginário

Quando o produto de um número imaginário é produzido com outro, o resultado é um número real. Vamos fazer a seguinte operação para verificá-la:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ²  = 6 x (-1) = -6.

E, como podemos ver, -6 é um número real, embora tenha sido obtido pela multiplicação de dois números imaginários puros.

Produto de um número real por outro imaginário

Se um número real for multiplicado por i, o resultado será um número imaginário, que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.

E é que i ² corresponde a duas rotações consecutivas de 90 graus, o que equivale a multiplicar por -1, ou seja, i ² = -1. Pode ser visto no diagrama a seguir:

Por exemplo:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Empoderamento de um imaginário

Você pode definir o aprimoramento de um número imaginário para um expoente inteiro:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Em geral, temos que i ⁿ = i ^ (n mod 4), em que mod é o restante da divisão entre n e 4 .

A potenciação inteira negativa também pode ser realizada:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Em geral, o número imaginário b⋅i elevado à potência n é:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Alguns exemplos são os seguintes:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹  = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828 125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Soma do número real e imaginário

Ao adicionar um número real a um imaginário, o resultado não é real nem imaginário, é um novo tipo de número chamado número complexo .

Por exemplo, se X = 3,5 e Y = 3,75i, o resultado é o número complexo:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Observe que na soma as partes reais e imaginárias não podem ser agrupadas; portanto, um número complexo sempre terá uma parte real e outra parte imaginária.

Esta operação estende o conjunto de números reais ao maior número complexo.

Formulários

O nome dos números imaginários foi proposto pelo matemático francês René Descartes (1596-1650) como uma zombaria ou desacordo com a proposta do mesmo feita pelo matemático italiano do século Raffaelle Bombelli.

Outros grandes matemáticos, como Euler e Leibniz, apoiaram Descartes nessa discordância e nomearam números imaginários como números de anfíbios,  que lutavam entre o ser e o nada.

O nome dos números imaginários é mantido hoje, mas sua existência e importância são muito reais e palpáveis, pois aparecem naturalmente em muitos campos da física, como:

-A teoria da relatividade.

-Em eletromagnetismo.

-Mecânica quântica.

Exercícios com números imaginários

– Exercício 1

Encontre as soluções da seguinte equação:

z ² + 16 = 0

Solução

z ² = -16

Tomando raiz quadrada em ambos os membros, temos:

√ (z ² ) = √ (-16)

Qual o valor de x na equação x + 1 = 0 – Brainly.com.br

Em outras palavras, as soluções da equação original são:

z = + 4i oz = -4i.

– Exercício 2

Encontre o resultado de elevar a unidade imaginária à potência 5 menos a subtração da unidade imaginária elevada à potência -5.

Solução

i ⁵ – i – ⁵ = i ⁵ – 1 / i ⁵ = i – 1 / i = i – (i) / (ixi) = i – i / (- 1) = i + i = 2i

– Exercício 3

Encontre o resultado da seguinte operação:

(3i) ³ + 9i 

Solução

3 ³ i ³ – 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

– Exercício 4

Encontre as soluções da seguinte equação quadrática:

(-2x) ² + 2 = 0

Solução

A equação é reorganizada da seguinte maneira:

(-2x) ² = -2

Então raiz quadrada é tomada em ambos os membros

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

Calcule o valor de x na equação ax2 + bx + c = 0 (x-1) = 0 – Brainly.com.br

Então x é limpo para finalmente obter:

x = ± √2 / 2 i

Ou seja, existem duas soluções possíveis:

x = (√2 / 2) i

Ou este:

x = – (√2 / 2) i

– Exercício 5

Encontre o valor de Z definido por:

Z =  √ (-9) √ (-4) + 7

Solução

Sabemos que a raiz quadrada de um número real negativo é um número imaginário; por exemplo,  √ (-9) é igual a √ (9) x √ (-1) = 3i.

Por outro lado, √ (-4) é igual a √ (4) x √ (-1) = 2i.

Portanto, a equação original pode ser substituída por:

3i x 2i – 7 = 6 i ² – 7 = 6 (-1) – 7 = -6 – 7 = -13

– Exercício 6

Encontre o valor de Z resultante da seguinte divisão de dois números complexos:

Z = (9 – i ² ) / (3 + i)

Solução

O numerador da expressão pode ser fatorado usando a seguinte propriedade:

Uma diferença de quadrados é o produto da soma da diferença dos binômios sem quadratura.

Assim:

Z = [(3 – i) (3 + i)] / (3 + i)

A expressão resultante é simplificada abaixo, deixando

Z = (3 – i)

Referências

1. Earl, R. Números complexos. Recuperado de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações de Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Número imaginário. Recuperado de: en.wikipedia.org