Integral indefinido: propriedades, aplicações, cálculo (exemplos)

Integral indefinido: propriedades, aplicações, cálculo (exemplos)

A integral indefinida é a operação inversa da derivação e para denotar o símbolo “s” alongado é usado: ∫. Matematicamente, a integral indefinida da função F (x) é escrita:

∫F (x) dx = f (x) + C

Onde o integrando F (x) = f´ (x) é uma função da variável x , que por sua vez é a derivada de outra função f (x), denominada integral ou antiderivada .

Por sua vez, C é uma constante conhecida como constante de integração , que sempre acompanha o resultado de qualquer integral indefinida. Veremos sua origem em um exemplo abaixo.

Suponha que somos solicitados a encontrar a seguinte integral indefinida I:

I = .dx.dx

F´ (x) é imediatamente identificado com x. Isso significa que devemos fornecer uma função f (x) para que sua derivada seja x, algo que não é difícil:

f (x) = ½ x 2

Sabemos que ao derivar f (x) obtemos f´ (x), verificamos:

[½ x 2 ] ´ = 2. (½ x) = x

Agora, a função: f (x) = ½ x 2 + 2 também atende ao requisito, uma vez que a derivação é linear e a derivada de uma constante é 0. Outras funções que, quando derivadas, resultam em f (x) = estamos:

1/2 x 2 -1, 1/2 x 2 + 15; ½ x 2 – √2…

E, em geral, todas as funções do formulário:

f (x) = ½ x 2 + C

São respostas corretas para o problema.

Qualquer uma dessas funções é chamada de antiderivada ou primitiva de f´ (x) = x, e é precisamente esse conjunto de todas as antiderivadas de uma função que é conhecida como integral indefinida.

Basta conhecer apenas uma das primitivas, porque, como podemos ver, a única diferença entre elas é o constante C de integração.

Se o problema contiver condições iniciais, é possível calcular o valor de C para adequá-las (consulte o exemplo resolvido abaixo).

Como calcular uma integral indefinida

No exemplo anterior, ∫x.dx foi calculado porque era conhecida uma função f (x) que, quando derivada, resultou no integrando.

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Portanto, integrais básicas podem ser rapidamente resolvidas a partir das funções mais conhecidas e de suas derivadas.

Além disso, existem algumas propriedades importantes que expandem o leque de possibilidades ao resolver uma integral. Seja k um número real, é verdade que:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x n dx = [x n + 1 / n + 1] + C (n ≠ -1)

5.- ∫x -1 dx = ln x + C

Dependendo do integrando, existem vários métodos algébricos e numéricos para resolver integrais. Aqui mencionamos:

-Alteração da variável

Substituições algébricas e trigonométricas.

-Integração por partes

-Decomposição em frações simples para integração de um tipo racional

-Uso de tabelas

-Métodos numéricos.

Existem integrais que podem ser resolvidos por mais de um método. Infelizmente, não existe um critério único para determinar a priori o método mais eficaz para resolver uma dada integral.

De fato, alguns métodos permitem que a solução de certas integrais seja alcançada mais rapidamente do que outras. Mas a verdade é que, para adquirir habilidades para resolver integrais, você precisa praticar com cada método.

– Exemplo resolvido

Resolver:

Vamos fazer uma alteração simples na variável sub-radical:

u = x-3

Com:

x = u + 3

Derivando ambos os lados em qualquer uma das duas expressões que obtemos:

dx = du

Agora substituímos na integral, que iremos denotar como I:

D = x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u 1/2 du

Aplicamos propriedades distributivas e multiplicação de potências da mesma base e obtemos:

I = ∫ (u 3/2 + 3 u 1/2 ) du

Por propriedade 3 da seção anterior:

I = 3/ u 3/2 du + u 3u 1/2 du

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Agora a propriedade 4 é aplicada, conhecida como regra de energia :

Primeira integral

3/ u 3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C 1 =

= [u 5/2  / (5/2)] + C 1 = (2/5) u 5/2  + C 1

Segunda integral

∫ 3u 1/2 du = 3 1/ 2u 1/2 du = 3 [u 3/2  / (3/2)] + C 2 =

= 3 (2/3) u 3/2  + C 2 = 2u 3/2  + C 2

Em seguida, os resultados são reunidos em I:

I = (2/5) u 5/2  + 2u 3/2  + C

As duas constantes podem ser combinadas em uma sem problemas. Por fim, não se esqueça de retornar a alteração da variável feita anteriormente e expressar o resultado em termos da variável original x:

I = (2/5) (X-3) 5/2  + 2 (x-3) 3/2  + C

É possível fatorar o resultado:

I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C

Formulários

A integral indefinida se aplica a vários modelos nas ciências naturais e sociais, por exemplo:

Movimento

Na resolução de problemas de movimento, para calcular a velocidade de um celular, sua aceleração conhecida e no cálculo da posição de um celular, sua velocidade conhecida.

Economia

Ao calcular os custos de produção de itens e modelar uma função de demanda, por exemplo.

Exercício de aplicação

A velocidade mínima exigida por um objeto para escapar da atração gravitacional da Terra é dada por:

Nesta expressão:

-v é a velocidade do objeto que deseja escapar da Terra

-y é a distância medida do centro do planeta

-M é a massa terrestre

-G é uma constante de gravitação

Pedimos para encontrar a relação entre v e y , resolvendo as integrais indefinidas, se o objeto obtiver uma velocidade inicial v o e o raio da Terra for conhecido e for chamado R.

Solução

Somos apresentados a duas integrais indefinidas para resolver usando as regras de integração:

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I 1 = ∫v dv = v 2 /2 + C 1

I 2 = -GM ∫ (1 / Y 2 ) dy = -GM ∫ y -2 dy = -GM [y -2 + 1 / (- 2 + 1)] + C 2 = GM. y -1 + C 2

Igualamos I 1 e I 2 :

v 2/2 + C 1 = GM. y -1 + C 2

As duas constantes podem ser combinadas em uma:

Depois de resolvidas as integrais, aplicamos as condições iniciais, que são as seguintes: quando o objeto está na superfície da Terra, fica a uma distância R do centro da Terra. Na declaração, eles nos dizem que y é a distância medida do centro da Terra.

E apenas por estar na superfície, é fornecido com a velocidade inicial vo com a qual escapará da atração gravitacional do planeta. Portanto, podemos estabelecer que v (R) = v o . Nesse caso, nada nos impede de substituir essa condição no resultado que acabamos de obter:

E como v o é conhecido, e G, M e R também, podemos limpar o valor da constante de integração C:

Que podemos substituir no resultado das integrais:

E, finalmente, limpamos a v 2 , fatorando e agrupando corretamente:

Essa é a expressão que relaciona a velocidade v de um satélite a ser acionado a partir da superfície do planeta (raio R) com a velocidade inicial vo , quando está à distância e do centro do planeta.

Referências

  1. Haeussler, E. 1992. Matemática para Administração e Economia. Grupo de publicação Iberoamerica.
  2. Hiperfísica. Velocidade de escape. Recuperado de: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
  3. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
  4. Purcell, E. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9º. Edição. Pearson Education.
  5. Wolfram MathWorld. Exemplos de integrais. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.

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