Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios

A Lei de Ampère é uma importante lei da física que descreve a relação entre a corrente elétrica e o campo magnético gerado por ela. A fórmula da Lei de Ampère é dada por (oint B cdot dl = mu_0 I_{enc}), onde (B) é o campo magnético, (dl) é um elemento diferencial de comprimento ao longo de um caminho fechado, (mu_0) é a permeabilidade magnética do vácuo e (I_{enc}) é a corrente elétrica que atravessa a superfície delimitada pelo caminho fechado.

Neste artigo, abordaremos a prova da Lei de Ampère, bem como alguns exercícios práticos para ajudar na compreensão e aplicação desta lei na resolução de problemas do dia a dia. Vamos explorar também as equações derivadas da Lei de Ampère e sua importância na física moderna.

Entendendo a lei de Ampère e sua aplicação no eletromagnetismo.

A lei de Ampère é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo, que descreve a relação entre um campo magnético e a corrente elétrica que o produz. A formulação matemática da lei de Ampère é dada pela equação:

∮ B • dl = μ₀ * I

Onde B é o campo magnético, dl é um elemento de comprimento ao longo de um caminho fechado, μ₀ é a permeabilidade do vácuo e I é a corrente que atravessa a superfície delimitada pelo caminho fechado.

Para aplicar a lei de Ampère, é necessário escolher um caminho fechado onde o campo magnético seja constante e então calcular a integral do campo magnético ao longo desse caminho. A lei de Ampère pode ser usada para determinar o campo magnético em diversas situações, como no interior de um solenoide ou de um fio reto percorrido por corrente elétrica.

A prova da lei de Ampère pode ser feita a partir das equações de Maxwell, que descrevem o comportamento dos campos elétrico e magnético. A lei de Ampère é uma consequência da lei de Faraday da indução eletromagnética, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo.

Para fixar o conhecimento sobre a lei de Ampère, é importante realizar exercícios práticos que envolvam seu uso. Alguns exemplos de exercícios incluem calcular o campo magnético no interior de um solenoide ou determinar a força magnética entre dois fios paralelos percorridos por corrente.

Qual é a expressão integral da lei de Ampère no eletromagnetismo?

A lei de Ampère é uma das leis fundamentais no estudo do eletromagnetismo. Ela descreve a relação entre a corrente elétrica e o campo magnético que ela gera. A expressão integral da lei de Ampère é dada pela equação:

∮ B · dl = μ0i

Onde B é o campo magnético, dl é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho fechado, μ0 é a permeabilidade do vácuo e i é a corrente que atravessa a superfície fechada.

Essa equação é conhecida como a lei de Ampère-Maxwell, que combina a lei de Ampère original com a lei de Faraday da indução eletromagnética. Ela descreve como as correntes elétricas e as variações do campo elétrico e magnético estão relacionadas.

Para provar a lei de Ampère, é possível utilizar conceitos de cálculo vetorial e manipulação de equações. Além disso, é possível resolver exercícios práticos que envolvem a aplicação da lei de Ampère em situações do dia a dia.

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Quando a lei de Ampère é aplicável na análise de campos magnéticos?

A lei de Ampère é uma importante ferramenta na análise de campos magnéticos, sendo aplicável em situações onde há simetria na distribuição de correntes elétricas. Ela descreve a relação entre o campo magnético ao redor de um circuito fechado e a corrente que atravessa esse circuito.

Para utilizar a lei de Ampère, é necessário que a simetria da situação permita simplificar o cálculo do campo magnético. Por exemplo, em casos onde a corrente elétrica percorre um fio retilíneo longo, um solenoide ou um toroide, a lei de Ampère pode ser aplicada com sucesso.

A fórmula matemática da lei de Ampère é dada por:

∮B⋅dl = μ0 * ΣI

Onde B é o campo magnético, dl é um elemento de comprimento ao redor do circuito fechado, μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo e ΣI é a corrente total que atravessa o circuito.

Para provar a validade da lei de Ampère, podemos usar a lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético ao redor de um fio retilíneo e em seguida aplicar a lei de Ampère para obter o mesmo resultado de forma mais simples.

Para praticar o uso da lei de Ampère, é importante resolver exercícios que envolvam situações de simetria onde a lei pode ser aplicada. Isso ajudará a compreender melhor como utilizar a fórmula e interpretar corretamente os resultados obtidos.

Qual é o princípio da mão direita para determinar a orientação do vetor?

O princípio da mão direita é uma regra utilizada para determinar a orientação de um vetor em um dado sistema de coordenadas. Para aplicar esse princípio, basta estender o polegar, o indicador e o dedo médio da mão direita de forma que fiquem ortogonais entre si. O polegar representa a direção do vetor de interesse, o indicador a direção do primeiro eixo do sistema de coordenadas, e o dedo médio a direção do segundo eixo. Assim, a orientação do vetor será dada pela direção em que os outros dedos estão apontando.

Na Lei de Ampère, que descreve a relação entre a corrente elétrica e o campo magnético que ela gera, a orientação do vetor campo magnético pode ser determinada utilizando o princípio da mão direita. Essa lei é expressa pela fórmula matemática ∮Bdl = μ0i, onde ∮Bdl é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado, μ0 é a permeabilidade do vácuo e i é a corrente que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Para provar a Lei de Ampère, é possível utilizar a Lei de Biot-Savart, que descreve o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico do espaço. Integrando a Lei de Biot-Savart ao longo de uma trajetória fechada, é possível chegar à formulação da Lei de Ampère.

Para exercitar o uso da Lei de Ampère, é recomendável resolver problemas que envolvam o cálculo do campo magnético gerado por diferentes configurações de correntes elétricas. Os exercícios podem incluir situações como fios condutores retos, laços de corrente e espiras solenoides, permitindo assim a aplicação prática da fórmula e das equações relacionadas.

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Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios

Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios

A Ampere ‘s lei  estabelece que o movimento do vetor indução magnética B é proporcional à intensidade I da corrente que flui através da mesma.

Por sua vez, a circulação de B  é a soma de todos os produtos entre o componente tangencial B  e o comprimento de um pequeno segmento Δℓ de uma curva fechada C , em torno de um circuito. Em termos matemáticos, está escrito assim:

∑ B .Δℓ I

Como uma linha ou curva arbitrária C, ela pode ser dividida em pequenos segmentos Δℓ , que por sua vez podem ser infinitesimais, então são chamados d .

Nesse caso, a soma se torna uma integral de linha do produto escalar entre os vetores B e d s. O referido produto contém o componente tangencial de B, que é B cosθ, em que θ é o ângulo entre os vetores:

O pequeno círculo que a integral percorre significa que a integração ocorre em um caminho fechado C, que neste caso envolve a corrente que flui através da seção transversal do condutor.

A constante de proporcionalidade necessária para estabelecer a igualdade é μ o , a permeabilidade ao vácuo. Dessa maneira, a lei de Ampère permanece:

A lei de Ampère nos diz que a integral de linha ∫ C B ∙ d s vale exatamente μ ou I, mas não nos fornece detalhes sobre como o campo magnético B é orientado em relação à curva C em cada ponto, nem na maneira de calcular a integral. Apenas nos diz que o resultado é sempre μ ou I.

Demonstração da lei de Ampère

A lei de Ampère é verificada experimentalmente verificando o campo magnético produzido por um condutor retilíneo muito longo. Antes de abordar o problema, devemos destacar dois casos de interesse especial na equação anterior:

-A primeira uma é quando B d s são paralelos, o que significa que B é tangencial a C. Em seguida, o ângulo entre os dois vectores é 0e o produto escalar é simplesmente o produto das grandezas B.ds .

-O segundo ocorre se B e d s são perpendiculares, nesse caso o produto escalar é 0, já que o ângulo entre os vetores é 90º, cujo cosseno é 0.

Outro detalhe importante é a escolha da curva C na qual a circulação do campo é avaliada. A lei de Ampère não especifica o que pode ser, mas deve envolver a distribuição atual. Também não diz que caminho percorrer a curva e existem duas possibilidades para isso.

A solução é atribuir sinais de acordo com a regra do polegar direito. Os quatro dedos são curvados na direção em que você deseja integrar, geralmente será o mesmo em que o campo B circula. Se a corrente apontar na direção do polegar direito, é atribuído um sinal de + e, se não, um sinal de -.

Isso se aplica quando há uma distribuição com várias correntes, algumas podem ser positivas e outras negativas. A soma algébrica deles é o que vamos colocar na lei de Ampère, que geralmente é denominada corrente fechada (pela curva C).

Campo magnético de fio reto e infinito

A Figura 2 mostra um fio que transporta uma corrente I para fora do plano. A regra do polegar direito garante que B circule no sentido anti-horário, descrevendo as circunferências conforme mostrado pelas setas vermelhas.

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Vamos pegar um deles, cujo raio é r. Dividimos em pequenos segmentos diferenciais d s , representados pelos vetores em azul. Ambos os vetores, B e d s , são paralelos em cada ponto da circunferência e, portanto, a integral ∫ C B ∙ d s se torna:

C Bds

Isso ocorre porque, como dissemos anteriormente, o produto escalar B ∙ d s   é o produto das magnitudes dos vetores pelo cosseno de 0º. Conhecemos o resultado da integral graças à lei de Ampère, por isso escrevemos:

C Bds = μ ou I

Como a magnitude do campo é constante em todo o caminho, deixa a integral:

B ∫ C ds = μ ou I

A integral ∫ C ds representa a soma de todos os segmentos infinitesimais que compõem a circunferência do raio r , equivalente ao seu comprimento, o produto do seu raio em 2π:

B.2πr = μ ou I

E a partir daí, descobrimos que a magnitude de B é:

B = μ ou I / 2πr

Deve-se enfatizar que, mesmo que o caminho selecionado ( ou circuito de ampère ) não fosse circular, o resultado da integral continua sendo μ ou I, no entanto, ∫ C B ∙ d não seria mais B.2πr.

Portanto, a utilidade da lei de Ampère para determinar o campo magnético reside na escolha de distribuições com alta simetria, de modo que a integral seja fácil de avaliar. Caminhos circulares e retilíneos atendem a esse requisito.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Considere as curvas a, b, ce mostradas na Figura 3. Elas envolvem três correntes, duas saindo do plano, simbolizadas por um ponto ( . ), Cujas intensidades são 1 A e 5 A e uma corrente entrando no plano, que é indicado por uma cruz e cuja magnitude é 2 A.

Encontre a corrente envolvida por cada curva.

Solução

As correntes que saem do papel recebem um sinal de +. De acordo com isso:

Curve um

Ele inclui as três correntes, portanto a corrente incluída é + 1 A + 5 A – 2 A = 4 A.

Curva b

Somente as correntes de 1 A e – 2 A estão dentro dessa curva; portanto, a corrente incluída é – 2 A.

Curva c

Ele inclui as correntes de saída 1A e 5A, portanto a corrente incluída é 6A.

Curva d

As correntes internas são +5 A e – 2 A, portanto, contém uma corrente líquida de 3 A.

– Exercício 2

Calcule a magnitude do campo magnético produzido por um fio retilíneo muito longo, a um ponto de 1 metro, se o fio transportar uma corrente de 1 A.

Solução

De acordo com a lei de Ampère, o campo do fio é dado por:

B = μ ou I / 2πr = (4π x 10 -7 x 1 / 2π x 1) T = 2 x 10 -7 T.

Referências

  1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 6. Eletromagnetismo. Editado por Douglas Figueroa (USB).
  2. Knight, R. 2017. Física para cientistas e engenharia: uma abordagem estratégica. Pearson.
  3. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14 th . Ed. Volume 2.
  4. Serway, R. 2009. College Physics. Aprendizado Cengage.
  5. Tipler, P. (2006) Física para Ciência e Tecnologia. 5th Ed. Volume 2. Editorial Reverté.

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