Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios

Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios

A Ampere ‘s lei  estabelece que o movimento do vetor indução magnética B é proporcional à intensidade I da corrente que flui através da mesma.

Por sua vez, a circulação de B  é a soma de todos os produtos entre o componente tangencial B  e o comprimento de um pequeno segmento Δℓ de uma curva fechada C , em torno de um circuito. Em termos matemáticos, está escrito assim:

∑ B .Δℓ I

Como uma linha ou curva arbitrária C, ela pode ser dividida em pequenos segmentos Δℓ , que por sua vez podem ser infinitesimais, então são chamados d .

Nesse caso, a soma se torna uma integral de linha do produto escalar entre os vetores B e d s. O referido produto contém o componente tangencial de B, que é B cosθ, em que θ é o ângulo entre os vetores:

O pequeno círculo que a integral percorre significa que a integração ocorre em um caminho fechado C, que neste caso envolve a corrente que flui através da seção transversal do condutor.

A constante de proporcionalidade necessária para estabelecer a igualdade é μ o , a permeabilidade ao vácuo. Dessa maneira, a lei de Ampère permanece:

A lei de Ampère nos diz que a integral de linha ∫ C B ∙ d s vale exatamente μ ou I, mas não nos fornece detalhes sobre como o campo magnético B é orientado em relação à curva C em cada ponto, nem na maneira de calcular a integral. Apenas nos diz que o resultado é sempre μ ou I.

Demonstração da lei de Ampère

A lei de Ampère é verificada experimentalmente verificando o campo magnético produzido por um condutor retilíneo muito longo. Antes de abordar o problema, devemos destacar dois casos de interesse especial na equação anterior:

-A primeira uma é quando B d s são paralelos, o que significa que B é tangencial a C. Em seguida, o ângulo entre os dois vectores é 0e o produto escalar é simplesmente o produto das grandezas B.ds .

-O segundo ocorre se B e d s são perpendiculares, nesse caso o produto escalar é 0, já que o ângulo entre os vetores é 90º, cujo cosseno é 0.

Outro detalhe importante é a escolha da curva C na qual a circulação do campo é avaliada. A lei de Ampère não especifica o que pode ser, mas deve envolver a distribuição atual. Também não diz que caminho percorrer a curva e existem duas possibilidades para isso.

A solução é atribuir sinais de acordo com a regra do polegar direito. Os quatro dedos são curvados na direção em que você deseja integrar, geralmente será o mesmo em que o campo B circula. Se a corrente apontar na direção do polegar direito, é atribuído um sinal de + e, se não, um sinal de -.

Isso se aplica quando há uma distribuição com várias correntes, algumas podem ser positivas e outras negativas. A soma algébrica deles é o que vamos colocar na lei de Ampère, que geralmente é denominada corrente fechada (pela curva C).

Campo magnético de fio reto e infinito

A Figura 2 mostra um fio que transporta uma corrente I para fora do plano. A regra do polegar direito garante que B circule no sentido anti-horário, descrevendo as circunferências conforme mostrado pelas setas vermelhas.

Vamos pegar um deles, cujo raio é r. Dividimos em pequenos segmentos diferenciais d s , representados pelos vetores em azul. Ambos os vetores, B e d s , são paralelos em cada ponto da circunferência e, portanto, a integral ∫ C B ∙ d s se torna:

C Bds

Isso ocorre porque, como dissemos anteriormente, o produto escalar B ∙ d s   é o produto das magnitudes dos vetores pelo cosseno de 0º. Conhecemos o resultado da integral graças à lei de Ampère, por isso escrevemos:

C Bds = μ ou I

Como a magnitude do campo é constante em todo o caminho, deixa a integral:

B ∫ C ds = μ ou I

A integral ∫ C ds representa a soma de todos os segmentos infinitesimais que compõem a circunferência do raio r , equivalente ao seu comprimento, o produto do seu raio em 2π:

B.2πr = μ ou I

E a partir daí, descobrimos que a magnitude de B é:

B = μ ou I / 2πr

Deve-se enfatizar que, mesmo que o caminho selecionado ( ou circuito de ampère ) não fosse circular, o resultado da integral continua sendo μ ou I, no entanto, ∫ C B ∙ d não seria mais B.2πr.

Portanto, a utilidade da lei de Ampère para determinar o campo magnético reside na escolha de distribuições com alta simetria, de modo que a integral seja fácil de avaliar. Caminhos circulares e retilíneos atendem a esse requisito.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Considere as curvas a, b, ce mostradas na Figura 3. Elas envolvem três correntes, duas saindo do plano, simbolizadas por um ponto ( . ), Cujas intensidades são 1 A e 5 A e uma corrente entrando no plano, que é indicado por uma cruz e cuja magnitude é 2 A.

Encontre a corrente envolvida por cada curva.

Solução

As correntes que saem do papel recebem um sinal de +. De acordo com isso:

Curve um

Ele inclui as três correntes, portanto a corrente incluída é + 1 A + 5 A – 2 A = 4 A.

Curva b

Somente as correntes de 1 A e – 2 A estão dentro dessa curva; portanto, a corrente incluída é – 2 A.

Curva c

Ele inclui as correntes de saída 1A e 5A, portanto a corrente incluída é 6A.

Curva d

As correntes internas são +5 A e – 2 A, portanto, contém uma corrente líquida de 3 A.

– Exercício 2

Calcule a magnitude do campo magnético produzido por um fio retilíneo muito longo, a um ponto de 1 metro, se o fio transportar uma corrente de 1 A.

Solução

De acordo com a lei de Ampère, o campo do fio é dado por:

B = μ ou I / 2πr = (4π x 10 -7 x 1 / 2π x 1) T = 2 x 10 -7 T.

Referências

  1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 6. Eletromagnetismo. Editado por Douglas Figueroa (USB).
  2. Knight, R. 2017. Física para cientistas e engenharia: uma abordagem estratégica. Pearson.
  3. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14 th . Ed. Volume 2.
  4. Serway, R. 2009. College Physics. Aprendizado Cengage.
  5. Tipler, P. (2006) Física para Ciência e Tecnologia. 5th Ed. Volume 2. Editorial Reverté.

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