Leis do expoente (com exemplos e exercícios resolvidos)

As leis dos expoentes são aquelas que se aplicam a esse número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por ele mesmo. Os expoentes também são conhecidos como potências. O empoderamento é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e a potência (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes geralmente são usados ​​quando quantidades muito grandes são usadas, porque nada mais são do que abreviações que representam a multiplicação desse mesmo número uma certa quantidade de vezes. Os expoentes podem ser positivos e negativos.

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Explicação das leis dos expoentes

Como afirmado anteriormente, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números por si mesmos várias vezes, onde o expoente se refere apenas ao número à esquerda. Por exemplo:

2 3 = 2 * 2 * 2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base de potência, que será multiplicada 3 vezes conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 elevado a 3 ou também 2 elevado ao cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos e, para diferenciar essa operação de multiplicação, o expoente exibe o sinal de menos (-) na sua frente (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de um fração. Por exemplo:

2 – 4 = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é par ou ímpar para determinar se a potência será positiva ou negativa. Então você tem que:

– Se o expoente for par, o poder será positivo. Por exemplo:

(-7) 2 = -7 * -7 = 49.

– Se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Por exemplo:

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( 2) 5 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = – 32.

Há um caso especial em que se o expoente é igual a 0, a potência é igual a 1. Há também a possibilidade de que a base seja 0; nesse caso, dependendo do expoente, a potência será indeterminada ou não.

Para executar operações matemáticas com os expoentes, é necessário seguir várias regras ou normas que facilitam encontrar a solução dessas operações.

Primeira lei: poder do expoente igual a 1

Quando o expoente é 1, o resultado será o mesmo valor base: a 1 = a.

Exemplos

9 1 = 9.

22 1 = 22.

895 1 = 895.

Segunda lei: poder do expoente igual a 0

Quando o expoente for 0, se a base for diferente de zero, o resultado será :, em = 1.

Exemplos

1 = 1.

323 = 1.

1095 = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como a exposição é negativa, o resultado será uma fração, onde a potência será o denominador. Por exemplo, se m for positivo, então a -m = 1 / a m .

Exemplos

– 3 -1 = 1/3.

– 6 -2 = 1/6 2 = 1/36.

– 8 -3 = 1/8 3 = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual

Para multiplicar potências em que as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são adicionados: a m * a n = a m + n .

Exemplos

– 4 4 * 4 3 = 4 4 + 3 = 4 7

– 8 1 * 8 4 = 8 1 + 4 = 8 5

– 2 2 * 2 9 = 2 2 + 9 = 2 11

Quinta lei: divisão de poderes com base igual

Para dividir potências nas quais as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos da seguinte forma: a m / a n = a m-n .

Exemplos

– 9 2 /9 1 = 9 (2 – 1) = 9, 1 .

– 6 15 /6 de Outubro de = 6 (15-10) = 6 5 .

– 49 dezembro / 49 6 = 49 (12-6) = 49 6 .

Sexta lei: multiplicação de poderes com base diferente

Esta lei tem o oposto do que é expresso na quarta; isto é, se houver bases diferentes, mas com expoentes iguais, as bases são multiplicadas e o expoente é mantido: a m * b m = (a * b) m .

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Exemplos

– 10 2 * 20 2 = (10 * 20) 2 = 200 2 .

– 45 11 * 9 11 = (45 * 9) 11 = 405 11 .

Outra maneira de representar essa lei é quando uma multiplicação é elevada a um poder. Assim, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a * b) m = a m * b m .

Exemplos

– (5 * 8) 4 = 5 4 * 8 4 = 40 4 .

– (23 * 7) 6 = 23 6 * 7 6 = 161 6 .

Sétima lei: divisão de poderes com base diferente

Se houver bases diferentes, mas com expoentes iguais, as bases são divididas e o expoente é mantido: a m / b m = (a / b) m .

Exemplos

– 30 3 /2 3 = (2/30) 3 = 15 3 .

– 440 4 /80 4 = (440/80) 4 = 5,5 4 .

Da mesma forma, quando uma divisão é elevada a uma potência, o expoente pertence a cada um dos termos: (a / b) m = a m / b m .

Exemplos

– (8/4) 8 = 8 8 /4 8 = 2 8 .

– (25/5) 2 = 25 2 /5 2 = 5 2 .

Existe o caso em que o expoente é negativo. Portanto, para ser positivo, o valor do numerador é revertido com o do denominador, da seguinte maneira:

– (a / b) -n = (b / a) n = b n / a n .

– (4/5) -9 = (5/4) 9 = 5 9 /4 4 .

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem um poder que é elevado a outro poder – ou seja, dois expoentes ao mesmo tempo – a base é mantida e os expoentes se multiplicam: (a m ) n = a m * n .

Exemplos

– (8 3 ) 2 = 8 (3 * 2) = 8 6 .

– (13 9 ) 3 = 13 (9 * 3) = 13 27 .

– (238 10 ) 12 = 238 (10 * 12) = 238 120 .

Nona lei: expoente fracionário

Se a potência tem como expoente uma fração, é resolvida transformando-a em uma enésima raiz, onde o numerador é mantido como expoente e o denominador representa o índice de raiz:

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Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre os poderes que têm bases diferentes:

2 4 * 4 4 /8 2 .

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, no numerador as bases são multiplicadas e o expoente é mantido, assim:

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2 4 * 4 4 /8 2 = (2 * 4) 4 /8 2 = 8 4 /8 2

Agora, como existem bases iguais, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

8 4 /8 2 = 8 (4-2) = 8 2

Exercício 2

Calcule as operações entre os poderes aumentados para outro poder:

(3 2 ) 3 * (2 * 6 5 ) -2 * (2 2 ) 3

Solução

Aplicando as leis, você deve:

(3 2 ) 3 * (2 * 6 5 ) -2 * (2 2 ) 3

= 3 6 * 2 -2 * 2 -10 * 2 6

= 3 6 * 2 (-2) + (- 10) * 2 6

= 3 6 * 2 -12 * 2 6

= 3 6 * 2 (-12) + (6)

= 3 6 * 2 6

= (3 * 2) 6

= 6 6

= 46.656

Referências

  1. Aponte, G. (1998). Fundamentos da Matemática Básica. Pearson Education.
  2. Corbalán, F. (1997). Matemática aplicada à vida cotidiana.
  3. Jiménez, JR (2009). Matemática 1 SEP.
  4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e Trigonometria.
  5. Rees, PK (1986). Reverte

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