Leis do expoente (com exemplos e exercícios resolvidos)

As leis do expoente são um conjunto de regras matemáticas que nos ajudam a simplificar expressões algébricas que envolvem potências. Essas leis são fundamentais para resolver problemas envolvendo potências e facilitam o cálculo de expressões com expoentes.

Existem várias leis do expoente, como a lei do produto, a lei da potência de um produto, a lei do quociente, a lei da potência de um quociente, a lei da potência de uma potência, entre outras. Essas leis nos permitem simplificar expressões com expoentes de forma mais rápida e eficiente.

Por exemplo, se tivermos a expressão 2^3 * 2^4, podemos simplificar utilizando a lei da potência de um produto, que nos diz que a potência de um produto é igual ao produto das potências. Assim, 2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7.

Através de exercícios práticos e exemplos resolvidos, podemos compreender melhor como aplicar as leis do expoente e resolver problemas envolvendo potências de forma mais simples e rápida.

Qual é a regra para os expoentes na matemática?

Os expoentes são um conceito fundamental na matemática, e existem várias regras que governam seu comportamento. Uma das principais regras dos expoentes é a Lei do Produto, que afirma que quando multiplicamos duas potências com a mesma base, devemos somar os expoentes.

Por exemplo, se tivermos x² * x³, podemos simplificar isso como x²⁺³ = x⁵. Isso ocorre porque estamos multiplicando duas potências de x com a mesma base, então somamos os expoentes para obter o resultado.

Outra regra importante é a Lei do Quociente, que diz que quando dividimos duas potências com a mesma base, devemos subtrair os expoentes.

Por exemplo, se tivermos x⁵ / x², podemos simplificar isso como x^5-2 = x³. Aqui, estamos dividindo duas potências de x com a mesma base, então subtraímos os expoentes para obter o resultado.

Além disso, existe a Lei da Potência de um Produto, que afirma que um produto elevado a um expoente é igual ao produto de cada fator elevado a esse mesmo expoente.

Por exemplo, se tivermos (x² * y³)⁴, podemos simplificar isso como x^2*4 * y^3*4 = x⁸ * y¹². Aqui, aplicamos o expoente a cada fator dentro do parêntese.

Essas são algumas das principais regras dos expoentes na matemática. Praticar com exercícios pode ajudar a solidificar esses conceitos e aperfeiçoar suas habilidades de manipulação de expoentes.

Descubra as 7 propriedades essenciais da potenciação para resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

As leis do expoente são fundamentais para resolver problemas matemáticos envolvendo potenciação. Dominar essas propriedades é essencial para simplificar cálculos e obter resultados precisos. Neste artigo, vamos explorar as 7 propriedades essenciais da potenciação e como aplicá-las de forma eficiente em exercícios resolvidos.

1. Produto de potências de mesma base

Quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes. Por exemplo, (2^3 times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128).

2. Quociente de potências de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes. Por exemplo, (5^6 div 5^3 = 5^{6-3} = 5^3 = 125).

3. Potência de uma potência

Para elevar uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. Por exemplo, ((3^2)^3 = 3^{2 times 3} = 3^6 = 729).

4. Potência de um produto

Para elevar um produto a uma potência, elevamos cada fator à potência indicada. Por exemplo, ((2 times 3)^4 = 2^4 times 3^4 = 16 times 81 = 1296).

5. Potência de um quociente

Ao elevar um quociente a uma potência, elevamos o dividendo e o divisor à potência indicada. Por exemplo, (frac{4^2}{2^3} = frac{16}{8} = 2).

6. Potência de base 1

Qualquer número elevado à potência 1 é ele mesmo. Por exemplo, (7^1 = 7).

7. Potência de base 0

Qualquer número diferente de zero elevado à potência 0 é igual a 1. Por exemplo, (6^0 = 1).

Agora que você conhece as 7 propriedades essenciais da potenciação, pratique resolvendo os seguintes exercícios:

1. Calcule o valor de (3^4 times 3^2).

2. Simplifique a expressão (frac{2^5}{2^3}).

3. Resolva a potência ((10^2)^3).

Espero que este artigo tenha te ajudado a entender melhor as leis do expoente e como aplicá-las de forma eficiente em problemas matemáticos. Pratique essas propriedades para aprimorar suas habilidades e se tornar mais confiante em cálculos envolvendo potenciação.

Entendendo o conceito de expoente com exemplos práticos e simples de compreender.

O conceito de expoente é fundamental na matemática e está presente em diversas situações do nosso dia a dia. Um expoente indica quantas vezes um número deve ser multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, se temos 2³, isso significa que devemos multiplicar 2 por ele mesmo três vezes: 2 x 2 x 2 = 8. Neste caso, o número 3 é o expoente.

As Leis do expoente são regras que facilitam a manipulação de expressões com expoentes. Vamos ver algumas delas com exemplos práticos:

1. Multiplicação de potências de mesma base: Para multiplicar potências de mesma base, basta somar os expoentes. Por exemplo, 2³ x 2⁴ = 2⁷ (pois 3 + 4 = 7).

2. Divisão de potências de mesma base: Para dividir potências de mesma base, basta subtrair os expoentes. Por exemplo, 2⁵ ÷ 2² = 2³ (pois 5 – 2 = 3).

Agora, vamos resolver alguns exercícios para fixar o conteúdo:

Exercício 1: Calcule o valor de 3⁴ x 3².

Solução: Aplicando a regra de multiplicação de potências de mesma base, temos 3⁴ x 3² = 3⁶ (pois 4 + 2 = 6).

Exercício 2: Calcule o valor de 5³ ÷ 5¹.

Solução: Aplicando a regra de divisão de potências de mesma base, temos 5³ ÷ 5¹ = 5² (pois 3 – 1 = 2).

Agora que você entende melhor o conceito de expoente e as Leis do expoente, pratique mais exercícios para aprimorar seu conhecimento e habilidade em lidar com potências. Lembre-se sempre de aplicar as regras corretamente e verificar seus cálculos para obter os resultados corretos.

Descubra a maneira correta de calcular o expoente em operações matemáticas simples.

Para realizar cálculos com expoentes de forma correta, é importante conhecer as Leis do Expoente. Essas leis são regras que facilitam a simplificação de expressões matemáticas envolvendo potências. Vamos explicar cada uma delas com exemplos e exercícios resolvidos.

Lei do Produto: Ao multiplicar potências de mesma base, devemos manter a base e somar os expoentes. Por exemplo, (a^m times a^n = a^{m+n}).

Exemplo: (2^3 times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128).

Lei da Potência de Potência: Ao elevar uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. Ou seja, ( (a^m)^n = a^{m times n} ).

Exemplo: ((3^2)^3 = 3^{2 times 3} = 3^6 = 729).

Lei do Quociente: Ao dividir potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Assim, ( frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ).

Exemplo: (5^7 div 5^4 = 5^{7-4} = 5^3 = 125).

Agora, vamos resolver um exercício para fixar o conteúdo:

Exercício: Calcule o valor da expressão (4^2 times 4^3 div 4^4 ).

Solução: Aplicando as Leis do Expoente, temos que (4^2 times 4^3 div 4^4 = 4^{2+3-4} = 4^1 = 4).

Agora que você entendeu as Leis do Expoente, poderá simplificar expressões matemáticas com mais facilidade. Pratique mais exercícios para aprimorar seus conhecimentos nesta área da matemática!

Leis do expoente (com exemplos e exercícios resolvidos)

As leis dos expoentes são aquelas que se aplicam a esse número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por ele mesmo. Os expoentes também são conhecidos como potências. O empoderamento é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e a potência (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes geralmente são usados ​​quando quantidades muito grandes são usadas, porque nada mais são do que abreviações que representam a multiplicação desse mesmo número uma certa quantidade de vezes. Os expoentes podem ser positivos e negativos.

Explicação das leis dos expoentes

Como afirmado anteriormente, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números por si mesmos várias vezes, onde o expoente se refere apenas ao número à esquerda. Por exemplo:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base de potência, que será multiplicada 3 vezes conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 elevado a 3 ou também 2 elevado ao cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos e, para diferenciar essa operação de multiplicação, o expoente exibe o sinal de menos (-) na sua frente (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de um fração. Por exemplo:

2 ^{– 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é par ou ímpar para determinar se a potência será positiva ou negativa. Então você tem que:

– Se o expoente for par, o poder será positivo. Por exemplo:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

– Se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Por exemplo:

( – 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = – 32.

Há um caso especial em que se o expoente é igual a 0, a potência é igual a 1. Há também a possibilidade de que a base seja 0; nesse caso, dependendo do expoente, a potência será indeterminada ou não.

Para executar operações matemáticas com os expoentes, é necessário seguir várias regras ou normas que facilitam encontrar a solução dessas operações.

Primeira lei: poder do expoente igual a 1

Quando o expoente é 1, o resultado será o mesmo valor base: a ¹ = a.

Exemplos

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Segunda lei: poder do expoente igual a 0

Quando o expoente for 0, se a base for diferente de zero, o resultado será :, em ⁰ = 1.

Exemplos

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como a exposição é negativa, o resultado será uma fração, onde a potência será o denominador. Por exemplo, se m for positivo, então a ^-m = 1 / a ^m .

Exemplos

– 3 ^-1 = 1/3.

– 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

– 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual

Para multiplicar potências em que as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são adicionados: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Exemplos

– 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

– 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

– 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Quinta lei: divisão de poderes com base igual

Para dividir potências nas quais as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos da seguinte forma: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Exemplos

– 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 – 1)} = 9, ¹ .

– 6 ¹⁵ /6 ^{de Outubro de} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

– 49 ^dezembro / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Sexta lei: multiplicação de poderes com base diferente

Esta lei tem o oposto do que é expresso na quarta; isto é, se houver bases diferentes, mas com expoentes iguais, as bases são multiplicadas e o expoente é mantido: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Exemplos

– 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

– 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Outra maneira de representar essa lei é quando uma multiplicação é elevada a um poder. Assim, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Exemplos

– (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

– (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Sétima lei: divisão de poderes com base diferente

Se houver bases diferentes, mas com expoentes iguais, as bases são divididas e o expoente é mantido: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Exemplos

– 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

– 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Da mesma forma, quando uma divisão é elevada a uma potência, o expoente pertence a cada um dos termos: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Exemplos

– (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

– (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Existe o caso em que o expoente é negativo. Portanto, para ser positivo, o valor do numerador é revertido com o do denominador, da seguinte maneira:

– (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

– (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem um poder que é elevado a outro poder – ou seja, dois expoentes ao mesmo tempo – a base é mantida e os expoentes se multiplicam: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Exemplos

– (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

– (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

– (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Nona lei: expoente fracionário

Se a potência tem como expoente uma fração, é resolvida transformando-a em uma enésima raiz, onde o numerador é mantido como expoente e o denominador representa o índice de raiz:

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre os poderes que têm bases diferentes:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, no numerador as bases são multiplicadas e o expoente é mantido, assim:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Agora, como existem bases iguais, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Exercício 2

Calcule as operações entre os poderes aumentados para outro poder:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Solução

Aplicando as leis, você deve:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Referências

1. Aponte, G. (1998). Fundamentos da Matemática Básica. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matemática aplicada à vida cotidiana.
3. Jiménez, JR (2009). Matemática 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e Trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte