Função de injeção: o que é, para que serve e exemplos

Uma função injetiva é qualquer relação de elementos do domínio com um único elemento do codomain. Também conhecida como função de 1-1 ( 1-1 ), que são parte das funções de classificação no que diz respeito à forma como os seus elementos são relacionados.

Um elemento do codomain pode ser apenas uma imagem de um único elemento do domínio; dessa forma, os valores da variável dependente não podem ser repetidos.

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Um exemplo claro seria agrupar os homens com trabalho no grupo A e no grupo B todos os chefes. A função F será a que associa cada trabalhador ao seu chefe. Se cada trabalhador estiver associado a um chefe diferente por meio de F , F será uma função injetiva .

Para considerar uma função injetiva , o seguinte deve ser cumprido:

∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )

Esta é a maneira algébrica de dizer: Para cada x 1 diferente de x 2, você tem um F (x 1 ) diferente de F (x 2 ).

Para que servem as funções injetáveis?

A injetividade é uma propriedade das funções contínuas, pois elas garantem a atribuição de imagens para cada elemento do domínio, um aspecto essencial na continuidade de uma função.

Ao desenhar uma linha paralela ao eixo X no gráfico de uma função injetiva, o gráfico deve ser tocado apenas em um único ponto, independentemente da altura ou magnitude de Y em que a linha é desenhada. Esta é a maneira gráfica de testar a injetividade de uma função.

Outra maneira de testar se uma função é injetiva é limpar a variável independente X em termos da variável dependente Y. Em seguida, deve-se verificar se o domínio dessa nova expressão contém os números reais, ao mesmo tempo que para cada valor de Y existe apenas um valor de X.

As funções ou relações de ordem obedecem, entre outras formas, à notação F: D fC f

O que é lido F que vai de D f a C f

Onde a função F relaciona os conjuntos Domínio e Codomain. Também conhecido como partida e chegada.

O domínio D f contém os valores permitidos para a variável independente. O codomain C f é composto por todos os valores disponíveis para a variável dependente. Os elementos de C f relacionados a D f são conhecidos como Intervalo de funções (R f ).

Função Condicionamento

Às vezes, uma função que não é injetável pode sofrer certas condições. Essas novas condições podem transformá-lo em uma função injetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e co-domínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades da injetividade no relacionamento correspondente.

Exemplos de funções injetáveis ​​com exercícios resolvidos

Exemplo 1

Seja a função F: RR definida pela linha F (x) = 2x – 3

A: [todos os números reais]

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Observa-se que para cada valor de domínio há uma imagem no codomain. Essa imagem é única, o que faz de F uma função injetiva. Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau de variável é um).

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Exemplo 2

Seja a função F: RR definida por F (x) = x 2 +1

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Ao desenhar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Por esse motivo, a função F não é injetiva enquanto RR é definido

O domínio da função é condicionado:

F: R + U {0}R

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Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando assim a repetição dos resultados e a função F: R + U {0}R definida por F (x) = x 2 + 1 é injetiva .

Outra solução homóloga seria restringir o domínio à esquerda, ou seja, restringir a função a assumir apenas valores negativos e zero.

O domínio da função é condicionado

F: R U {0}R

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Fonte: Autor

Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando assim a repetição dos resultados e a função F: R U {0}R definida por F (x) = x 2 + 1 é injetiva .

Funções trigonométricas têm comportamentos parecidos com ondas, onde é muito comum encontrar repetições de valores na variável dependente. Através de condições específicas, baseadas no conhecimento prévio dessas funções, podemos restringir o domínio para atender às condições de injetividade.

Exemplo 3

Seja a função F: [- π / 2, π / 2 ] → R definido por F (x) = Cos (x)

No intervalo [- π / 2 → π / 2 ], a função cosseno varia seus resultados entre zero e um.

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Como visto no gráfico. Comece do zero em x = π / 2 e alcance o máximo em zero. É após x = 0 que os valores começam a se repetir, até que retornem a zero em x = π / 2. Dessa maneira, sabe-se que F (x) = Cos (x) não é injetivo para o intervalo [- π / 2, π / 2 ] .

Ao estudar o gráfico da função F (x) = Cos (x) , são observados intervalos em que o comportamento da curva é adaptado aos critérios de injetividade. Como por exemplo o intervalo

[0 , π ]

Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.

Desta forma, a função de função F: [0 , π ] → R definida por F (x) = Cos (x). É injetável

Existem funções não lineares onde ocorrem casos semelhantes. Para expressões de tipo racional, onde o denominador abriga pelo menos uma variável, existem restrições que impedem a injetividade do relacionamento.

Exemplo 4

Seja a função F: RR definida por F (x) = 10 / x

A função é definida para todos os números reais, exceto {0} que tem uma indeterminação (não pode ser dividida por zero) .

Ao se aproximar de zero à esquerda, a variável dependente recebe valores negativos muito grandes e, imediatamente após zero, os valores da variável dependente recebem números positivos grandes.

Essa interrupção causa a expressão F: RR definida por F (x) = 10 / x

Não seja injetável.

Como visto nos exemplos anteriores, a exclusão de valores no domínio serve para “reparar” essas indeterminações. Continuamos excluindo zero do domínio, deixando os conjuntos de partidas e chegadas definidos da seguinte maneira:

R – {0}R

Onde R – {0} simboliza os reais, exceto um conjunto cujo único elemento é zero.

Dessa maneira, a expressão F: R – {0}R definida por F (x) = 10 / x é injetiva.

Exemplo 5

Seja a função F: [0 , π ] → R definida por F (x) = Sen (x)

No intervalo [0 , π ] a função seno varia seus resultados entre zero e um.

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Como visto no gráfico. Comece do zero em x = atingindo o máximo em x = π / 2. É após x = π / 2 que os valores começam a se repetir, até que retornem a zero em x = π. Dessa maneira, sabe-se que F (x) = Sen (x) não é injetivo para o intervalo [0 , π ] .

Ao estudar o gráfico da função , são observados intervalos F (x) = Sen (x) onde o comportamento da curva é adaptado aos critérios de injetividade. Como o intervalo [ π / 2 , 3π / 2 ]

Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.

Desta forma, a função F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definida por F (x) = Sen (x). É injetável

Exemplo 6

Verifique se a função F: [0, ∞)R definida por F (x) = 3x 2 é injetiva.

Nesta ocasião, o domínio da expressão já é limitado. Observa-se também que os valores da variável dependente não são repetidos neste intervalo.

Portanto, pode-se concluir que F: [0, ∞)R definido por F (x) = 3x 2 é injetivo

Exemplo 7

Identifique qual das seguintes funções é

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  1. É injetivo. Os elementos associados do codomain são exclusivos para cada valor da variável independente.
  2. Não é injetável. Existem elementos do codomain associados a mais de um elemento do conjunto inicial.
  3. É injetável
  4. Não é injetável

Exercícios propostos para a aula / casa

Verifique se as seguintes funções são injetivas:

F: [0, ∞) → R definido por F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definido por F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R definido por F (x) = Cos (x + 1)

F: R R definido pela linha F (x) = 7x + 2

Referências

  1. Introdução ao pensamento lógico e crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia
  3. Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind 4.
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.

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