Transformação de Fourier: propriedades, aplicativos, exemplos

A transformada de Fourier é um método de adaptação analítica orientado para funções integráveis ​​que pertence à família de transformadas integrais . Consiste em uma redefinição das funções f (t) em termos de Cos (t) e Sen (t).

As identidades trigonométricas dessas funções, juntamente com suas características de derivação e antiderivação, servem para definir a transformada de Fourier através da seguinte função complexa:

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O que é verdade enquanto a expressão faz sentido, isto é, quando a integral imprópria é convergente. Algebricamente, diz-se que a transformada de Fourier é um homeomorfismo linear.

Qualquer função que possa ser trabalhada com a conversão de Fourier deve ter nulidade fora de um parâmetro definido.

Propriedades

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A transformação de Fourier atende às seguintes propriedades:

Estoque

Para verificar a existência da transformada de Fourier em uma função f (t) definida no R real , os 2 axiomas a seguir devem ser cumpridos:

  1. f (t) é contínuo em partes para todos os R
  2. f (t) é integrável em R

Linearidade da transformação de Fourier

Seja M (t) e N (t) quaisquer duas funções com transformadas de Fourier definidas, com constantes a e b qualquer.

F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

O que também se baseia na linearidade da integral com o mesmo nome.

Transformada de Fourier de uma derivada

Tem uma função f que é contínua e integrável em todos os reais, onde:

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E a derivada de f (f ‘) é contínua e definida em partes em todo R

A transformação de Fourier de uma derivada é definida pela integração em partes, pela seguinte expressão:

F [f ‘(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

Em derivações de ordem superior, ela será aplicada de maneira homóloga, onde para todos os n 1, é necessário:

F [f N ‘(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Diferenciação da transformada de Fourier

Tem uma função f que é contínua e integrável em todos os reais, onde:

i (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Transformada de Fourier de uma tradução

Para tudo θ que pertence a um conjunto S e T que pertence ao conjunto S ‘, é necessário:

F [ τ a θ] = e -iay F [ θ] F [ τ a T ] = e -iax F [ T]

Com τ a trabalhando como operador de tradução no vetor a.

Tradução de transformada de Fourier

Para tudo θ que pertence a um conjunto S e T que pertence ao conjunto S ‘, é necessário:

τ a F [θ] = F [e- ãx . θ] τ a F [T ] = F [todos os dias . T]

Por tudo para que parte R

Transformada de Fourier de um grupo de escalas

Para todos θ pertence a um conjunto S. T que pertence o conjunto S ‘

λ pertencente a R – {0} deve:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / λ )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ )

Se f é uma função contínua e claramente integrável, onde a> 0. Então:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Para demonstrar esse resultado, você pode prosseguir com a alteração da variável.

Quando T → + então s = em → + ∞

Quando T → – então s = em → – ∞

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Simetria

Para estudar a simetria da transformada de Fourier, a identidade de Parseval e a fórmula de Plancherel devem ser verificadas.

Você tem θ e δ que pertencem a S. A partir daí, pode-se deduzir que:

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Obtenção

1 / (2π) d { F [θ ], F [δ ] } Identidade Parseval

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] || Fórmula L 2 R d Plancherel

Transformada de Fourier de um produto em convolução

Perseguindo objetivos semelhantes aos que na transformação de Laplace , a convolução de funções se refere ao produto entre suas transformadas de Fourier.

Possui fyg como 2 funções limitadas, definidas e totalmente integráveis:

F (f * g) = F (f). F (g)

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Então, ao alterar a variável

t + s = x; continuamos com a integral dupla imprópria

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F (f). F (g) = F (f. G)

Continuidade e queda infinita

Para todos os θ pertencentes a R, F [ θ] cumpre os critérios de função contínua delimitados em Rd .

Também { F [ θ] (y)} → 0 em C se | y | → ∞

História

Este conceito matemático foi apresentado por Joseph B. Fourier em 1811, enquanto desenvolvia um tratado sobre a propagação do calor. Foi rapidamente adotado por vários ramos da ciência e engenharia.

Foi estabelecido como a principal ferramenta de trabalho no estudo de equações com derivadas parciais, comparando mesmo com a relação de trabalho entre a transformada de Laplace e as equações diferenciais ordinárias.

Para que serve a transformação de Fourier?

Serve principalmente para simplificar significativamente as equações, transformando expressões derivadas em elementos de poder , que denotam expressões diferenciais na forma de polinômios integráveis.

Na otimização, modulação e modelagem de resultados, atua como uma expressão padronizada, sendo um recurso frequente para a engenharia após várias gerações.

A Série Fourier

São séries definidas em termos de cossenos e seios; eles servem para facilitar o trabalho com funções periódicas gerais. Quando aplicados, fazem parte das técnicas para resolver equações diferenciais parciais e ordinárias.

As séries de Fourier são ainda mais gerais que as de Taylor, porque executam funções descontínuas periódicas que não têm representação nas séries de Taylor.

Outras formas da série Fourier

Para entender a transformação de Fourier analiticamente, é importante revisar as outras maneiras pelas quais a série de Fourier pode ser encontrada, até que a série de Fourier possa ser definida em sua notação complexa.

– Série de Fourier em uma função de período de 2L

Muitas vezes é necessário adaptar a estrutura de uma série de Fourier a funções periódicas cujo período é p = 2L> 0 no intervalo [-L, L].

– Série de Fourier em funções ímpares e pares

O intervalo [–π, π] é considerado, o que oferece vantagens ao tirar proveito das características simétricas das funções.

Se f for par, a série de Fourier é estabelecida como uma série de cossenos.

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Se f for ímpar, a série de Fourier é estabelecida como uma série de peitos.

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– Notação complexa da série Fourier

Se você possui uma função f (t), que atende a todos os requisitos de desenvolvimento da série Fourier, é possível denotá-la no intervalo [-t, t] usando sua notação complexa:

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Aplicações

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Cálculo da solução fundamental

A transformada de Fourier é uma ferramenta poderosa no estudo de equações diferenciais parciais do tipo linear com coeficientes constantes. Eles se aplicam a funções com domínios não delimitados igualmente.

Como a transformada de Laplace, a transformada de Fourier transforma uma função derivada parcial em uma equação diferencial ordinária muito mais fácil de operar.

O problema de Cauchy para a equação do calor apresenta um campo de aplicação frequente da transformada de Fourier, onde é gerada a função do núcleo de calor ou do núcleo de Dirichlet.

Com relação ao cálculo da solução fundamental, são apresentados os seguintes casos em que é comum encontrar a transformada de Fourier:

Equação -Laplace

– Equação de Calor

Equação de Schrödinger

– Equação de onda

Teoria dos sinais

A razão geral para a aplicação da transformada de Fourier neste ramo se deve principalmente à decomposição característica de um sinal como superposição infinita de sinais tratáveis ​​com mais facilidade.

Pode ser uma onda sonora ou uma onda eletromagnética, a transformada de Fourier a expressa em uma superposição de ondas simples. Essa representação é bastante frequente na engenharia elétrica.

Por outro lado, existem exemplos de aplicação da transformada de Fourier no campo da teoria dos sinais:

-Problemas de identificação do sistema. Ano fiscal estabelecido

-Problema com a consistência do sinal de saída

-Problemas com filtragem de sinal

Exemplos

Exemplo 1

Defina a conversão de Fourier para a seguinte expressão:

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Também podemos representá-lo da seguinte maneira:

F (t) = Sen (t) [H (t + k) – H (t – k) ]

O pulso retangular é definido:

p (t) = H (t + k) – H (t – k)

A transformação de Fourier é aplicada à seguinte expressão que se assemelha ao teorema da modulação.

f (t) = p (t) Sen (t)

Onde: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) – p (w – 1)]

E a transformação de Fourier é definida por:

F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) – (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]

Exemplo 2

Defina a conversão de Fourier para a expressão:

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Como f (h) é uma função par, pode-se afirmar que

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A integração por partes é aplicada selecionando as variáveis ​​e seus diferenciais da seguinte maneira

u = sen (zh) du = z cos (zh) dh

DV = h (e -h ) 2 v = (E -h ) 2 /2

Substituindo você tem

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Depois de avaliar sob o teorema fundamental do cálculo

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Aplicando conhecimento prévio sobre equações diferenciais de primeira ordem, a expressão é denotada como

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Para obter K, avaliamos

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Finalmente, a transformada de Fourier da expressão é definida como

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Exercícios propostos

  • Transformação de Fourier: propriedades, aplicativos, exemplos 27
  • Transformação de Fourier: propriedades, aplicativos, exemplos 28
  • Obter a expressão transform W / (1 + w 2 )

Referências

  1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Análise de Fourier. Addison – Wesley Iberoamericana, Universidade Autônoma de Madri, 1995.
  2. Lions, JL, Análise Matemática e Métodos Numéricos para Ciência e Tecnologia. Springer – Verlag, 1990.
  3. Lieb, EH, núcleos gaussianos têm apenas maximizadores gaussianos. Inventar Matemática 102 , 179-208, 1990.
  4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series e Integrais
    Academic Press, Nova Iorque, 1972.
  5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.

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