Leonhard Euler foi um matemático, físico e engenheiro suíço do século XVIII, conhecido por suas contribuições significativas em diversas áreas da matemática e da física. Nascido em 1707 na cidade de Basileia, Euler estudou na Universidade de Basileia e posteriormente na Universidade de São Petersburgo, na Rússia.
Suas contribuições mais importantes incluem a introdução do conceito de função matemática, a notação moderna para funções trigonométricas, a teoria dos números, a teoria dos grafos, entre muitos outros. Euler também é conhecido por suas obras como “Introductio in analysin infinitorum” e “Institutiones calculi differentialis”.
Além disso, Euler deixou diversas citações inspiradoras que refletem sua paixão pelo conhecimento e sua dedicação à ciência. Sua genialidade e vasto legado continuam a influenciar a matemática e a física até os dias de hoje.
Contribuições de Euler para a matemática e física: um legado de genialidade e inovação.
Leonhard Euler foi um dos maiores matemáticos e físicos da história, cujo legado de genialidade e inovação ainda reverbera nos dias de hoje. Nascido em 1707, na Suíça, Euler fez inúmeras contribuições fundamentais para a matemática e a física, deixando um impacto duradouro em ambas as áreas.
Entre as contribuições mais importantes de Euler para a matemática estão a introdução do conceito de função matemática, a notação matemática moderna (incluindo o uso de letras como e e π para representar constantes) e a formulação da teoria dos números, da geometria analítica e do cálculo diferencial e integral. Suas obras, como “Introductio in analysin infinitorum” e “Institutiones calculi differentialis”, são consideradas marcos na história da matemática.
No campo da física, Euler fez importantes contribuições para a mecânica, a óptica e a teoria dos fluidos. Ele também desenvolveu a equação de Euler, que descreve o movimento de um fluido incompressível e não viscoso. Sua obra “Mechanica sive motus scientia analytice exposita” é um dos pilares da física matemática.
Euler também deixou um legado de inovação em outras áreas, como a teoria dos grafos, a teoria dos números primos e a teoria dos poliedros. Sua capacidade de resolver problemas complexos com elegância e simplicidade tornou-o um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos.
Além de suas contribuições acadêmicas, Euler também é conhecido por suas citações inspiradoras, como “A matemática é a rainha das ciências” e “O cálculo é a matemática feita simples”. Sua paixão pela matemática e pela física era evidente em tudo o que ele fazia, e seu legado continua a inspirar gerações de cientistas e matemáticos.
Em resumo, as contribuições de Leonhard Euler para a matemática e a física são um testemunho de sua genialidade e inovação. Seu trabalho revolucionou o campo da matemática e influenciou profundamente a forma como vemos o mundo ao nosso redor. Euler é verdadeiramente um dos grandes gênios da história da ciência.
Biografia de Leonhard Euler: quem foi o matemático suíço e suas contribuições.
Leonhard Euler foi um renomado matemático suíço nascido em 1707. Ele é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, com inúmeras contribuições para a matemática, física e engenharia.
Euler é conhecido por suas contribuições em diversas áreas da matemática, como álgebra, geometria, análise matemática, teoria dos números e mecânica. Ele formulou o conceito de função matemática e introduziu símbolos como π (pi) e e (número de Euler) que são amplamente utilizados até hoje.
Além disso, Euler é famoso por suas obras como “Introductio in analysin infinitorum” e “Institutiones calculi differentialis”, que são consideradas fundamentais para o desenvolvimento da análise matemática.
Uma das citações mais famosas de Euler é: “A matemática é a rainha das ciências e a aritmética é a rainha da matemática”. Essa frase destaca a importância que Euler dava à matemática em seu trabalho.
Infelizmente, Euler perdeu a visão em um olho durante sua vida e acabou ficando completamente cego nos últimos anos. No entanto, isso não o impediu de continuar trabalhando e produzindo importantes contribuições para a matemática.
Em resumo, Leonhard Euler foi um matemático brilhante que deixou um legado duradouro no campo da matemática e cujo trabalho continua a influenciar gerações de matemáticos até hoje.
Qual a relevância de Euler para a matemática e ciência?
Leonhard Euler foi um dos matemáticos mais proeminentes do século XVIII, cujas contribuições revolucionaram não apenas a matemática, mas também a ciência como um todo. Nascido em 1707 na Suíça, Euler fez importantes descobertas em áreas como análise matemática, teoria dos números, geometria, mecânica e física.
Entre suas muitas contribuições, destacam-se a introdução do conceito de função matemática, a notação moderna de f(x) para representar uma função, a fórmula de Euler para poliedros (V – A + F = 2), a fórmula de Euler para a teoria dos números (a^phi(n) = 1 (mod n)), e a identidade de Euler para funções exponenciais (e^(i*pi) + 1 = 0).
Euler também é conhecido por suas obras influentes, como “Introductio in analysin infinitorum” e “Institutiones calculi differentialis”, que ajudaram a estabelecer os fundamentos da análise matemática. Suas contribuições tiveram um impacto duradouro na matemática e na ciência, e muitos dos conceitos que ele desenvolveu são fundamentais para a compreensão moderna dessas disciplinas.
Em suas próprias palavras, Euler uma vez disse: “A Matemática é a rainha das ciências e a aritmética é a rainha da matemática“. Essa citação reflete a importância que ele atribuía à matemática e ao rigor lógico em suas investigações.
Em resumo, a relevância de Euler para a matemática e ciência é inestimável, e seu legado continua a inspirar gerações de matemáticos e cientistas até os dias de hoje.
Leonhard Euler: Qual a teoria por trás do renomado matemático suíço?
Leonhard Euler foi um renomado matemático suíço do século XVIII, cujas contribuições tiveram um impacto significativo no desenvolvimento da matemática. Nascido em 1707 em Basileia, Suíça, Euler destacou-se por suas inúmeras obras em diversas áreas da matemática, como álgebra, geometria, cálculo e teoria dos números.
Uma das teorias mais importantes desenvolvidas por Euler foi a teoria dos números, que estuda as propriedades dos números inteiros. Euler fez importantes descobertas nessa área, incluindo o famoso teorema de Fermat, que ele provou para o caso n=3. Além disso, Euler também é conhecido por sua fórmula de Euler, que estabelece uma relação fundamental entre os números naturais, os números irracionais e os números complexos.
Entre suas inúmeras obras, destacam-se “Introductio in analysin infinitorum” e “Institutiones calculi differentialis”. Euler também é lembrado por suas citações inspiradoras, como “A matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas”. Sua genialidade e dedicação à matemática o tornam uma figura icônica na história da ciência.
Leonhard Euler: biografia, contribuições, obras, citações
Leonhard Paul Euler (1707-1783) é considerado o principal matemático do século XVIII e um dos mais prolíficos e eminentes de todos os tempos. Este matemático da Suíça é reconhecido como um dos pais originais da matemática pura e contribuiu decisivamente nas áreas de teoria, cálculo, gráficos e mecânica.
Ele também era físico e filósofo; sua capacidade e lucidez mental o levaram a ser comparado com as mentes da estatura do pai da física , Albert Einstein. De acordo com historiadores que estudaram seu trabalho, pode-se dizer que Euler era de natureza leve e tinha um gosto pouco sofisticado e até simples, mas era muito tenaz e trabalhador.
Sua formação religiosa levou-o ao campo da filosofia sob essa abordagem. Apesar disso, sabe-se que ele não possuía conhecimento sólido ou administração adequada da retórica, algo que alguns de seus filósofos concorrentes aproveitaram para organizar debates sobre temas como a metafísica, debates que raramente saíam graciosamente.
Como em outras mentes brilhantes da história, seus trabalhos e teorias ainda são publicados e estudados. Até muitos autores concordam que, atualmente, algumas de suas propostas são partes fundamentais que tornam os mecanismos de pesquisa que usamos diariamente para navegar na Internet muito mais rapidamente.
O extenso trabalho de Euler permitiu-lhe ter uma influência marcante em diferentes ramos do conhecimento. Por exemplo, entre as contribuições mais importantes desse cientista, destaca-se a descoberta de várias constantes matemáticas, todas usadas hoje em dia.
Da mesma forma, ele também desenvolveu importantes avanços nos campos da astronomia, física e mecânica, e até no campo da óptica, em que propôs uma teoria que diferia da apresentada por Isaac Newton .
Biografia
Primeiros anos
Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707 em Basileia, Suíça. Ele era filho de casamento entre o pastor Paul Euler, um homem que pertencia a um sistema teológico chamado “calvinismo”; e Marguerite Brucker, filha de outro pastor da mesma corrente.
Desde tenra idade, ele surpreendeu os pais e parentes – como a família Bernoulli, da qual o pai era íntimo – com suas habilidades e habilidades de aprendizado precoce para resolver rapidamente problemas aritméticos básicos.
Sua educação formal começou em Basileia, apesar do resto da família estar na cidade vizinha de Riehen, onde sua família decidiu se mudar logo após dar à luz Leonhard. Ele era o mais velho de três filhos, tinha duas irmãs mais novas chamadas Anna Maria e Maria Magdalena. Euler teve uma infância calma e pacífica.
Brilhante e proeminente desde o início, e sob os cuidados prestados por sua avó materna, Euler conseguiu ingressar na Universidade de Basileia aos 13 anos. Em 1723, quando tinha apenas 16 anos, obteve o título de professor de filosofia.
Influenciado por seu pai – que esperava ordená-lo também como pastor de sua igreja -, Euler estudou com hebraico, grego e teologia.
O bom amigo de Paul, Johann Bernoulli, convenceu-o a permitir que ele não seguisse seus passos, dadas as condições excepcionais que ele demonstrava constantemente em relação aos números e à matemática em geral.
Adolescência
Totalmente dedicado aos estudos, completou 19 anos quando completou seu doutorado; Sua tese intitulada De Sono teve como tema a propagação do som.
Quando ele tinha 20 anos, ele entrou em um concurso através do qual a Academia Francesa de Ciências exigia que os participantes pudessem localizar o local ideal para colocar o mastro de um barco.
Ele não venceu o concurso naquela ocasião (depois o venceu mais de uma dúzia de vezes), mas só conseguiu derrotá-lo, que acabou sendo conhecido como o pai da arquitetura naval, o matemático, astrônomo e geofísico francês Pierre Bourguer.
Chegada na Rússia
Naquela época, no início de 1727, Euler foi chamado da Academia Russa de Ciências (localizada em São Petersburgo) para preencher o cargo que ficou vago após a morte de um dos filhos de Johann Bernoulli, velho amigo do pai de Euler
Ele não foi imediatamente, pois sua prioridade era obter um cargo de professor de física em sua universidade. Ele não teve sucesso nessa empresa, então chegou à Rússia em 17 de maio de 1727.
Rapidamente, Euler trabalhou em estreita colaboração com Daniel Bernoulli e garantiu uma promoção do Departamento de Medicina para outro cargo no Departamento de Matemática.
É importante notar que, na época, a Academia dispunha de amplos recursos e liberdades para seus pesquisadores, devido à intenção da nação de aumentar seu nível educacional e reduzir a ampla gama que existia em comparação com as nações do Ocidente.
Catarina I da Rússia foi a pessoa que promoveu principalmente essa ideia de aumentar os níveis educacionais. Após a chegada de Leonhard no país, Catarina morreu aos 43 anos, deixando Pedro II da Rússia no trono, que na época tinha 12 anos.
Esse evento fatal despertou suspeitas na nobreza da Rússia sobre as intenções legítimas de cientistas estrangeiros convocados à Academia, o que os levou a cortar a maior parte do orçamento dedicado a eles.
Morte de Pedro II e núpcias
Como resultado dessa situação, as adversidades econômicas chegaram a Euler e Bernoulli, e apenas melhoraram ligeiramente quando Pedro II morreu. Aos 24 anos, Euler já havia subido de posição e se tornado professor de física na Academia.
Em 1731, ele se estabeleceu como diretor do Departamento de Matemática da Academia, depois que seu colega Daniel Bernoulli retornou à sua cidade natal, Basiléia, produto do clima de tensão que ainda existia por parte da nobreza.
A permanência na Rússia deixou de ser solitária para Euler, pois em 7 de janeiro de 1734 ele se casou com Katharina Gsell, filha de um pintor suíço da Academia chamado Georg Gsell e também da pintora Dorothea M. Graff.
O casamento de Euler-Gsell teve 13 filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram. Destes, destacou-se Johann Euler, que se tornou membro da Academia de Berlim graças ao seu conhecimento de matemática e astronomia.
Da Rússia para a Alemanha
A instabilidade política na Rússia era palpável. Preocupado com sua integridade e a de sua família, ele decidiu viajar para Berlim em 19 de junho de 1741 para se estabelecer e trabalhar na Academia da cidade. Sua permanência na Alemanha se estendeu por 25 anos, durante os quais ele escreveu a maioria dos tratados e obras de sua vida.
Foi na Alemanha onde ele escreveu e publicou os trabalhos Introductio in analysin infinitorum e Institutiones Calculi Differentialis, de 1748 e 1755, respectivamente. Estes foram dois dos trabalhos mais importantes que este cientista escreveu durante sua carreira como pesquisador.
Com uma ampla inclinação para a filosofia, Euler dedicou parte de seu tempo a escrever mais de 200 cartas à princesa Anhalt-Dessau, que na época estava sob sua tutela.
Nessas cartas – que mais tarde foram compiladas, publicadas e consideradas o trabalho mais lido do matemático suíço – Leonhard Euler ampliou com a confiança do professor-aluno em vários tópicos, dentre os quais se destacaram filosofia, religião, física e matemática , entre outros assuntos.
Consolidação de suas crenças
Nas múltiplas e extensas cartas que Leonhard Euler tentou transmitir à princesa Anhalt-Dessau, sua aluna e guardiã, pode ser visto um Euler de profunda fé cristã comprometido com os conceitos proclamados pela Bíblia e sua interpretação literal.
Talvez por isso ele tenha criticado correntes filosóficas como o monismo, que propunha e sustentava que tudo no universo era formado por uma substância única e primária, o que significava que tudo era matéria e apenas matéria. Ele também se opunha ao extremo oposto dessa corrente, o idealismo, segundo o qual a substância primária era o espírito.
Qualquer tendência filosófica que foi travada com sua visão literal do texto sagrado cristão foi considerada por Euler como ateu, pagão e não digno de divulgação. Tal foi a entrega de Leonhard Euler ao cristianismo e seus parâmetros.
Euler, o Ciclope
Antes de sua chegada à Alemanha, e graças à situação deplorável do mundo em relação à saúde durante o século, Euler sofria de várias doenças. Um deles ocorreu em 1735 e quase terminou sua vida; o resultado dessas doenças o levou a perder a visão quase completamente em seu olho direito em 1738.
Sua passagem pela Alemanha não mudou o destino de sua visão; seu olho direito se deteriorou gradualmente, a ponto de o próprio rei se referir a ele como “o ciclope”. Anos depois, sua visão foi novamente punida: dessa vez as quedas apropriaram seu olho esquerdo, o que o deixou praticamente cego.
Nada disso o fez voltar em sua carreira produtiva; pelo contrário, deu-lhe um novo impulso, aumentando assim o respeito merecido que a comunidade científica ao seu redor tinha. Chegou um momento em que Leonhard Euler ditou ao assistente os resultados dos cálculos mentais, quase como se ele pudesse vê-los.
De volta à Rússia
Apesar de todas as suas contribuições e contribuições para a Academia de Berlim, e em geral para a ciência da época, no final de 1766, Euler teve que deixar a cidade que o hospedava por 25 anos.
A razão para isso foi que o rei Frederico II nunca havia terminado de concordar com o “ciclope matemático”; Ele o criticou por sua simplicidade e pela pouca graça que ele trouxe para os corredores cheios de nobres.
A situação econômica, social e política na Rússia havia sofrido uma mudança feliz e o matemático não hesitou em aceitar um convite para trabalhar na Academia de Ciências de São Petersburgo. No entanto, sua segunda estadia na Rússia foi cheia de eventos infelizes.
Em 1771, ele quase perdeu a vida em um incêndio voraz que consumiu sua casa até as fundações. Apenas dois anos depois, em 1773, sua esposa Katharina perdeu a vida, uma mulher com quem ele compartilhou sua vida por 40 anos.
Segundas núpcias e morte
A solidão em que ele caiu desapareceu em 1776, ano em que contratou novas núpcias com Salome Abigail Gsell, meia-irmã de sua primeira esposa. Esta mulher o acompanhou até seus últimos dias.
Sua morte ocorreu em São Petersburgo, como resultado de um derrame repentino, em 18 de setembro de 1783. Seus restos mortais foram enterrados ao lado dos de sua primeira esposa e hoje eles descansam no mosteiro Alexander Nevsky.
Contribuições
Historicamente, Euler é considerado a pessoa com mais publicações, estudos e tratados feitos até hoje. Estima-se que apenas 10% de todo o seu trabalho tenha sido estudado.
Suas contribuições tocam tantas áreas que sua influência chega aos nossos dias. Por exemplo, acredita-se que o Sudoku, entretenimento popular que requer o pedido de uma cadeia numérica específica, seja devido aos cálculos de probabilidade abordados por ele.
Todas as áreas e qualquer possível ramo da matemática foram tocados por este cientista suíço. Geometria, cálculo, trigonometria, teoria dos números, álgebra e até diagramas de conjuntos, tão amplamente divulgados na educação atual, têm seu principal fator em Leonhard Euler.
Função e notação matemática
Euler foi quem propôs pela primeira vez que um resultado ou magnitude de qualquer operação é uma “função” de outra, se o primeiro valor depender do valor da segunda.
Ele denotou essa nomenclatura como f (x), onde uma é a “função” e a outra, o “argumento”. Assim, o tempo “A” (variável dependente) que leva para um veículo percorrer uma distância definida “d” dependerá da velocidade “v” (variável independente) do veículo.
Ele também introduziu o agora chamado “número e” ou “número de Euler”, que ligava as funções de log de John Napier às funções exponenciais.
Euler popularizou o uso do símbolo π. Ele também foi o primeiro a usar a letra grega ∑ como uma indicação de uma soma de fatores e a letra “i” como uma referência à unidade imaginária.
Logaritmos e número e
Euler estabeleceu o uso do “número e”, cujo valor é 2.71828. Esse valor se tornou um dos números irracionais mais importantes. A referida constante matemática é definida como a base dos logaritmos naturais e parte das equações de juros compostos.
Ele também descobriu como expressar várias funções logarítmicas com o uso de séries de potência. Com essa descoberta, ele conseguiu expressar a função do arco tangente e ficou surpreso ao resolver um problema (o problema de Basileia), no qual pediu para encontrar a soma exata do inverso dos quadrados dos números inteiros positivos de uma série infinita.
Cálculo e matemática aplicada
Este matemático introduziu novas maneiras de lidar e resolver equações de quarto grau. Ele deduziu como calcular integrais com limites complexos e conseguiu encontrar maneiras de calcular variações.
Uma das realizações mais importantes de Leonhard Euler foi o uso da matemática, da análise matemática de situações da vida real, para resolver os problemas que surgiram.
Nesse caso, a matemática visa dar uma resposta lógica, ordenada e possível aos problemas cotidianos de, por exemplo, ciências sociais ou finanças.
Engenharia, mecânica, física e astronomia
Sua principal contribuição no campo da engenharia foi a análise de forças compostas e decompostas que afetam estruturas verticais e produzem sua deformação ou flambagem. Esses estudos estão incluídos na chamada lei de Euler. Esta lei descreve pela primeira vez a linha de rádio e propriedades específicas, a base fundamental da engenharia.
A astronomia também sentiu o impulso das contribuições de Euler, já que com seu trabalho ele contribuiu para o cálculo mais preciso das distâncias dos corpos celestes, o cálculo das órbitas dos planetas em suas viagens espaciais e o cálculo da trajetória e caminho dos cometas. Ele concluiu que todos os planetas orbitam o Sol em um caminho elíptico.
Sem dúvida, a influência de Euler foi extremamente ampla; Ele também colocou seus conhecimentos em ordem para resolver problemas mecânicos. Nesse sentido, foi ele quem usou o símbolo do vetor para notar a aceleração e a velocidade, e usou os conceitos de massa e partícula.
Outras áreas em que ele teve influência
O campo da ótica também fazia parte das questões sobre as quais Euler deixou sua contribuição. Ele tinha uma teoria diferente da apresentada por seu colega Isaac Newton; para Euler, a luz se espalha sob a forma de ondas. Ele estudou a mecânica do fluxo de um fluido imaginário ideal e criou as equações de Euler nessa área.
Trabalhos
Durante sua vida, Leonhard Euler escreveu até 800 páginas por ano em sua idade mais produtiva. Sabe-se que a grande maioria de seu trabalho ainda não é compartilhada com o mundo e espera ser reproduzida sob o título de Opera Ommia , um projeto ambicioso que visa trazer à luz todos os textos produzidos por este cientista.
Existem quase 400 artigos sobre tópicos filosóficos e / ou matemáticos escritos por este matemático. Entre sua coleção inteira abaixo, estão seus trabalhos mais relevantes:
– Mechanica, sive motus scientia analytica expósita (1736)
– Tentamen novae theoriae musicae (1739).
– Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741).
– Methodus inveniendi lines curve maximi Gaudentes proprietárias minim sive, sive solutio problemtis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
– Introdução na análise infinitorum (1748).
– Institutiones Calculi Differentialis (1755).
– Theoria motus corporum solidorum
seu rigidorum (1765) .
– Institutiones Calculi Integralis (1768 – 1770) .
– Vollständige Anleitung zur Algebra (1770).
– Lettres à un Princesse d’Allemagne ( Cartas a uma princesa alemã ) (1768 – 1772).
Estima-se que, se seu trabalho completo fosse publicado, ele ocuparia entre 60 e 80 volumes. O árduo processo de publicação completa de seu trabalho começou em 1911, e até hoje 76 volumes foram publicados.
Citações
A história sempre perpetuou a palavra daqueles personagens que, por suas realizações, contribuições para a humanidade e pensamento profundo, conquistaram esse direito. Leonhard Euler não poderia ser a exceção.
Muitas frases articuladas por esse famoso matemático suíço passaram por gerações até chegar aos nossos dias. Alguns dos mais famosos estão listados abaixo:
– “Como a textura do Universo é a mais perfeita e o trabalho de um Criador mais experiente, nada acontece no Universo sem obedecer a alguma regra máxima ou mínima”.
– “Melhor que o nosso julgamento, devemos confiar no cálculo algébrico.”
– “Embora o objetivo seja penetrar no íntimo mistério da natureza e, a partir daí, aprender as verdadeiras causas dos fenômenos, pode acontecer, no entanto, que uma certa hipótese fictícia seja suficiente para explicar muitos fenômenos”.
– “Para quem pergunta qual é a menor quantidade infinitamente pequena em matemática, a resposta é zero. Portanto, não existem tantos mistérios ocultos nesse conceito, pois geralmente se acredita que existe. ”
– “Os matemáticos tentaram em vão, até hoje, descobrir alguma ordem na sequência dos números primos, e temos razões para acreditar que é um mistério que a mente humana nunca resolverá”.
– “É claro que, quando as causas efetivas são muito escuras, mas as causas finais são mais facilmente determinadas, o problema geralmente é resolvido pelo método indireto”.
– “O tipo de conhecimento que é sustentado apenas por observações e ainda não foi comprovado deve ser cuidadosamente diferenciado da verdade; É conquistada por indução, como costumamos dizer. No entanto, vimos casos em que a mera indução levou ao erro. ”
Leonhard Euler estava bem à frente de seu tempo, e um exemplo disso é a citação mencionada abaixo. Ele não conseguiu demonstrar certos números e / ou equações, não porque era impossível fazê-lo, mas porque ele não possuía as ferramentas apropriadas que foram inventadas ao longo do tempo, e Euler estava muito ciente disso:
– “De fato, seria uma invenção considerável a de uma máquina capaz de imitar a fala, com seus sons e articulações. … acho que não é impossível. “
Referências
- “Leonhard Euler” na Wikipedia. Recuperado em 20 de fevereiro de 2019 da Wikipedia: en.wikipedia.org
- “Leonard Euler” na Universidade de Granada. Retirado em 20 de fevereiro de 2019 da Universidade de Granada: ugr.es
- “O enigma resolvido há 300 anos pelo matemático Leonhard Euler que hoje nos permite acessar a internet” na BBC de Londres. Retirado em 20 de fevereiro de 2019 da BBC – Notícias – World: bbc.com
- “Leonhard Euler” na Encyclopaedia Britannica. Retirado em 20 de fevereiro de 2019 da Encyclopaedia Britannica: britannica.com
- “Frases de Leonhard Euler” em Frases e Pensamentos. Retirado em 20 de fevereiro de 2019 de Frases e pensamentos: frasesypensamientos.com.ar