Limite de Fermat: o que consiste e exercícios resolvidos

O limite de Fermat é um método numérico usado para obter o valor da inclinação de uma linha, tangente a uma função em um determinado ponto de seu domínio. Também é usado para obter pontos críticos de uma função. Sua expressão é definida como:

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É óbvio que Fermat não conhecia o básico da derivação, no entanto, foram seus estudos que levaram um grupo de matemáticos a indagar sobre as linhas tangentes e suas aplicações no cálculo.

Qual é o limite de Fermat?

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Consiste em uma abordagem de 2 pontos, que em condições anteriores formam uma linha secante para a função com interseção em pares de valores.

Ao aproximar a variável ao valor “a”, o par de pontos é forçado a atender. Desta forma, a linha de secagem anterior torna-se tangente ao ponto (a; f (a)).

O valor do quociente (x – a), quando avaliado no ponto “a”, produz uma indeterminação dos limites do tipo K entre zero (K / 0). Onde, através de diferentes técnicas de fatoração, essas indeterminações podem ser quebradas.

As técnicas operacionais mais usadas são:

-Diferença de quadrados (a 2 – b 2 ) = (a + b) (a – b); A existência do elemento (a – b) implica em muitos casos o fator que simplifica a expressão (x – a) no quociente do limite de Fermat.

– Conclusão de quadrados (ax 2 + bx); Após completar os quadrados, é obtido um binômio de Newton, onde um de seus 2 fatores é simplificado com a expressão (x – a), quebrando a indeterminação.

– Conjugado (a + b) / (a ​​+ b); Multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado de algum fator pode ser de grande ajuda para quebrar a indeterminação.

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– fator comum; Em muitos casos, o resultado da operação do numerador limite Fermat f (x) – f (a) oculta o fator (x – a) necessário para o fator. Para isso, observa-se cuidadosamente quais elementos são repetidos em cada fator da expressão.

Aplicação do limite de Fermat para máximos e mínimos

Embora o limite de Fermat não diferencie entre máximos e mínimos, uma vez que só pode identificar os pontos críticos de acordo com sua definição, é comumente usado no cálculo de paradas ou pisos das funções no plano.

Um conhecimento básico sobre a teoria gráfica das funções em conjunto com esse teorema pode ser suficiente para estabelecer valores máximos e mínimos entre as funções. De fato, os pontos de inflexão podem ser definidos por meio do teorema do valor médio adicional ao teorema de Fermat.

A parábola cúbica

O paradoxo mais significativo para Fermat veio do estudo da parábola cúbica. Como sua atenção estava direcionada para as linhas tangentes de uma função para um determinado ponto, ele encontrou o problema de definir a referida linha tangente no ponto de inflexão existente na função.

Parecia impossível determinar a linha tangente a um ponto. Assim começa a investigação que daria origem ao cálculo diferencial. Definido posteriormente por importantes expoentes da matemática.

Máximo e mínimo

O estudo de altos e baixos de uma função foi um desafio para a matemática clássica, onde era necessário um método inequívoco e prático para defini-los.

Fermat criou um método baseado na operação de pequenos valores diferenciais, que após processos de factoring, são eliminados, dando lugar ao valor máximo e mínimo buscado.

Essa variável deve ser avaliada na expressão original para determinar a coordenada desse ponto, que juntamente com os critérios analíticos serão definidos como máximo ou mínimo da expressão.

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Método

Em seu método, Fermat usa o simbolismo literal de Vieta, que consistia no uso exclusivo de letras maiúsculas: as vogais, para os desconhecidos, e as consoantes para as quantidades conhecidas.

No caso dos valores radicais, Fermat implementou um processo particular, que mais tarde seria usado nas fatorações dos limites da indeterminação infinita entre o infinito.

Esse processo consiste em dividir cada expressão pelo valor do diferencial usado. No caso de Fermat, ele usou a letra E, onde após a divisão entre a maior potência de E, o valor desejado do ponto crítico fica claro.

História

O limite de Fermat é, de fato, uma das contribuições menos conhecidas da longa lista do matemático. Seus estudos foram dos números primos, para basicamente criar a base para o cálculo.

Por sua vez, Fermat era conhecido por suas excentricidades em relação a suas hipóteses. Era comum deixar um tipo de desafio para os outros matemáticos da época, quando ele já tinha a solução ou demonstração.

Ele teve uma grande variedade de disputas e alianças com diferentes matemáticos da época, que amavam ou odiavam trabalhar com ele.

Seu último teorema foi o principal responsável por sua fama mundial, onde ele afirmou que uma generalização do teorema de Pitágoras para qualquer grau “n” era impossível. Ele disse que tinha uma demonstração válida, mas morreu antes de torná-lo público.

Essa demonstração teve que esperar 350 anos aproximadamente. Em 1995, os matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor acabaram com a ansiedade deixada por Fermat, provando que ele estava certo com uma prova válida de seu último teorema.

Exercícios

Exercício 1

Defina a inclinação da reta tangente à curva f (x) = x 2 no ponto (4, 16)

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Substituindo a expressão do limite de Fermat, você tem:

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Os fatores são simplificados (x – 4)

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Ao avaliar você tem

M = 4 + 4 = 8

Exercício 2

Defina o ponto crítico da expressão f (x) = x 2 + 4x usando o limite de Fermat

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É realizado um agrupamento estratégico de elementos, buscando agrupar os pares XX

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Os mínimos quadrados são desenvolvidos

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O fator comum XX é observado e extraído

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A expressão pode ser simplificada e a indeterminação quebrada

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Nos pontos mínimos, sabe-se que a inclinação da linha tangente é igual a zero. Dessa forma, podemos zerar a expressão encontrada e limpar o valor X

2 X + 4 = 0

X = -4/2 = -2

Para obter a coordenada ausente, você só precisa avaliar o ponto na função original

F (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) = 4-8 = – 4

O ponto crítico é P (-2, -4).

Referências

  1. Análise Real Uma abordagem histórica Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 de agosto 1999
  2. A carreira matemática de Pierre de Fermat, 1601-1665: segunda edição. Michael Sean Mahoney Princeton University Press, 5 de junho 2018
  3. De Fermat a Minkowski: palestras sobre a teoria dos números e seu desenvolvimento histórico. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
  4. Último Teorema de Fermat: Uma Introdução Genética à Teoria Algébrica dos Números. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 de janeiro 2000
  5. Fermat Dias 85: Matemática para Otimização. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1º de janeiro 1986

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