O fator comum por agrupamento é uma técnica utilizada na resolução de expressões algébricas onde identificamos termos comuns em grupos para facilitar a simplificação. Ao agrupar os termos comuns, conseguimos encontrar um fator que pode ser retirado de cada grupo. Neste artigo, apresentaremos 6 exemplos práticos de como identificar e utilizar o fator comum por agrupamento na resolução de expressões algébricas.
Exemplos de fatoração por agrupamento para facilitar a resolução de expressões matemáticas.
Quando nos deparamos com expressões matemáticas mais complexas, a fatoração por agrupamento pode ser uma estratégia útil para facilitar sua resolução. Neste método, agrupamos os termos da expressão de forma a identificar um fator comum que possa ser extraído, simplificando assim o problema.
Um fator comum por agrupamento é um termo que aparece em pelo menos dois dos grupos formados ao dividir a expressão em partes. Vamos ver alguns exemplos para ilustrar melhor esse conceito:
1. Exemplo 1:
Se tivermos a expressão (2x + 4y + 6x + 12y), podemos agrupar os termos desta forma: ((2x + 4y) + (6x + 12y)). Agora, identificamos que tanto (2x) quanto (4y) têm o fator comum (2), e (6x) e (12y) têm o fator comum (6). Assim, a expressão pode ser simplificada para (2(x + 2y) + 6(x + 2y)), e o fator comum (x + 2y) pode ser extraído: ((2 + 6)(x + 2y)).
2. Exemplo 2:
Agora, se tivermos a expressão (3a + 9b – 2a – 6b), podemos agrupar os termos desta forma: ((3a – 2a) + (9b – 6b)). Identificamos que tanto (3a) quanto (2a) têm o fator comum (a), e (9b) e (6b) têm o fator comum (3). Assim, a expressão pode ser simplificada para (a(3 – 2) + 3(b – 2)), e o fator comum (3 – 2) pode ser extraído: ((a + 3)(b – 2)).
Esses são apenas alguns exemplos de como a fatoração por agrupamento pode ser útil na resolução de expressões matemáticas mais complexas. Praticar esse método pode ajudar a tornar a matemática mais acessível e menos intimidante.
Exemplos de fatores comuns: entenda o conceito e veja casos práticos.
Os fatores comuns são números que dividem dois ou mais números sem deixar resto. No caso do fator comum por agrupamento, buscamos identificar o maior fator que é comum a todos os termos de uma expressão algébrica. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e facilitar cálculos futuros.
Vamos ver agora 6 exemplos de fatores comuns por agrupamento:
Exemplo 1: 2x + 4xy – 6y. Aqui, o fator comum por agrupamento é 2.
Exemplo 2: 3a²b + 6ab – 9b. Neste caso, o fator comum por agrupamento é 3b.
Exemplo 3: 4x² – 8xy + 12y². O fator comum por agrupamento é 4.
Exemplo 4: 5ab + 10ac – 15bc. O fator comum por agrupamento aqui é 5.
Exemplo 5: 6x³ – 12x²y + 18xy². O fator comum por agrupamento é 6x.
Exemplo 6: 8a³b – 16ab² + 24ab. Neste último exemplo, o fator comum por agrupamento é 8ab.
Ao identificar e utilizar os fatores comuns por agrupamento, podemos simplificar expressões algébricas de forma mais rápida e eficiente, tornando o processo de resolução de problemas mais simples e prático.
Descubra os 5 principais casos de fatoração para resolver problemas matemáticos facilmente.
Quando se trata de resolver problemas matemáticos, a fatoração é uma técnica fundamental que pode simplificar cálculos complexos. Existem diversos casos de fatoração que podem ser aplicados, mas vamos focar nos 5 principais casos que são frequentemente utilizados.
1. Fator Comum
O fator comum é um caso simples de fatoração, no qual identificamos um número ou variável que é comum a todos os termos de uma expressão. Por exemplo, se temos a expressão 2x + 4y, o fator comum é 2, pois ambos os termos podem ser divididos por 2. Ao fatorar, podemos escrever a expressão como 2(x + 2y).
Exemplos de fator comum por agrupamento:
1. 2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 3a + 6b = 3(a + 2b)
3. 4x – 8y = 4(x – 2y)
4. 5m + 10n = 5(m + 2n)
5. 6p – 12q = 6(p – 2q)
6. 7r + 14s = 7(r + 2s)
Com a aplicação do fator comum por agrupamento, podemos simplificar expressões e facilitar cálculos matemáticos de forma mais eficiente. Esta técnica é útil não apenas para resolver problemas, mas também para entender melhor a estrutura das expressões matemáticas.
Descubra os 4 tipos de fatoração e como aplicá-los corretamente em equações matemáticas.
A fatoração é uma técnica importante na matemática que consiste em decompor um número ou expressão em seus fatores. Existem 4 tipos principais de fatoração que podem ser aplicados em equações matemáticas: fator comum, diferença de quadrados, trinômio do segundo grau e agrupamento.
O fator comum é o tipo mais simples de fatoração e envolve identificar um fator que é comum a todos os termos de uma expressão. Para aplicar o fator comum, basta encontrar o maior fator que divide todos os termos da expressão e colocá-lo em evidência. Por exemplo, na expressão 2x + 4, o fator comum é 2, então podemos fatorar como 2(x + 2).
A fatoração por agrupamento é outro método comum e envolve agrupar os termos de uma expressão em pares, identificar um fator comum em cada par e fatorá-los separadamente. Em seguida, pode-se identificar um fator comum nos resultados parciais e fatorar novamente. Por exemplo, na expressão 3x + 6y + 2x + 4y, podemos agrupar os termos em (3x + 6y) + (2x + 4y) e fatorar cada par, obtendo 3(x + 2y) + 2(x + 2y), e finalmente fatorar o fator comum (x + 2y) para obter 3x + 2x + 6y + 4y.
Para ilustrar melhor o conceito de fator comum por agrupamento, aqui estão 6 exemplos:
1. Fatorar 2x + 4x + 6y + 12y
2. Fatorar 3a + 6b + 9a + 18b
3. Fatorar 4x + 8y + 12x + 24y
4. Fatorar 5a + 10b + 15a + 30b
5. Fatorar 6x + 12y + 18x + 36y
6. Fatorar 7a + 14b + 21a + 42b
Com esses exemplos, é possível praticar a fatoração por agrupamento e aprimorar suas habilidades matemáticas. Lembre-se de identificar os fatores comuns em cada par de termos e fatorá-los separadamente antes de encontrar o fator comum final.
Qual é o fator comum por agrupamento? 6 Exemplos
O fator comum pelo agrupamento é uma maneira de fatorar, através da qual os termos de um polinômio são “agrupados” para criar uma forma mais simplificada do polinômio.
Um exemplo de fatoração por agrupamento é 2 × 2 + 8x + 3x + 12 é igual à forma fatorada (2x + 3) (x + 4).
Na fatoração por agrupamento, os fatores comuns entre os termos de um polinômio são buscados e, posteriormente, a propriedade distributiva é aplicada para simplificar o polinômio; É por isso que, às vezes, é chamado de fator comum pelo agrupamento.
Etapas para fatorar agrupando
Etapa 1
Você deve ter certeza de que o polinômio possui quatro termos; se for um trinomial (com três termos), deve ser transformado em um polinômio de quatro termos.
Etapa 2
Determine se os quatro termos têm um fator comum. Nesse caso, o fator comum deve ser extraído e o polinômio reescrito.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5
Fator comum: 5
5 (x2 + 2x + 5x + 1)
Etapa 3
Caso o fator comum dos dois primeiros termos seja diferente do fator comum dos dois últimos, os termos devem ser agrupados com fatores comuns e reescritos o polinômio.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
Fator comum em 5 × 2 + 10 x: 5x
Fator comum em 2x + 4: 2
Dê sua nota! Dê sua nota!
Etapa 4
Se os fatores resultantes forem idênticos, o polinômio é reescrito, incluindo o fator comum apenas uma vez.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
Dê sua nota! Dê sua nota!
(5x + 2) (x + 2)
Exemplos de fatoração por agrupamento
Exemplo # 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10
Este é um polinômio que possui quatro termos, entre os quais não há fator comum. No entanto, os termos um e dois têm 3x como fator comum; enquanto os termos três e quatro têm 10 como fator comum.
Ao extrair os fatores comuns de cada par de termos, o polinômio pode ser reescrito da seguinte maneira:
3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)
Agora, pode-se ver que esses dois termos têm um fator comum: (2x + 1); Isso significa que você pode extrair esse fator e reescrever o polinômio novamente:
(3x + 10) (2x + 1)
Exemplo 2: x2 + 3x + 2x + 6
Neste exemplo, como no anterior, os quatro termos não têm um fator comum. No entanto, os dois primeiros termos têm x como fator comum, enquanto nos dois últimos o fator comum é 2.
Nesse sentido, o polinômio pode ser reescrito da seguinte maneira:
x (x + 3) + 2 (x + 3)
Agora, extraímos o fator comum (x + 3), o resultado será o seguinte:
(x + 2) (x + 3)
Exemplo # 3: 2y3 + y2 + 8y2 + 4y
Nesse caso, o fator comum entre os dois primeiros termos é y2, enquanto o fator comum nos dois últimos termos é 4y.
O polinômio reescrito seria o seguinte:
y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)
Agora, extraímos o fator (2y + 1) e o resultado é o seguinte:
(y2 + 4y) (2y + 1)
Exemplo 4: 2 × 2 + 17x + 30
Quando o polinômio não apresenta quatro termos, mas é um trinômio (que possui três termos), é possível fatorar por agrupamento.
No entanto, é necessário dividir o médio prazo para que quatro elementos possam ser obtidos.
No trinômio 2 × 2 + 17x + 30, o termo 17x deve ser dividido em dois.
Nos trinômios que seguem o formato ax2 + bx + c, a regra é encontrar dois números cujo produto é axcy cuja soma é igual a b.
Isso significa que, neste exemplo, você precisa de um número cujo produto é 2 x 30 = 60 e que somam 17. A resposta para isso é o exercício 5 e 12.
Em seguida, reescrevemos o trinomial na forma de um polinômio:
2 × 2 + 12x + 5x + 30
Os dois primeiros termos têm x como fator comum, enquanto o fator comum nos dois últimos é 6. O polinômio resultante seria:
x (2x + 5) + 6 (2x +5)
Finalmente, o fator comum é extraído nesses dois termos; O resultado é o seguinte:
(x + 6) (2x + 5)
Exemplo 5: 4 × 2 + 13x + 9
Neste exemplo, você também precisa dividir o meio termo para formar um polinômio de quatro termos.
Nesse caso, você precisa de dois números cujo produto é 4 x 9 = 36 e cuja soma é igual a 13. Nesse sentido, os números necessários são 4 e 9.
Agora, o trinômio polinomial é reescrito:
4 × 2 + 4x + 9x + 9
Nos dois primeiros termos, o fator comum é 4x, enquanto no último, o fator comum é 9.
Dê sua nota! Dê sua nota!
Depois de extrairmos o fator comum (x + 1), o resultado será o seguinte:
(4x + 9) (x +1)
Exemplo 6: 3 × 3 – 6x + 15x – 30
No polinômio proposto, todos os termos têm um fator comum: 3. Em seguida, o polinômio é reescrito da seguinte maneira:
3 (x3 – 2x + 5x -10)
Agora, vamos agrupar os termos entre parênteses e determinar o fator comum entre eles. Nos dois primeiros, o fator comum é x, enquanto nos dois últimos é 5:
3 (x2 (x – 2) + 5 (x – 2))
Finalmente, o fator comum (x – 2) é extraído; O resultado é o seguinte:
3 (x2 + 5) (x – 2)
Referências
- Factoring por agrupamento. Recuperado em 25 de maio de 2017, de khanacademy.org.
- Factoring: Agrupamento. Recuperado em 25 de maio de 2017, de mesacc.edu.
- Factoring agrupando exemplos. Recuperado em 25 de maio de 2017, de shmoop.com.
- Factoring por agrupamento. Recuperado em 25 de maio de 2017, de basic-mathematics.com.
- Factoring por agrupamento. Recuperado em 25 de maio de 2017, em https://www.shmoop.com
- Introdução ao agrupamento. Recuperado em 25 de maio de 2017, de khanacademy.com.
- Problemas de prática Recuperado em 25 de maio de 2017, de mesacc.edu.