A sonda fatorial é uma máquina simples que consiste em um arranjo de polias com um efeito multiplicador de força. Dessa maneira, uma carga pode ser levantada aplicando apenas o equivalente a uma fração do peso na extremidade livre do cabo.
Consiste em dois conjuntos de polias: uma fixada a um suporte e outra que exerce a força resultante sobre a carga. As polias são montadas em uma estrutura geralmente metálica que as mantém.
A Figura 1 mostra uma plataforma fatorial composta por dois grupos de duas polias cada. Esses tipos de arranjos de polias também são chamados de plataformas ou guinchos em série .
Fórmulas para aparelhamento fatorial
Caso 1: Uma polia móvel e uma polia fixa
Para entender por que esse arranjo multiplica a força exercida, começaremos com o caso mais simples, que consiste em uma polia fixa e uma móvel.
Na figura 2, temos uma polia A fixada no teto por meio de um suporte. A polia A pode girar livremente em torno de seu eixo.Também temos uma polia B que tem um suporte anexado ao eixo da polia, no qual a carga é colocada. A polia B, além de poder girar livremente em torno de seu eixo, tem a possibilidade de se mover verticalmente.
Suponha que estamos em uma situação de equilíbrio. Considere as forças que atuam na polia B. O eixo da polia B suporta um peso total P que é direcionado para baixo. Se essa fosse a única força na polia B, ela cairia, mas sabemos que o cabo que passa por essa polia também exerce duas forças, que são T1 e T2 direcionadas para cima.
Para que o equilíbrio de translação exista, as duas forças ascendentes devem ser iguais ao peso que suporta o eixo B da polia.
T1 + T2 = P
Mas como a polia B também está em equilíbrio de rotação, então T1 = T2. As forças T1 e T2 provêm da tensão aplicada ao cabo, chamada T.
Portanto T1 = T2 = T. Substituindo na equação anterior, é:
T + T = P
2T = P
O que indica que a tensão aplicada ao cabo é apenas metade do peso:
T = P / 2
Por exemplo, se a carga fosse de 100 kg, seria suficiente aplicar uma força de 50 kg na extremidade livre do cabo para aumentar a carga a uma velocidade constante.
Caso 2: duas polias móveis e duas polias fixas
Vamos considerar as tensões e forças que atuam em um conjunto que consiste em dois arranjos dos suportes A e B com duas polias cada.
O suporte B tem a possibilidade de se mover verticalmente, e as forças que atuam sobre ele são:
– O peso P da carga, apontando verticalmente para baixo.
– Duas tensões na polia grande e duas tensões na polia pequena. No total, quatro tensões, todas apontando para cima.
Para o equilíbrio translacional, é necessário que as forças que apontam verticalmente para cima sejam iguais em valor à carga que aponta para baixo. Ou seja, deve ser cumprida:
T + T + T + T = P
Ou seja, 4 T = P
Daí resulta que a força aplicada T na extremidade livre do cabo é apenas um quarto do peso devido à carga que ele deseja levantar., T = P / 4.
Com esse valor para a tensão T, a carga pode ser mantida estática ou elevada a uma velocidade constante. Se uma tensão maior que esse valor for aplicada, a carga acelerará para cima, uma condição necessária para removê-la do repouso.
Caso geral: n polias móveis e n polias fixas
Como visto nos casos anteriores, para cada polia do conjunto móvel, existem algumas forças ascendentes exercidas pelo cabo que passa através da polia. Mas essa força não pode ser outra coisa senão a tensão aplicada ao cabo na extremidade livre.
Portanto, para cada polia do conjunto móvel, haverá uma força vertical ascendente que vale 2T. Porém, como existem n polias no conjunto móvel, é necessário que a força total apontada verticalmente para cima seja:
2 n T
Para haver equilíbrio vertical, é necessário que:
2 n T = P
portanto, a força aplicada na extremidade livre é:
T = P / (2 n)
Nesse caso, pode-se dizer que a força exercida T é multiplicada 2 n vezes na carga.
Por exemplo, se tivéssemos uma plataforma fatorial de 3 polias fixas e 3 móveis, o número n seria igual a 3. Por outro lado, se a carga fosse P = 120 kg, a força aplicada na extremidade livre seria T = 120 kg / (2 * 3) = 20 kg.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Considere uma plataforma fatorial composta por duas polias fixas e duas polias móveis. A tensão máxima que o cabo suporta é de 60 kg. Determine a carga máxima que pode ser colocada.
Solução
Quando a carga está em repouso ou movendo a uma velocidade constante o peso P da mesma, está relacionada à tensão T aplicada no cabo por meio da seguinte relação:
P = 2 n T
Como é uma plataforma com duas polias móveis e duas fixas, então n = 2.
A carga máxima que pode ser colocada é obtida quando T tem o valor máximo possível, que neste caso é de 60 kg.
Carga máxima = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg
Exercício 2
Encontre a relação entre a tensão do cabo e o peso da carga, em uma plataforma fatorial bipolar, na qual a carga acelera com a aceleração a.
Solução
A diferença neste exemplo em relação ao que foi visto até agora é que a dinâmica do sistema deve ser considerada. Então, propomos a segunda lei de Newton para encontrar o relacionamento solicitado.
Na figura 4, desenhamos em amarelo as forças devidas à tensão T da corda. A parte móvel da plataforma tem uma massa total M. Tomamos como sistema de referência um no nível da primeira polia fixa e positiva para baixo.
Y1 é a posição do eixo da polia mais baixo.
Aplicamos a segunda lei de Newton para determinar a aceleração a1 da parte móvel da plataforma:
-4 T + Mg = M a1
Como o peso da carga é P = Mg, onde g é a aceleração da gravidade, a relação acima pode ser escrita:
-4T + P = P (a1 / g)
Se quiséssemos determinar a tensão aplicada ao cabo quando uma certa carga de peso P acelera com a aceleração a1, a relação anterior seria assim:
T = P (1 – a1 / g) / 4
Observe que se o sistema estivesse em repouso ou se movendo em velocidade constante, então a1 = 0, e recuperaríamos a mesma expressão que obtivemos no caso 2.
Exercício 3
Neste exemplo, a mesma plataforma do exercício 1 é usada, com a mesma corda que suporta um máximo de 60 kg de tensão. Uma certa carga aumenta, acelerando-a de repouso para 1 m / s em 0,5 s, usando a tensão máxima do cabo. Encontre o peso máximo da carga.
Solução
Usaremos as expressões obtidas no exercício 2 e o sistema de referência na Figura 4, no qual a direção positiva é vertical na vertical.
A aceleração da carga é a1 = (-1 m / s – 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.
O peso da carga em quilogramas-força é dado por
P = 4 T / (1 – a1 / g)
P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg
Este é o peso máximo possível da carga sem quebrar a corda. Observe que o valor obtido é menor que o obtido no exemplo 1, no qual a carga foi assumida com aceleração zero, ou seja, em repouso ou com velocidade constante.
Referências
- Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1. 101-120.
- Resnick, R. (1999). Física Vol. 1. 3a ed., Em espanhol. Empresa Editorial Continental SA de CV 87-103.
- Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6o. Ed. Prentice Hall. 72-96.
- Hewitt, Paul. 2012. Ciência Física Conceitual. 5th. Ed. Pearson, 38-61.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. 7th. Ed. Cengage Learning. 100 – 119.