Soma de polinômios, como fazê-lo, exemplos, exercícios

Soma de polinômios, como fazê-lo, exemplos, exercícios

A soma dos polinômios é a operação que consiste em adicionar dois ou mais polinômios, resultando em outro polinômio. Para realizá-lo, é necessário adicionar os termos da mesma ordem de cada um dos polinômios e indicar a soma resultante.

Vamos primeiro revisar brevemente o significado de “termos da mesma ordem”. Qualquer polinômio é composto de adições e / ou subtrações de termos.

Os termos podem ser produtos de números reais e uma ou mais variáveis, representadas por letras, por exemplo: 3x 2 e -√5.a 2 bc 3 são termos.

Bem, os termos da mesma ordem são aqueles que têm o mesmo expoente ou poder , embora possam ter coeficientes diferentes.

-Termos de igual ordem são: 5x 3 , √2 x 3 e -1 / 2x 3

– Termos de ordem diferentes: -2x -2 , 2xy -1 e √6x 2 e

É importante ter em mente que apenas termos da mesma ordem podem ser adicionados ou subtraídos, uma operação conhecida como redução . Caso contrário, a soma é simplesmente deixada indicada.

Depois que o conceito de termos da mesma ordem é esclarecido, os polinômios são adicionados seguindo estas etapas:

Peça os primeiros polinômios para adicionar, todos da mesma maneira, de maneira crescente ou decrescente, ou seja, com potências do mais baixo ao mais alto ou vice-versa.

Completo , caso falte energia na sequência.

Reduza termos semelhantes.

Indique a soma resultante.

Exemplos de adição de polinômios

Começaremos adicionando dois polinômios com uma única variável chamada x , por exemplo, os polinômios P ​​(x) e Q (x) dados por:

P (x) = 2x 2 – 5x 4 + 2x –x 5 – 3x 3 +12

Q (x) = x 5 – 25 x + x 2

Seguindo as etapas descritas, começamos ordenando-as em ordem decrescente, que é a maneira mais comum:

P (x) = –x 5 – 5x 4   – 3x 3   + 2x 2 + 2x +12

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Q (x) = x 5 + x 2 – 25x

O polinômio Q (x) não está completo, visto que faltam potências com o expoente 4, 3 e 0. O último é simplesmente o termo independente, aquele sem letra.

Q (x) = x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + x 2 – 25x + 0

Depois que essa etapa estiver concluída, você estará pronto para adicionar. Você pode adicionar termos semelhantes e, em seguida, indicar a soma, ou colocar os polinômios ordenados um abaixo do outro e reduzir por colunas, desta maneira:

– x 5 – 5x 4   – 3x 3 + 2x 2 + 2x +12

+ x 5 + 0x 4 + 0x 3  + x – 25x + 0 +

————————————————

0x 5 –5x 4 – 3x 3   + 3x 2 – 23x + 12 = P (x) + Q (x)

É importante notar que, quando adicionado, é feito respeitando algebricamente a regra dos sinais, dessa forma 2x + (-25 x) = -23x. Ou seja, se os coeficientes tiverem um sinal diferente, serão subtraídos e o resultado terá o sinal de maior.

Adicione dois ou mais polinômios com mais de uma variável

Quando se trata de polinômios com mais de uma variável, um deles é escolhido para ordená-la. Por exemplo, suponha que você peça para adicionar:

R (x, y) = 5x 2   – 4y 2 + 8xy – 6y

E:

T (x, y) = ½ x 2 – 6y – 11xy + x 3 e

Uma das variáveis ​​é escolhida, por exemplo, x para ordenar:

R (x, y) = 5x 2 + 8xy – 6y – 4y dois

T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 – 11xy – 6y dois 

Os termos ausentes são preenchidos imediatamente, de acordo com os quais cada polinômio possui:

R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy – 6y – 4y 2

T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 – 11xy + 0y 3 – 6y dois 

E vocês dois estão prontos para se estreitar como termos:

0 x 3 y + 5x 2 + 8xy – 6y – 4y dois

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+ X 3 y + ½ x 2 – 11xy + 0y 3 – 6y      +

———

+ X 3 y + 11 / 2x 2 – 3xy – 6y – 10y   = R (x, y) + T (x, y)

Exercícios para adicionar polinômios

– Exercício 1

Na seguinte soma de polinômios, indique o termo que deve ficar em branco para obter o polinômio de soma:

-5x 4  + 0x 3 + 2x 2          + 1

x 5  + 2x 4              – 21x 2 + 8x – 3

2x 5              + 9x 3              -14x

———————————————

-6x 5 + 10x 4 -0x 3   + 5x 2    – 11x + 21

Solução

Para obter -6x 5, é necessário um termo no formato ax 5 , de modo que:

a + 1+ 2 = -6

Portanto:

a = -6-1-2 = -9

E o termo pesquisado é:

-9x 5

-Procedemos da mesma forma para encontrar o restante dos termos. Aqui está o expoente 4:

Matemática5 pontos

O termo que falta é: 13x 4 .

-Para as potências de x 3, é imediato que o termo deva ser -9x 3 ; dessa forma, o coeficiente do termo cúbico é 0.

-Como para os potências ao quadrado: a + 8 – 14 = -11 → a = -11 – 8 + 14 = -5 e o termo é -5x 2 .

-O termo linear é obtido por a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 – 8 = -5, sendo o termo ausente -5x.

-Finalmente o termo independente é: 1 -3 + a = -21 → a = -19.

– Exercício 2

Um terreno plano é vedado, como mostrado na figura. Encontre uma expressão para:

a) O perímetro e

b) Sua área, em termos dos comprimentos indicados:

Solução para

O perímetro é definido como a soma dos lados e contornos da figura. Começando no canto inferior esquerdo, no sentido horário, você tem:

Perímetro = y + x + comprimento do semicírculo + z + comprimento da diagonal + z + z + x

O semicírculo tem um diâmetro igual a x. Como o raio tem metade do diâmetro, você deve:

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Raio = x / 2.

A fórmula para o comprimento de uma circunferência completa é:

L = 2π x raio

Assim:

Comprimento do semicírculo = ½. 2π (x / 2) = πx / 2

Por sua vez, a diagonal é calculada com o teorema de Pitágoras aplicado aos lados: (x + y), que é o lado vertical e z, que é a horizontal:

Diagonal = [(x + y) 2 + z 2 ] 1/2

Essas expressões são substituídas na do perímetro, para obter:

Perímetro = y + x + πx / 2 + z + [(x + y) 2 + z 2 ] 1/2 + z + x + z

Termos semelhantes são reduzidos, pois a adição exige que o resultado seja simplificado ao máximo:

Perímetro = y + [x + π (x / 2) + x] + z + z + z + [(x + y) 2 + z 2 ] 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z

Solução b

A área resultante é a soma da área do retângulo, do semicírculo e do triângulo retângulo. As fórmulas para essas áreas são:

Retângulo : base x altura

Semicírculo : ½ π (Rádio) 2

Triângulo : base x altura / 2

Área do retângulo

(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz

Área do semicírculo

½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8

Área do triângulo

½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy

Área total

Para encontrar a área total, as expressões encontradas para cada área parcial são adicionadas:

Área total = x 2 + xz + yz + x + (π x 2 /8) + zx + ½ ½ zy

E, finalmente, todos os termos semelhantes são reduzidos:

Área total = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx

Referências

  1. Baldor, A. 1991. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana SA
  2. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  3. Math is Fun. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: mathsisfun.com.
  4. Instituto Monterey. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: montereyinstitute.org.
  5. UC Berkeley. Álgebra de polinômios. Recuperado de: math.berkeley.edu.

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