Teorema Euclidiano: Demonstração, Aplicação e Exercícios

O Teorema de Euclides mostra as propriedades de um triângulo retângulo, traçando uma linha que divide -o em dois novos triângulos que são semelhantes e, por sua vez, são semelhantes aos do triângulo original; Portanto, há uma relação de proporcionalidade.

Euclides foi um dos maiores matemáticos e geômetros da antiguidade que fez várias demonstrações de importantes teoremas. Um dos principais é o que leva seu nome, que teve uma ampla aplicação.

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Isso ocorre porque, através desse teorema, explica de maneira simples as relações geométricas existentes no triângulo retângulo, onde as pernas disso estão relacionadas às suas projeções na hipotenusa.

Fórmulas e demonstração

O teorema de Euclides propõe que em todo triângulo retângulo, quando uma linha é desenhada – que representa a altura correspondente ao vértice do ângulo reto em relação à hipotenusa – dois triângulos retos são formados a partir do original.

Esses triângulos serão semelhantes entre si e também serão semelhantes ao triângulo original, o que significa que seus lados semelhantes são proporcionais entre si:

Os ângulos dos três triângulos são congruentes; isto é, quando girado 180 graus acima do vértice, um ângulo sobre o outro coincide. Isso implica que todos serão iguais.

Dessa forma, você também pode verificar a semelhança que existe entre os três triângulos, para a igualdade de seus ângulos. A partir da semelhança dos triângulos, Euclides estabelece as proporções destes a partir de dois teoremas:

– Teorema da altura.

– Teorema da perna.

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Este teorema tem uma ampla aplicação. Nos tempos antigos, era usado para calcular alturas ou distâncias, representando um grande avanço para a trigonometria.

Atualmente, é aplicado em várias áreas baseadas em matemática, como engenharia, física, química e astronomia, entre muitas outras áreas.

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Teorema da altura

Nesse teorema, é estabelecido que, em qualquer triângulo retângulo, a altura traçada do ângulo reto em relação à hipotenusa é a média proporcional geométrica (o quadrado da altura) entre as projeções das pernas determinadas na hipotenusa.

Ou seja, o quadrado da altura será igual à multiplicação das pernas projetadas que formam a hipotenusa:

h c 2 = m * n

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Demonstração

Dado um triângulo ABC, que é um retângulo no vértice C, dois triângulos retos semelhantes, ADC e BCD, são gerados ao plotar a altura; portanto, seus lados correspondentes são proporcionais:

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Para que a altura h c que corresponde ao segmento CD corresponda à hipotenusa AB = c, você deve:

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Por sua vez, isso corresponde a:

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Limpando a hipotenusa (h c ), para multiplicar os dois membros da igualdade, você deve:

h c * h c = m * n

h c 2 = m * n

Assim, o valor da hipotenusa é dado por:

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Teorema da perna

Esse teorema afirma que, em todo triângulo retângulo, a medida de cada perna será a média proporcional geométrica (o quadrado de cada perna) entre a medida da hipotenusa (completa) e a projeção de cada uma delas:

b 2 = c * m

a 2 = c * n

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Demonstração

Dado um triângulo ABC, que é um retângulo no vértice C, de modo que sua hipotenusa é c, ao traçar a altura (h), são determinadas as projeções das pernas a e b, que são os segmentos m e n, respectivamente, e que estão acima A hipotenusa

Assim, a altura desenhada no triângulo retângulo ABC possui dois triângulos retos semelhantes, ADC e BCD, de modo que os lados correspondentes são proporcionais, assim:

DB = n, que é a projeção da perna do CB na hipotenusa.

AD = m, que é a projeção da perna AC na hipotenusa.

Então, a hipotenusa c é determinada pela soma das pernas de suas projeções:

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c = m + n

Devido à semelhança dos triângulos ADC e BCD, você deve:

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O acima é o mesmo que:

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Limpando a perna “a” para multiplicar os dois membros da igualdade, você deve:

a * a = c * n

a 2 = c * n

Assim, o valor da perna “a” é dado por:

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Da mesma forma, devido à semelhança dos triângulos ACB e ADC, você deve:

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O acima é igual a:

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Limpando a perna “b” para multiplicar os dois membros da igualdade, você deve:

b * b = c * m

b 2 = c * m

Assim, o valor da perna “b” é dado por:

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Relação entre os teoremas de Euclides

Os teoremas com referência à altura e pernas estão relacionados porque a medida de ambos é feita com relação à hipotenusa do triângulo retângulo.

Através da relação dos teoremas de Euclides, o valor da altura também pode ser encontrado; Isso é possível limpando os valores de myn do teorema da perna e substituindo o teorema da altura. Desta forma, verifica-se que a altura é igual à multiplicação das pernas, dividida pela hipotenusa:

b 2 = c * m

m = b 2 ÷ c

a 2 = c * n

n = a 2 ÷ c

No teorema da altura, myn é substituído:

h c 2 = m * n

h c 2 = (b 2 ÷ c) * (a 2 ÷ c)

h c = (b 2 * a 2 ) ÷ c

Exercícios resolvidos

Exemplo 1

Dado o triângulo ABC, retângulo em A, determine a medida de AC e AD, se AB = 30 cm e BD = 18 cm

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Solução

Nesse caso, são feitas as medições de uma das pernas projetadas (BD) e uma das pernas do triângulo original (AB). Dessa maneira, o teorema da perna pode ser aplicado para encontrar o valor da perna BC.

AB 2 = BD * BC

(30) 2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

O valor da perna do CD pode ser encontrado sabendo que BC = 50:

CD = BC – BD

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CD = 50-18 = 32 cm

Agora é possível determinar o valor da perna AC, aplicando o teorema das pernas novamente:

CA 2 = CD * BD

CA 2 = 32 * 50

CA 2 = 160

CA = √1600 = 40 cm

Para determinar o valor da altura (AD), o teorema da altura é aplicado, uma vez que os valores das pernas projetadas CD e BD são conhecidos:

AD 2 = 32 * 18

AD 2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemplo 2

Determine o valor da altura (h) de um triângulo MNL, retângulo em N, conhecendo as medidas dos segmentos:

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NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solução

Você tem a medida de uma das pernas projetadas na hipotenusa (PM), bem como as medidas das pernas do triângulo original. Dessa maneira, o teorema da perna pode ser aplicado para encontrar o valor da outra perna projetada (LN):

NL 2 = PM * LM

(10) 2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Como o valor das pernas e a hipotenusa já são conhecidos, o valor da altura pode ser determinado através da relação dos teoremas da altura e da perna:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b 2 * a 2 ) ÷ c.

h = (10 2 * 5 2 ) ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm

Referências

  1. Braun, E. (2011). Caos, fractais e coisas estranhas. Fundo de Cultura Econômica.
  2. Cabrera, VM (1974). Matemática moderna, Volume 3.
  3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matemática do 3º ano Caracas: Santillana.
  4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Enciclopédia Hispânica: Macropedia. Enciclopédia Britannica Publishers.
  5. Euclides, RP (1886). Elementos de Geometria de Euclides.
  6. Guardeño, AJ (2000). O legado da matemática: de Euclides a Newton, gênios através de seus livros. Universidade de Sevilha

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