Vetor normal: cálculo e exemplo

O vetor normal é aquele que define a direção perpendicular a alguma entidade geométrica em consideração, que pode ser por uma curva, um plano ou uma superfície, por exemplo.

É um conceito muito útil no posicionamento de uma partícula em movimento ou de alguma superfície no espaço. No gráfico a seguir, é possível ver como o vetor normal está em uma curva arbitrária C :

Vetor normal: cálculo e exemplo 1

Figura 1. Uma curva C com o vetor normal para a curva no ponto P. Fonte: Svjo [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]

Considere um ponto P na curva C. O ponto pode representar uma partícula em movimento que viaja ao longo de um caminho em forma de C. A linha tangente à curva no ponto P é desenhada em vermelho.

Observe que o vetor T é tangente a C em cada ponto, enquanto o vetor N é perpendicular a T e aponta para o centro de um círculo imaginário cujo arco é um segmento de C. Os vetores são indicados em negrito no texto impresso, portanto distingui-los de outras quantidades não vetoriais.

O vetor T sempre indica para onde a partícula se move, portanto, indica sua velocidade. Por outro lado, o vetor N sempre aponta na direção em que a partícula está girando, indicando a concavidade da curva C.

Como obter o vetor normal para um avião?

O vetor normal não é necessariamente um vetor unitário, ou seja, um vetor cujo módulo é 1, mas, nesse caso, é chamado vetor unitário normal .

Vetor normal: cálculo e exemplo 2

Figura 2. À esquerda, um plano P e os dois vetores normais para esse plano. À direita, a unidade é desenhada nas três direções que determinam o espaço. Fonte: Wikimedia Commons. Consulte a página do autor [Domínio público]

Em muitas aplicações, é necessário conhecer o vetor normal para um plano em vez de uma curva. Este vetor divulga a orientação do referido plano no espaço. Por exemplo, considere o plano P (amarelo) da figura:

Há dois vectores normais ao referido plano: n 1 e n 2 . O uso de um ou de outro dependerá do contexto em que este plano está localizado. Obter o vetor normal para um plano é muito simples se sua equação for conhecida:

ax + by + cz + d = 0 , com um , b , c e d números reais.

Bem, um vetor normal para esse plano é dado por:

N = a i + b j + c k

Aqui, o vetor N é expresso em termos da unidade e dos vetores perpendiculares i , j e k , direcionados ao longo das três direções que determinam o espaço x e z , veja a Figura 2 à direita.

O vetor normal do produto vetorial

Um procedimento muito simples para encontrar o vetor normal faz uso das propriedades do produto vetorial entre dois vetores.

Como é sabido, três pontos diferentes e não colineares um com o outro determinam um plano P. Agora, é possível obter dois vetores u e v que pertencem ao referido plano tendo esses três pontos.

Uma vez obtidos os vetores, o produto vetorial u x v é uma operação cujo resultado é um vetor que tem a propriedade de ser perpendicular ao plano determinado por u e v .

Conhecido por esse vetor, ele é indicado como N e, a partir dele, será possível determinar a equação do plano graças à equação indicada na seção anterior:

N = u x v

A figura a seguir ilustra o procedimento descrito:

Vetor normal: cálculo e exemplo 3

Figura 3. Com dois vetores e seu produto vetorial ou cruz, é determinada a equação do plano que contém os dois vetores. Fonte: Wikimedia Commons. Nenhum autor legível por máquina é fornecido. M.Romero Schmidtke assumiu (com base em reivindicações de direitos autorais). [Domínio público]

Exemplo

Encontre a equação do plano determinada pelos pontos A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

Solução

Este exercício ilustra o procedimento descrito acima. Por ter 3 pontos, um deles é escolhido como uma origem comum de dois vetores pertencentes ao plano definido por esses pontos. Por exemplo, o ponto A é definido à medida que a origem e os vetores AB e AC são construídos .

O vetor AB é o vetor cuja origem é o ponto A e cujo final é o ponto B. As coordenadas do vetor AB são determinadas subtraindo respectivamente as coordenadas de B das coordenadas de A:

AB = (0-2) i + (1-1) j + (1-3) k = -2 i + 0 j -2 k

Procuramos da mesma maneira para encontrar o vetor AC :

AC = (4/2) i + (2/1) j + (3/1) k = 2 i + j -2 k

Cálculo do produto vetorial AB x AC

Existem vários procedimentos para encontrar o produto vetorial entre dois vetores. Neste exemplo, é utilizado um procedimento mnemônico que utiliza a figura a seguir para encontrar os produtos vetoriais entre os vetores unitários i , j e k:

Vetor normal: cálculo e exemplo 4

Figura 4. Gráfico para determinar o produto vetorial entre os vetores unitários. Fonte: elaboração própria.

Para começar, é bom lembrar que os produtos vetoriais entre vetores paralelos são nulos, portanto:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

E como o produto vetorial é outro vetor perpendicular aos vetores participantes, o movimento na direção da seta vermelha tem:

i x j = k ; j x k = i ; k x i = j

Se você precisar se mover na direção oposta à seta, um sinal (-) é adicionado:

j x i = – k ; k x j = – i ; i x k = – j

No total, é possível criar 9 produtos vetoriais com os vetores unitários i , j e k , dos quais 3 serão nulos.

AB x BC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) 2 ( i x j ) 4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) – 0 ( j x k ) – 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Equação do plano

O vetor N foi determinado pelo produto vetorial calculado anteriormente:

N = 2 i -8 j -2 k

Portanto a = 2, b = -8, c = -2, o plano procurado é:

Qual é a raiz quadrada de 2?

O valor de d continua a ser determinado . Isso é fácil se os valores de qualquer um dos pontos disponíveis A, B ou C forem substituídos na equação do plano. Escolhendo C, por exemplo:

x = 4; y = 2; z = 1

É:

2,4 – 8,2 – 2,1 + d = 0

-10 + d = 0

d = 10

Em suma, o nível procurado é:

2x-8y-2z +10 = 0

O leitor curioso pode se perguntar se o mesmo resultado teria sido obtido se, em vez de fazer AB x AC, ele tivesse escolhido realizar AC x AB . A resposta é sim, o plano determinado por esses três pontos é único e possui dois vetores normais, como mostra a Figura 2.

Quanto ao ponto selecionado como a origem dos vetores, também não há problema em escolher um dos outros dois.

Referências

  1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB). 31-62.
  2. Encontrando o normal em um avião. Recuperado de: web.ma.utexas.edu.
  3. Larson, R. (1986). Cálculo e geometria analítica. Mc Graw Hill 616-647.
  4. Linhas e planos em R 3. Recuperado de: math.harvard.edu.
  5. Vetor normal Recuperado de mathworld.wolfram.com.

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