Como encontrar uma fração entre duas frações: métodos, exemplos e operações

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Encontrar uma fração entre duas frações é uma dúvida clássica que aparece na escola e em vários problemas práticos, e a boa notícia é que existem várias técnicas diretas para fazer isso sem sofrimento. Além de mostrar esses métodos, vamos revisar os conceitos essenciais de frações, como classificá-las, ler corretamente seus nomes e operar com elas (somar, subtrair, multiplicar e dividir), sempre com exemplos comentados e bem passo a passo.

Neste guia completo e direto ao ponto, você verá como criar frações equivalentes, como simplificar do jeito certo e como lidar com divisão entre frações usando o inverso multiplicativo, além de uma forma alternativa de representar a divisão como uma “fração de frações”. Para facilitar o estudo, cada seção traz explicações em linguagem clara, dicas práticas e exercícios resolvidos inspirados nos materiais apresentados, incluindo verificações de equivalência e problemas contextualizados.

O que é fração e quais são seus termos

Fração é uma maneira de representar uma divisão entre dois números, onde o número de cima é o numerador e o número de baixo é o denominador. Em a/b, o numerador a indica quantas partes temos, e o denominador b indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.

Como a fração representa uma divisão, o numerador (a) atua como dividendo e o denominador (b) como divisor, o que implica que b precisa ser diferente de 0, já que não existe divisão por zero. Essa visão ajuda a conectar frações com as operações fundamentais.

No cotidiano, podemos interpretar frações como “partes de um todo”. Se uma pizza for dividida em 8 pedaços iguais e você comer 3, a fração 3/8 descreve exatamente a quantidade consumida, tornando a ideia concreta e visual.

Também é comum representar números que têm uma parte inteira e outra fracionária por meio de números mistos, como 3 4/9. Nesse caso, temos 3 inteiros e mais a parte fracionária 4/9, algo muito usado em medidas e receitas.

Leitura da fração: como pronunciar corretamente

O que nomeia a fração é o denominador. Pronunciamos o numerador em sua forma cardinal (um, dois, três) e o denominador na forma fracionária, adaptando a terminação de acordo com o número.

A partir dos denominadores maiores que 10, adicionamos a palavra “avos” ao nome. Por exemplo, 17/100 lê-se “dezessete centésimos” e 9/1000 lê-se “nove milésimos”, e assim por diante com os demais denominadores.

Essa leitura é útil para comunicação e compreensão de contextos formais. Ao ouvir “três quintos”, você já sabe que está diante de 3/5, facilitando a tradução entre linguagem matemática e verbal.

Classificações das frações

As frações se organizam em diferentes tipos, dependendo da relação entre numerador e denominador ou da forma de representação. Conhecer essas categorias ajuda a decidir o melhor caminho em cálculos e simplificações, além de facilitar comparações; para aprofundar, consulte tipos de frações e exemplos.

Fração própria

É a fração cujo numerador é menor que o denominador (ex.: 1/2, 3/4, 12/100). Ela sempre representa uma quantidade menor do que 1 inteiro, o que é muito comum em medidas.

Fração imprópria

Acontece quando o numerador é maior que o denominador (ex.: 9/8, 7/2, 25/12). Essas frações são maiores que 1 e podem ser reescritas como números mistos, o que muitas vezes melhora a interpretação.

Fração aparente

É quando a fração representa um número inteiro; isso ocorre quando o numerador é divisível pelo denominador (ex.: 2/2 = 1, 8/4 = 2, 9/3 = 3). É uma forma fracionária de um número natural.

Fração equivalente

Duas frações são equivalentes quando expressam a mesma quantidade, ainda que usem números diferentes. Por exemplo, 1/2, 2/4 e 3/6 mostram sempre a metade do todo, embora os numeradores e denominadores variem proporcionalmente.

Fração irredutível

É a forma mais simples de uma fração, obtida quando não há nenhum número (além de 1) que divida numerador e denominador ao mesmo tempo, como 4/5, 7/8, 12/5 e 11/20.

Fração mista

Representa um número com parte inteira e parte fracionária (ex.: 3 4/9, 9 3/4, 2 1/3). Esse formato é muito útil quando queremos destacar a quantidade de inteiros mais a fração restante, principalmente em contextos de medidas e receitas.

Frações equivalentes: como encontrar e verificar

Frações equivalentes descrevem a mesma porção do todo. Para gerar equivalentes, multiplique (ou divida) numerador e denominador pelo mesmo número natural não nulo, preservando a proporção.

Exemplos com 1/5: 1/5 = 2/10 = 4/20 = 8/40 = 16/80 (multiplicando por 2), e também 1/5 = 3/15 = 9/45 = 27/135 = 81/405 (multiplicando por 3). Se multiplicarmos por 5, teremos 1/5 = 5/25 = 25/125 = 125/625 = 625/3125.

Exemplos com 4/3: 4/3 = 8/6 = 16/12 = 32/24 = 64/48 (multiplicando por 2), e 4/3 = 12/9 = 36/27 = 108/81 = 324/243 (multiplicando por 3). Se multiplicarmos por 4, obtemos 4/3 = 16/12 = 64/48 = 256/192 = 1024/768.

Para conferir se duas frações são equivalentes, a ideia é simplificar. Divida numerador e denominador pelo mesmo número até não ser mais possível, e compare os resultados. Se coincidirem, são equivalentes.

Veja um teste clássico: quais são equivalentes a 5/2 entre 25/10 e 30/5? Dividindo 25/10 por 5, vira 5/2; já 30/5, dividido por 5, vira 6/1, então a única equivalente a 5/2 é 25/10.

Operações com frações: adição, subtração, multiplicação e divisão

Antes de operar, é essencial entender o papel dos denominadores. Em adições e subtrações, precisamos de denominadores iguais; em multiplicações e divisões, trabalhamos diretamente com numeradores e denominadores conforme regras específicas.

Adição e subtração

Se os denominadores já forem iguais, conserve o denominador e some/subtraia os numeradores. Exemplos: 3/5 + 1/5 = 4/5; 5/7 − 3/7 = 2/7, operações diretas e rápidas.

Com denominadores diferentes, calcule o MMC (mínimo múltiplo comum) para igualá-los. Exemplo: 1/6 + 3/4. O MMC de 6 e 4 é 12; transforme 1/6 em 2/12 (multiplicando por 2) e 3/4 em 9/12 (multiplicando por 3), somando 2/12 + 9/12 = 11/12.

Multiplicação

Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo: (3/5) × (4/7) = 12/35, regra simples e direta.

Divisão

Para dividir frações, mantenha a primeira e multiplique pelo inverso (recíproco) da segunda. Exemplo: (3/5) ÷ (2/7) = (3/5) × (7/2) = 21/10, regra fundamental que simplifica o cálculo.

Divisão de frações passo a passo e outra forma de escrever a divisão

A divisão entre frações segue um procedimento fixo: repita a fração do dividendo e multiplique pelo inverso da fração do divisor, trocando numerador e denominador do segundo termo.

Na prática, se queremos resolver a/b ÷ c/d, basta fazer a/b × d/c. Vale lembrar que, ao multiplicar frações, multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si, mantendo a coerência da operação.

Outra forma útil de visualizar a divisão entre frações é escrevê-la como uma fração “grandona”, onde a fração do dividendo fica no numerador e a fração do divisor fica no denominador (uma fração de frações). Em seguida, aplicamos o mesmo procedimento do inverso para resolver.

Quando representamos assim, reforçamos que “fração é divisão”. Você literalmente enxerga que está dividindo uma fração por outra, o que ajuda a entender por que o inverso do divisor entra em ação.

Como encontrar uma fração entre duas frações

Agora, o foco principal: se temos duas frações distintas e ordenadas (por exemplo, a/b < c/d), como achar uma fração que esteja entre elas? Existem diferentes estratégias, e você pode escolher a mais conveniente para o contexto, todas matematicamente corretas.

1) Igualar denominadores e escolher um numerador intermediário: transforme ambas as frações para um denominador comum (pode ser o MMC). Se ficarem X/N e Y/N, procure um número inteiro K com X < K < Y; então K/N será uma fração entre as duas. Essa estratégia é especialmente prática quando o intervalo entre X e Y é largo, pois sobra espaço para escolher K.

2) Usar o mediant (mediatriz fracionária): se a/b < c/d com a, b, c, d > 0, a fração (a + c)/(b + d) fica estritamente entre a/b e c/d. Exemplo: entre 1/3 e 2/5, o mediant é (1 + 2)/(3 + 5) = 3/8; você pode verificar decimalizando: 1/3 ≈ 0,333; 3/8 = 0,375; 2/5 = 0,4, logo 3/8 está no meio. Esse método é elegante e dispensa MMC.

3) Calcular a média aritmética fracionária: a média de a/b e c/d é /2 = (ad + bc)/(2bd). O resultado também fica entre as duas frações originais, e, muitas vezes, retorna uma fração já simplificada.

4) Refinar com equivalentes: multiplicando numerador e denominador por um mesmo número grande (por exemplo, 10, 100, 1000), você “cria espaço” entre as frações quando as escreve com mesmo denominador. Assim, é mais fácil encontrar um numerador inteiro intermediário, especialmente se o intervalo inicial era apertado.

Para visualizar, suponha que você queira um número entre 5/8 e 7/10. Usando MMC(8,10) = 40, transforme em 25/40 e 28/40; qualquer fração K/40 com 25 < K < 28 serve, como 26/40 ou 27/40 (e depois simplifique, se desejar). Se o intervalo fosse ainda mais estreito, multiplicar ambos por 10 (ficando 250/400 e 280/400) liberaria mais escolhas para K.

Exemplos práticos e exercícios resolvidos

Vamos reunir alguns problemas clássicos para aplicar as ideias. Assim, você percebe como os procedimentos aparecem “na vida real” de estudo, do básico ao intermediário.

Equivalência e simplificação

Questão: qual fração é equivalente a 4/12? Ao dividir numerador e denominador por 4, obtemos 1/3, portanto 4/12 ≡ 1/3. Esse é um exemplo típico de redução à forma irredutível.

Agora, verificação de múltiplas opções para equivalência de 13/8: 65/40, 117/72, 52/32, 104/64 e 26/24. Dividindo cada numerador por 13 e o denominador por 8 quando possível, descobrimos que as quatro primeiras são equivalentes, porém 26/24 não é (pois 26/24 simplifica para 13/12, que não coincide com 13/8).

Operações com frações em contexto

(Problema de salário) Alicia guardou 3/10 do salário e pagou 1/10 com aluguel. Que fração sobrou? Se 3/10 + 1/10 = 4/10 foi gasto/guardado, então restam 10/10 − 4/10 = 6/10, que ainda pode ser simplificado para 3/5 se necessário.

Outro clássico: somar 1/6 + 3/4. Com MMC = 12, viram 2/12 + 9/12 = 11/12, solução direta após igualar denominadores por equivalência.

Multiplicação e divisão: exemplos pontuais

Multiplicação: (3/5) × (4/7) = 12/35. Nesse caso, multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si, sem precisar igualar denominadores.

Divisão: (3/5) ÷ (2/7) = (3/5) × (7/2) = 21/10. Conservar a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda é a regra de ouro da divisão de frações, que inclusive mostra por que dividir pode ser visto como multiplicar pelo recíproco.

Outra representação da divisão

Se escrevermos (a/b) ÷ (c/d) como uma grande fração, com a/b no numerador e c/d no denominador, visualizamos imediatamente que se trata de uma divisão entre frações, e procedemos invertendo a fração do denominador para multiplicar.

Essa forma reforça o entendimento conceitual de que “toda fração é uma divisão”. Assim, a operação fica coerente com as regras já conhecidas, sem adicionar novas complicações.

Mais sobre frações equivalentes e escolha de frações intermediárias

Relembrando: criar frações equivalentes significa multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. Isso não altera o valor, só a “roupagem” da fração, o que é muito útil para comparar e somar/subtrair.

Se você precisa de uma fração entre duas muito próximas, aumentar o denominador por equivalência (ex.: multiplicar por 100) “abre” espaço. Quando você reescreve as duas com o mesmo denominador grande, fica simples escolher um numerador intermediário inteiro.

O mediant, (a + c)/(b + d), é outro truque poderoso. Ele garante uma fração no intervalo, sem MMC e sem conversões para decimal, e pode ser repetido para construir sequências cada vez mais densas entre as duas extremidades.

Também é possível recorrer à média aritmética fracionária , que resulta em (ad + bc)/(2bd). Além de estar entre as duas frações, às vezes já aparece irredutível, economizando uma etapa de simplificação.

Quando as frações possuem o mesmo denominador, a tarefa fica ainda mais simples: basta escolher um numerador inteiro entre eles e manter o denominador, o que é extremamente rápido e intuitivo.

Para concluir com uma dica prática: em exercícios de comparação ou ordenação, simplifique primeiro o que puder e, se necessário, use o MMC para igualar denominadores. Isso ajuda tanto a decidir quem é maior quanto a apontar frações no meio do caminho, com segurança e sem ambiguidade.

Este material reuniu definições (como numerador, denominador, dividendo e divisor), leitura correta das frações, classificações (própria, imprópria, aparente, equivalente, irredutível e mista), geração e verificação de equivalências, operações fundamentais (soma, subtração, multiplicação e divisão), a escrita alternativa de divisão como “fração de frações” e, principalmente, vários métodos para achar uma fração entre duas frações (denominador comum, mediant, média aritmética e refinamento por equivalentes). Com essas ferramentas, você pode resolver desde problemas básicos até tarefas mais elaboradas com frações, mantendo clareza e precisão nos cálculos.