- Frações equivalentes representam a mesma quantidade, mesmo com numeradores e denominadores diferentes.
- Multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número gera novas frações equivalentes.
- A simplificação de frações encontra a forma irredutível, útil para comparar e operar com frações.
- Frações equivalentes são essenciais em comparações, proporções, porcentagens e aplicações do dia a dia.
Entender frações equivalentes parece, à primeira vista, algo bem escolar e simples, mas esse assunto vai muito além das contas no caderno. Ele aparece quando dividimos uma pizza entre amigos, quando mexemos em receitas de cozinha, quando ajustamos escalas em mapas ou quando comparamos investimentos. Saber escrever duas frações equivalentes a uma fração dada é, na prática, saber enxergar a mesma quantidade representada de jeitos diferentes.
Quando você domina frações equivalentes, fica muito mais fácil simplificar cálculos, comparar quantidades e interpretar situações do dia a dia envolvendo partes de um todo. Essa habilidade é base para conteúdos mais avançados de matemática, como porcentagens, razões, proporções, álgebra, estatística e até probabilidade. Vamos aprofundar a ideia com exemplos bem concretos, explicações passo a passo e várias formas de visualizar as frações.
O que é uma fração e como ela é lida
Uma fração é uma maneira de representar que pegamos apenas uma parte de algo que foi dividido em partes iguais. Escrevemos uma fração na forma a/b, em que a é o numerador (a parte que estamos tomando) e b é o denominador (em quantas partes o inteiro foi dividido). Por exemplo, se uma pizza é cortada em 4 fatias iguais e você come 1 fatia, isso é representado por 1/4: uma parte de um total de quatro.
O numerador mostra quantas partes estão sendo consideradas, enquanto o denominador indica em quantas partes iguais o inteiro foi separado. Se em uma sala há 20 alunos e 13 são meninas, podemos representar as meninas pela fração 13/20 e, consequentemente, os meninos por 7/20, já que 13 + 7 = 20. Essa forma de escrever ajuda a comparar grupos dentro de um mesmo todo.
Em linguagem matemática, dizemos que frações representam números racionais, que são quocientes de números inteiros. Em notação de conjuntos, podemos indicar os racionais não negativos como Q+ = {0, 1/4, 1/2, 1, 2, …}. Cada uma dessas frações ou inteiros representa uma quantidade na reta numérica, mesmo que não apareça um número “cheio”.
Também é importante saber que o denominador nunca pode ser zero, pois não faz sentido dividir um inteiro em zero partes. O denominador é sempre um número natural diferente de zero, e é ele que determina como o inteiro foi fatiado.
Como as frações surgiram e por que são tão importantes
O uso de frações é bem antigo: por volta de 3000 a.C., geômetras egípcios já precisavam delas para marcar terras às margens do rio Nilo. As enchentes apagavam as marcações, e os trabalhadores recorriam a cordas marcadas para medir e dividir novamente os terrenos. Como as medidas nem sempre se encaixavam em números inteiros, surgia a necessidade de representar “pedaços” de unidade, isto é, partes de um inteiro.
No cotidiano moderno, o raciocínio é o mesmo: sempre que dividimos algo e queremos que todos fiquem com partes iguais, estamos lidando, na prática, com frações. Pense em duas barras de chocolate iguais para dois irmãos; se chega uma amiga e cada irmão decide doar metade da própria barra, cada um está oferecendo 1/2 do seu chocolate. A questão é garantir que ninguém coma menos que o outro, e as frações ajudam a descrever essa divisão justa.
Situações de injustiça também aparecem quando as partes não são do mesmo tamanho. Se você corta uma pizza “no olho” e deixa fatias desiguais, logo alguém vai reclamar que ficou com a menor parte. A matemática das frações entra exatamente para evitar essas confusões, exigindo sempre partes iguais ao falar de frações bem definidas.
Na matemática formal, dizemos que os números naturais (1, 2, 3, …), muitas vezes sem incluir o zero, representam quantidades inteiras. Já as frações representam números racionais que preenchem os “espaços” entre esses inteiros, permitindo uma descrição muito mais precisa de medidas, proporções e divisões.
Tipos de frações: própria, imprópria e aparente
Nem todas as frações se comportam da mesma forma; a relação entre numerador e denominador permite classificar as frações em próprias, impróprias e aparentes. Essa classificação ajuda a entender melhor o que cada fração está representando em termos de inteiros e partes de inteiro (veja tipos, exemplos e exercícios resolvidos).
Uma fração própria é aquela em que o numerador é menor que o denominador, como 1/4, 3/5 (veja frações equivalentes a 3/5) ou 3/4. Nesses casos, a fração representa menos do que 1 unidade. Visualmente, se pensarmos em uma barra dividida em 4 partes iguais, 3/4 corresponde a três dessas quatro partes pintadas.
Uma fração imprópria é aquela em que o numerador é maior que o denominador, como 5/3, 7/4 ou 9/2. Ela representa mais do que um inteiro. Por exemplo, 5/3 pode ser decomposta como 3/3 + 2/3, o que equivale a 1 + 2/3. Assim, 5/3 é igual a 1 2/3 quando escrita na forma de número misto.
Chamamos de fração aparente aquela em que o numerador é um múltiplo do denominador, como 4/2, 15/3 ou 0/8. Embora pareçam frações, na verdade elas representam números inteiros: 4/2 = 2, 15/3 = 5 e 0/8 = 0. O zero, inclusive, é múltiplo de qualquer número inteiro, por isso expressões como 0/3 ou 0/8 também são consideradas frações aparentes.
Transformar uma fração imprópria em número misto e vice-versa é uma habilidade muito útil. Por exemplo, 17/4 pode ser reescrita como 4 1/4, pois 17/4 = (16 + 1)/4 = 16/4 + 1/4 = 4 + 1/4. E o caminho inverso também funciona: 4 1/4 volta a ser 17/4 se transformarmos o inteiro em fração com o mesmo denominador.
Como lemos as frações em português
A leitura das frações segue regras que dependem principalmente do denominador. Isso é importante porque, além de fazer contas, precisamos comunicar corretamente esses valores na fala e na escrita.
Quando o denominador é um número entre 2 e 9, usamos nomes específicos: 1/2 é “um meio”, 1/3 “um terço”, 1/4 “um quarto”, 1/5 “um quinto”, 1/6 “um sexto”, 1/7 “um sétimo”, 1/8 “um oitavo” e 1/9 “um nono”. Quando o numerador é maior que 1, usamos o plural: 2/3 são “dois terços”, 3/4 são “três quartos” e assim por diante.
Quando o denominador é maior que 10, aparece com frequência o termo “avos”. Assim, 1/11 pode ser lido como “um onze avos”, 1/12 como “um doze avos”, 1/13 como “um treze avos” e assim sucessivamente. Expressões como “trinta avos”, “quarenta avos” e “cem avos” também são comuns quando o denominador é múltiplo de 10.
Para denominadores que são múltiplos de 10, além de “avos”, existem também os nomes especiais mais usados no dia a dia: 1/10 é “um décimo” (ou “um dez avos”), 1/100 é “um centésimo”, 1/1000 é “um milésimo” e assim por diante. Em contextos científicos e financeiros, essa forma é muito utilizada.
Em casos de denominadores grandes e menos comuns, muitas vezes simplesmente se fala o número seguido de “avos”. Por exemplo, 1/3597 pode ser lido como “um, três mil quinhentos e noventa e sete avos”. Pode parecer exagero, mas essa formalidade é útil em situações mais técnicas.
O que são frações equivalentes
Frações equivalentes são frações diferentes na escrita, mas que representam exatamente a mesma quantidade do inteiro. Em outras palavras, são duas ou mais frações que ocupam o mesmo ponto na reta numérica, ainda que tenham numeradores e denominadores distintos.
Um exemplo clássico é comparar 1/2, 2/4, 3/6 e 4/8. Visualmente, se desenharmos uma barra inteira e a dividirmos em 2, 4, 6 ou 8 partes, pintando sempre metade das partes, a área pintada será a mesma em todos os casos. Assim, todas essas frações são equivalentes, pois correspondem a “metade” do inteiro.
Do ponto de vista algébrico, dizemos que duas frações a/b e c/d são equivalentes se a × d = b × c. Essa é a famosa verificação cruzada: multiplicamos o numerador de uma pela parte de baixo da outra e comparamos os resultados. Se der o mesmo valor, as duas frações representam a mesma quantidade.
Outra forma de enxergar equivalência é observar que duas frações equivalentes, quando simplificadas, chegam à mesma fração irredutível. Por exemplo, 18/24 e 3/4: se simplificarmos 18/24 dividindo numerador e denominador por 6, obtemos 3/4. Como 3/4 já está na sua forma mais simples, concluímos que 18/24 e 3/4 são equivalentes.
O conjunto de todas as frações equivalentes a uma dada fração é chamado de classe de equivalência dessa fração. Por exemplo, a classe de equivalência de 1/3 inclui frações como 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, e assim por diante. Em teoria, esse conjunto é infinito, pois sempre é possível multiplicar numerador e denominador por um novo número natural.
Como escrever duas frações equivalentes a uma fração dada
Para escrever duas (ou mais) frações equivalentes a uma fração dada, a ideia central é multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. O segredo é fazer a mesma operação nas duas partes da fração, mantendo a proporção entre elas.
Quando multiplicamos numerador e denominador por um mesmo número, estamos construindo frações equivalentes “maiores” na forma, mas com o mesmo valor. Por exemplo, partindo de 1/5, podemos multiplicar por 2, 3 e 5:
1/5 × 2/2 = 2/10
1/5 × 3/3 = 3/15
1/5 × 5/5 = 5/25
Todas essas frações representam o mesmo número que 1/5, só que escritas de maneiras diferentes. Se quisermos exatamente duas frações equivalentes a 1/5, por exemplo, podemos citar 2/10 e 3/15, ou 4/20 e 5/25, e assim por diante.
O mesmo raciocínio vale para frações como 4/3. Multiplicando por 2, 3 ou 4, teremos:
4/3 × 2/2 = 8/6
4/3 × 3/3 = 12/9
4/3 × 4/4 = 16/12
Cada uma dessas frações é equivalente a 4/3. Para responder a um pedido do tipo “escreva duas frações equivalentes a 4/3”, poderíamos escolher, por exemplo, 8/6 e 12/9, já que ambas foram obtidas multiplicando os dois termos da fração original pelo mesmo número.
Também é possível encontrar frações equivalentes por divisão, desde que numerador e denominador tenham um divisor comum maior que 1. Esse processo é chamado de simplificação: se dividirmos a fração 12/16 por 2 e depois novamente por 2, teremos 12/16 → 6/8 → 3/4. Todas essas frações são equivalentes, mas 3/4 é a forma irredutível.
Exemplos passo a passo de frações equivalentes
Vamos reforçar a ideia de equivalência com alguns exemplos progressivos, parecidos com exercícios de livro, mas explicados de forma bem detalhada. Isso ajuda a fixar o método de multiplicar e dividir numeradores e denominadores.
1) Frações equivalentes de 1/5
Se quisermos gerar uma sequência de frações equivalentes a 1/5, podemos multiplicar por 2, 3, 4, 5…
1/5 = 2/10 = 4/20 = 8/40 = 16/80 (multiplicando tudo por 2 em cada passo)
1/5 = 3/15 = 9/45 = 27/135 = 81/405 (multiplicando tudo por 3 em cada passo)
1/5 = 5/25 = 25/125 = 125/625 = 625/3125 (multiplicando tudo por 5 em cada passo)
Repare que a proporção entre numerador e denominador é sempre a mesma: o numerador é igual ao denominador dividido por 5. Isso garante que todas essas frações representem o mesmo número.
2) Frações equivalentes de 4/3
Aplicando a mesma ideia a 4/3, podemos multiplicar por 2, 3 ou 4:
4/3 = 8/6 = 16/12 = 32/24 = 64/48 (multiplicando tudo por 2 em cada passo)
4/3 = 12/9 = 36/27 = 108/81 = 324/243 (multiplicando tudo por 3 em cada passo)
4/3 = 16/12 = 64/48 = 256/192 = 1024/768 (multiplicando tudo por 4 em cada passo)
Mesmo que os números fiquem grandes, o valor representado por todas essas frações continua sendo 4/3. Na prática, elas indicam “um inteiro e um terço”, só escritos com denominadores diferentes.
3) Conferindo se uma fração é equivalente por simplificação
Imagine que queremos saber qual fração, entre 25/10 e 30/5, é equivalente a 5/2. Vamos simplificar:
25/10 ÷ 5/5 = 5/2
30/5 ÷ 5/5 = 6/1 = 6
Como apenas 25/10 simplifica exatamente para 5/2, concluímos que 25/10 é equivalente a 5/2, enquanto 30/5 não é. Aqui, simplificar até uma forma irredutível permite comparar facilmente as frações.
Critério prático: multiplicação cruzada
Uma forma muito usada para verificar se duas frações são equivalentes é a multiplicação cruzada. Se tivermos as frações a/b e c/d, calculamos a × d e b × c. Se os dois produtos forem iguais, as frações são equivalentes.
Por exemplo, para testar se 18/24 e 3/4 são equivalentes, fazemos:
18 × 4 = 72
24 × 3 = 72
Como os produtos são iguais, 18/24 e 3/4 representam a mesma quantidade. Esse critério é muito útil quando queremos comparar rapidamente duas frações sem necessariamente simplificá-las por completo.
Esse mesmo método pode ser usado para encontrar valores desconhecidos em frações equivalentes. Se sabemos que x/224 é equivalente a 3/7, podemos escrever a igualdade 3/7 = x/224 e aplicar multiplicação cruzada: 3 × 224 = 7 × x, logo 672 = 7x, então x = 672 ÷ 7 = 96. Assim, a fração 96/224 é equivalente a 3/7.
Como simplificar frações usando equivalência
Simplificar uma fração é escrever a mesma quantidade com números menores, dividindo numerador e denominador por um mesmo fator comum. O objetivo é obter uma fração irredutível, isto é, uma fração na qual numerador e denominador são primos entre si (o máximo divisor comum entre eles é 1).
Um método é a divisão sucessiva: pegamos a fração e vamos dividindo os dois termos por números que são divisores de ambos, até não ser mais possível.
Exemplo com 36/60
36/60 ÷ 2/2 → 18/30
18/30 ÷ 2/2 → 9/15
9/15 ÷ 3/3 → 3/5
Chegamos a 3/5, que é irredutível, pois 3 e 5 não possuem divisores comuns além de 1. Assim, 36/60 e 3/5 são equivalentes, mas 3/5 é a representação mais simples.
Outro caminho é usar o Máximo Divisor Comum (MDC). Se o MDC entre numerador e denominador for conhecido, basta dividir a fração diretamente por esse valor.
Exemplo com 54/72
Se MDC(54, 72) = 18, então:
54/72 ÷ 18/18 = 3/4
Nesse caso, em um único passo encontramos a fração equivalente mais simples, 3/4. Em exercícios mais avançados ou em cálculos rápidos, esse método é bastante eficiente.
Comparando frações com ajuda das equivalentes
Para saber qual de duas frações é maior, muitas vezes é útil transformá-las em frações equivalentes com o mesmo denominador. Assim, basta comparar os numeradores.
Se duas frações têm denominadores iguais, a maior é a que possui o maior numerador. Por exemplo, entre 3/5 e 4/5, claramente 4/5 é maior, já que ambas representam partes de um mesmo inteiro dividido em 5.
Quando os denominadores são diferentes, podemos usar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Suponha que queremos comparar 2/3 e 3/5. Calculamos MMC(3, 5) = 15 e escrevemos frações equivalentes com denominador 15:
2/3 = (2 × 5)/(3 × 5) = 10/15
3/5 = (3 × 3)/(5 × 3) = 9/15
Agora que as duas frações estão com o mesmo denominador, fica fácil ver que 10/15 > 9/15. Portanto, 2/3 é maior que 3/5. Tudo isso foi possível graças à ideia de frações equivalentes.
Há ainda um caso especial: quando os numeradores são iguais. Se duas frações possuem o mesmo numerador, a maior é a que tem o menor denominador, porque o inteiro foi dividido em menos partes. Por exemplo, 3/4 é maior que 3/8, já que 1/4 é maior que 1/8, e consequentemente três partes de 1/4 ocupam mais do que três partes de 1/8.
Problemas e situações práticas com frações equivalentes
Para fixar bem o conceito, vale olhar algumas situações de problema nas quais as frações equivalentes aparecem naturalmente. Elas surgem toda vez que precisamos comparar “pedaços” de coisas diferentes, mas do mesmo tamanho.
Imagine duas amigas, Ana e Vitória, cada uma com uma pizza do mesmo tamanho, mas cortadas de formas diferentes. A pizza de Ana foi dividida em 5 fatias iguais, e ela comeu 3 pedaços. A pizza de Vitória foi dividida em 6 fatias iguais, e ela comeu 4. As frações são, então, 3/5 e 4/6.
Para saber quem comeu mais pizza, podemos reduzir ambas as frações ao mesmo denominador usando frações equivalentes. Vamos procurar um denominador comum conveniente: 30 funciona bem, pois é múltiplo de 5 e 6.
Ana: 3/5 × 6/6 = 18/30
Vitória: 4/6 × 5/5 = 20/30
Como 20/30 é maior que 18/30, concluímos que Vitória comeu mais pizza. Sem o conceito de frações equivalentes, essa comparação seria bem menos intuitiva.
Outra situação clássica é a de múltiplas alternativas de frações, em que precisamos identificar qual não é equivalente a uma fração de referência. A estratégia é simplificar cada opção ou aplicar a multiplicação cruzada para conferir se realmente são equivalentes.
Aplicações das frações equivalentes em outras áreas
As frações equivalentes não servem só para exercícios de matemática; elas aparecem em várias áreas da vida real. Na culinária, por exemplo, muitas receitas usam frações de xícaras, colheres e medidas diversas. Ao reduzir ou aumentar uma receita, precisamos ajustar as quantidades proporcionalmente, e isso envolve escrever novas frações equivalentes às originais.
No mundo das finanças, frações equivalentes podem aparecer quando comparamos taxas, juros e rendimentos. Se um investimento rende 3/4 de um certo percentual ao ano e outro rende 6/8 do mesmo percentual, basta identificar que 6/8 é equivalente a 3/4 para perceber que os dois investimentos, na prática, têm o mesmo retorno.
Em física e em outras ciências, frações equivalentes aparecem em proporções, escalas, conversões de unidades e análise de resultados experimentais. Ajustar uma escala de mapa ou de desenho técnico, por exemplo, envolve trabalhar com razões que podem ser reescritas em forma de frações equivalentes para facilitar interpretações.
Até na probabilidade encontramos frações equivalentes. Se um evento tem chance de 1/5 de acontecer e outro tem chance de 2/10, sabemos que essas probabilidades são iguais, porque 2/10 simplifica para 1/5. Em estatística e gráficos, entender essa equivalência ajuda a traduzir dados em porcentagens ou decimais de forma correta.
Do ponto de vista educacional, professores usam frequentemente métodos visuais, como “pizzas” desenhadas, retângulos divididos e barras coloridas, para ilustrar frações equivalentes. Esses recursos tornam o conceito mais concreto e ajudam estudantes a perceberem que, apesar de escritas diferentes, certas frações representam a mesma parte de um todo.
Embora tudo isso pareça simples, a noção de frações equivalentes atravessa a história da matemática e foi refinada por diferentes culturas e matemáticos ao longo dos séculos. Hoje, é uma ferramenta básica, mas poderosa, que sustenta desde operações elementares até raciocínios sofisticados em cálculo e teoria dos números. Dominar frações equivalentes significa, em última análise, enxergar com clareza quando duas expressões numéricas diferentes escondem exatamente a mesma quantidade.
