Antiderivativo: fórmulas e equações, exemplos, exercícios

Antiderivativo: fórmulas e equações, exemplos, exercícios

Um antiderivado F (x) de uma função f (x) também é chamado primitivo ou simplesmente a integral indefinida da referida função, se em um determinado intervalo I , é verdade que  F´ (x) = f (x)

Por exemplo, vamos assumir a seguinte função:

f (x) = 4x 3

Uma antiderivada dessa função é F (x) = x 4 , pois ao derivar F (x) usando a regra de derivação para potências:

Obtemos precisamente f (x) = 4x 3 .

No entanto, essa é apenas uma das muitas antiderivadas de f (x), pois essa outra função: G (x) = x 4 + 2 também é porque, ao derivar G (x) em relação a x, o mesmo é obtido volta f (x).

Vamos conferir:

Lembre-se de que a derivada de uma constante é 0. Portanto, qualquer constante pode ser adicionada ao termo x 4 e sua derivada permanecerá 4x 3 .

Conclui-se que qualquer função da forma geral F (x) = x 4 + C, onde C é uma constante real, serve como antiderivada de f (x).

O exemplo ilustrativo acima pode ser expresso assim:

dF (x) = 4x 3 dx

A integral antiderivada ou indefinida é expressa com o símbolo ∫, portanto:

F (x) = x4x 3 dx = x 4 + C

Onde a função f (x) = 4x é chamada de integrando e C é a constante de integração .

Exemplos de antiderivados

Encontrar uma antiderivada de uma função é fácil em alguns casos em que os derivados são bem conhecidos. Por exemplo, se a função f (x) = sin x, uma antiderivada para ela é outra função F (x), de modo que a derivação obtenha f (x).

Essa função pode ser:

F (x) = – cos x

Vamos verificar se é verdade:

F ‘(x) = (- cos x) ´ = – (-sen x) = sin x

Portanto, podemos escrever:

∫sen x dx = -cos x + C

Além de conhecer as derivadas, existem algumas regras básicas e simples de integração para encontrar a integral antiderivada ou indefinida.

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Seja k uma constante real, então:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Se uma função h (x) pode ser expressa como a soma ou subtração de duas funções, sua integral indefinida é:

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Essa é a propriedade da linearidade.

A regra de poder para integrais pode ser estabelecida assim:

Para o caso de n = -1, a seguinte regra é usada:

5.- ∫ x -1 dx = ln x + C

É fácil mostrar que a derivada de ln x é precisamente x -1 .

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é aquela em que o desconhecido é encontrado como uma derivada.

Agora, a partir da análise anterior, é fácil ver que a operação inversa à derivada é a integral antiderivada ou indefinida.

Seja f (x) = y´ (x), isto é, a derivada de uma determinada função. Podemos usar a seguinte notação para indicar essa derivada:

Segue-se imediatamente que:

dy = f (x) dx

O desconhecido da equação diferencial é a função y (x), aquela cuja derivada é f (x). Para esclarecer, a expressão anterior é integrada nos dois lados, o que equivale à aplicação da antiderivada:

∫dy = ∫f (x) dx

A integral esquerda é resolvida usando a regra de integração 1, com k = 1, e assim o desconhecido desejado é limpo:

y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C

E como C é uma constante real, para saber qual é apropriado em cada caso, a instrução deve conter informações adicionais suficientes para calcular o valor de C. Isso é chamado de condição inicial .

Veremos exemplos de aplicação de tudo isso na próxima seção.

Exercícios antiderivados

– Exercício 1

Aplique as regras de integração para obter as seguintes antiderivadas ou integrais indefinidas das funções fornecidas, simplificando os resultados o máximo possível. É conveniente verificar o resultado por derivação .

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Solução para

Aplicamos a regra 3 primeiro, já que o integrando é a soma de dois termos:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Para a primeira integral, a regra de potência se aplica:

∫ dx = (x 2 /2) + C 1

A regra 1 se aplica à segunda integral, onde k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2

E agora os resultados são adicionados. As duas constantes são agrupadas em uma, genericamente chamada C:

∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + C + 7x

Solução b

Para linearidade, essa integral é decomposta em três integrais mais simples, às quais a regra de potência será aplicada:

(X 3/2 + x + 6) dx = ∫x 3/2 dx + 2x dx + ∫6 dx =

Observe que para cada integral aparece uma constante de integração, mas elas se encontram em uma única chamada C.

Solução c

Nesse caso, é conveniente aplicar a propriedade distributiva da multiplicação para desenvolver o integrando. Em seguida, a regra de potência é usada para encontrar cada integral separadamente, como no exercício anterior.

(X + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x – 2) dx

O leitor atento observará que os dois termos centrais são semelhantes, portanto são reduzidos antes de integrar:

(X + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 – 2x + C

Solução e

Uma maneira de resolver a integral seria desenvolver o poder , como no exemplo d. No entanto, como o expoente é maior, seria conveniente fazer uma alteração na variável, para não ter que fazer um desenvolvimento tão longo.

A alteração da variável é a seguinte:

u = x + 7

Derivando esta expressão nos dois lados:

du = dx

A integral é transformada em uma mais simples com a nova variável, que é resolvida com a regra de potência:

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(X + 7) 5 dx = 5 u 5 du = (1/6) u 6 + C

Finalmente, a alteração é retornada para retornar à variável original:

∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C

– Exercício 2

Uma partícula está inicialmente em repouso e se move ao longo do eixo x. Sua aceleração para t> 0 é dada pela função a (t) = cos t. Sabe-se que em t = 0, a posição é x = 3, todas em unidades do Sistema Internacional. Somos solicitados a encontrar a velocidade v (t) e a posição x (t) da partícula.

Solução

Como a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, temos a seguinte equação diferencial:

a (t) = v´ (t) = cos t

Segue que:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1

Por outro lado, sabemos que a velocidade é, por sua vez, a derivada da posição, portanto, integramos novamente:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sen t + C 1 ) dt = sensen t dt + 1C 1 dt = – cos t + C 1 t + C 2

As constantes de integração são determinadas a partir das informações fornecidas na declaração. Primeiro, ele diz que a partícula estava inicialmente em repouso, portanto v (0) = 0:

v (0) = sen 0 + C 1 = 0

C 1 = 0

Então temos que x (0) = 3:

x (0) = – cos 0 + C 1 0 + C 2 = – 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4

As funções de velocidade e posição são definitivamente assim:

v (t) = sin t

x (t) = – cos t + 4

Referências

  1. Engler, A. 2019. Cálculo Integral. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
  3. Textos Livres de Matemática. Antiderivados. Recuperado de: math.liibretexts.org.
  4. Wikipedia. Antiderivativo. Recuperado de: en.wikipedia.org.
  5. Wikipedia. Integração indefinida. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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