Um antiderivado F (x) de uma função f (x) também é chamado primitivo ou simplesmente a integral indefinida da referida função, se em um determinado intervalo I , é verdade que F´ (x) = f (x)
Por exemplo, vamos assumir a seguinte função:
f (x) = 4x 3
Uma antiderivada dessa função é F (x) = x 4 , pois ao derivar F (x) usando a regra de derivação para potências:
Obtemos precisamente f (x) = 4x 3 .
No entanto, essa é apenas uma das muitas antiderivadas de f (x), pois essa outra função: G (x) = x 4 + 2 também é porque, ao derivar G (x) em relação a x, o mesmo é obtido volta f (x).
Vamos conferir:
Lembre-se de que a derivada de uma constante é 0. Portanto, qualquer constante pode ser adicionada ao termo x 4 e sua derivada permanecerá 4x 3 .
Conclui-se que qualquer função da forma geral F (x) = x 4 + C, onde C é uma constante real, serve como antiderivada de f (x).
O exemplo ilustrativo acima pode ser expresso assim:
dF (x) = 4x 3 dx
A integral antiderivada ou indefinida é expressa com o símbolo ∫, portanto:
F (x) = x4x 3 dx = x 4 + C
Onde a função f (x) = 4x 3 é chamada de integrando e C é a constante de integração .
Exemplos de antiderivados
Encontrar uma antiderivada de uma função é fácil em alguns casos em que os derivados são bem conhecidos. Por exemplo, se a função f (x) = sin x, uma antiderivada para ela é outra função F (x), de modo que a derivação obtenha f (x).
Essa função pode ser:
F (x) = – cos x
Vamos verificar se é verdade:
F ‘(x) = (- cos x) ´ = – (-sen x) = sin x
Portanto, podemos escrever:
∫sen x dx = -cos x + C
Além de conhecer as derivadas, existem algumas regras básicas e simples de integração para encontrar a integral antiderivada ou indefinida.
Seja k uma constante real, então:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Se uma função h (x) pode ser expressa como a soma ou subtração de duas funções, sua integral indefinida é:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Essa é a propriedade da linearidade.
A regra de poder para integrais pode ser estabelecida assim:
Para o caso de n = -1, a seguinte regra é usada:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
É fácil mostrar que a derivada de ln x é precisamente x -1 .
Equações diferenciais
Uma equação diferencial é aquela em que o desconhecido é encontrado como uma derivada.
Agora, a partir da análise anterior, é fácil ver que a operação inversa à derivada é a integral antiderivada ou indefinida.
Seja f (x) = y´ (x), isto é, a derivada de uma determinada função. Podemos usar a seguinte notação para indicar essa derivada:
Segue-se imediatamente que:
dy = f (x) dx
O desconhecido da equação diferencial é a função y (x), aquela cuja derivada é f (x). Para esclarecer, a expressão anterior é integrada nos dois lados, o que equivale à aplicação da antiderivada:
∫dy = ∫f (x) dx
A integral esquerda é resolvida usando a regra de integração 1, com k = 1, e assim o desconhecido desejado é limpo:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C
E como C é uma constante real, para saber qual é apropriado em cada caso, a instrução deve conter informações adicionais suficientes para calcular o valor de C. Isso é chamado de condição inicial .
Veremos exemplos de aplicação de tudo isso na próxima seção.
Exercícios antiderivados
– Exercício 1
Aplique as regras de integração para obter as seguintes antiderivadas ou integrais indefinidas das funções fornecidas, simplificando os resultados o máximo possível. É conveniente verificar o resultado por derivação .
Solução para
Aplicamos a regra 3 primeiro, já que o integrando é a soma de dois termos:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Para a primeira integral, a regra de potência se aplica:
∫ dx = (x 2 /2) + C 1
A regra 1 se aplica à segunda integral, onde k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
E agora os resultados são adicionados. As duas constantes são agrupadas em uma, genericamente chamada C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + C + 7x
Solução b
Para linearidade, essa integral é decomposta em três integrais mais simples, às quais a regra de potência será aplicada:
(X 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + 2x 2 dx + ∫6 dx =
Observe que para cada integral aparece uma constante de integração, mas elas se encontram em uma única chamada C.
Solução c
Nesse caso, é conveniente aplicar a propriedade distributiva da multiplicação para desenvolver o integrando. Em seguida, a regra de potência é usada para encontrar cada integral separadamente, como no exercício anterior.
(X + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x – 2) dx
O leitor atento observará que os dois termos centrais são semelhantes, portanto são reduzidos antes de integrar:
(X + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 – 2x + C
Solução e
Uma maneira de resolver a integral seria desenvolver o poder , como no exemplo d. No entanto, como o expoente é maior, seria conveniente fazer uma alteração na variável, para não ter que fazer um desenvolvimento tão longo.
A alteração da variável é a seguinte:
u = x + 7
Derivando esta expressão nos dois lados:
du = dx
A integral é transformada em uma mais simples com a nova variável, que é resolvida com a regra de potência:
(X + 7) 5 dx = 5 u 5 du = (1/6) u 6 + C
Finalmente, a alteração é retornada para retornar à variável original:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
– Exercício 2
Uma partícula está inicialmente em repouso e se move ao longo do eixo x. Sua aceleração para t> 0 é dada pela função a (t) = cos t. Sabe-se que em t = 0, a posição é x = 3, todas em unidades do Sistema Internacional. Somos solicitados a encontrar a velocidade v (t) e a posição x (t) da partícula.
Solução
Como a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, temos a seguinte equação diferencial:
a (t) = v´ (t) = cos t
Segue que:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
Por outro lado, sabemos que a velocidade é, por sua vez, a derivada da posição, portanto, integramos novamente:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sen t + C 1 ) dt = sensen t dt + 1C 1 dt = – cos t + C 1 t + C 2
As constantes de integração são determinadas a partir das informações fornecidas na declaração. Primeiro, ele diz que a partícula estava inicialmente em repouso, portanto v (0) = 0:
v (0) = sen 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Então temos que x (0) = 3:
x (0) = – cos 0 + C 1 0 + C 2 = – 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
As funções de velocidade e posição são definitivamente assim:
v (t) = sin t
x (t) = – cos t + 4
Referências
- Engler, A. 2019. Cálculo Integral. Universidade Nacional do Litoral.
- Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
- Textos Livres de Matemática. Antiderivados. Recuperado de: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Antiderivativo. Recuperado de: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Integração indefinida. Recuperado de: es.wikipedia.org.