As transformações isométricas são aquelas que preservam as distâncias e ângulos entre os pontos de um objeto. Neste contexto, a composição de transformações isométricas refere-se à combinação de duas ou mais transformações para obter uma nova transformação. Existem diferentes tipos de transformações isométricas, como reflexão, rotação e translação. Neste artigo, exploraremos esses tipos de transformações isométricas, discutiremos como elas podem ser compostas e apresentaremos exemplos para ilustrar esses conceitos.
Tipos de transformações isométricas: conheça as diferentes formas de movimentar figuras no plano.
As transformações isométricas são aquelas que preservam as distâncias e os ângulos entre os pontos de uma figura. Elas são muito utilizadas na geometria para movimentar figuras no plano sem alterar suas características. Existem diferentes tipos de transformações isométricas, cada uma com suas particularidades.
Um dos tipos mais comuns de transformação isométrica é a translação, que consiste em deslocar a figura em determinada direção, mantendo a mesma forma e tamanho. Outro tipo é a rotação, que consiste em girar a figura em torno de um ponto fixo. Já a reflexão é uma transformação que inverte a posição dos pontos da figura em relação a uma reta chamada eixo de reflexão.
Além desses tipos, também temos a glide-reflexão, que combina uma translação com uma reflexão, e a rotação-reflexão, que combina uma rotação com uma reflexão. Todas essas transformações isométricas são importantes ferramentas para estudar e analisar figuras geométricas no plano.
Para exemplificar, podemos citar um quadrado que sofre uma translação, mantendo seu formato e tamanho, apenas mudando de posição. Ou então um triângulo que sofre uma rotação em torno de um ponto, preservando seus ângulos e lados. Esses exemplos ilustram como as transformações isométricas são úteis para movimentar figuras sem alterar suas propriedades fundamentais.
Três isometrias essenciais para transformações geométricas em figuras planas.
As transformações isométricas são aquelas que preservam as distâncias entre os pontos de uma figura, ou seja, não alteram o tamanho, apenas a posição e a orientação. Três isometrias essenciais para transformações geométricas em figuras planas são a translação, a rotação e a reflexão.
A translação consiste em deslocar todos os pontos de uma figura em uma certa direção e distância, mantendo a mesma forma e tamanho. Por exemplo, se deslocarmos um triângulo para a direita, ele continuará sendo um triângulo, apenas estará em uma nova posição.
A rotação envolve girar a figura em torno de um ponto fixo, chamado de centro de rotação. A figura mantém o mesmo tamanho e forma, mas sua orientação é modificada. Por exemplo, se rotacionarmos um quadrado em 90 graus no sentido horário, ele se transformará em um losango.
A reflexão ocorre quando uma figura é espelhada em relação a uma reta, chamada de eixo de reflexão. Nesse caso, a figura resultante é uma imagem especular da figura original, mantendo-se igual em tamanho e forma, mas invertendo sua orientação. Por exemplo, se refletirmos um triângulo em relação à reta vertical, ele será espelhado do lado oposto.
Quais são exemplos de isometria na prática?
As transformações isométricas são aquelas que preservam as distâncias e os ângulos entre os pontos de uma figura. Isso significa que, ao aplicar uma isometria em uma figura, ela não muda de tamanho nem de forma, apenas é deslocada, girada ou refletida. Existem diferentes tipos de isometrias, como translação, rotação e reflexão.
Um exemplo comum de isometria na prática é a translação, que consiste em mover uma figura de forma paralela em relação a si mesma. Por exemplo, se deslocarmos um quadrado para a direita, mantendo a mesma distância entre os vértices, estaremos realizando uma translação. Outro exemplo é a rotação, onde giramos a figura em torno de um ponto fixo. Se girarmos um triângulo em 90 graus em sentido horário, estaremos aplicando uma rotação.
Além disso, a reflexão também é uma isometria comum. Nesse caso, a figura é espelhada em relação a uma reta, mantendo as distâncias entre os pontos. Por exemplo, se refletirmos um losango em relação a uma reta vertical, teremos uma nova figura simétrica em relação a essa reta.
Em resumo, as isometrias são transformações geométricas que preservam as propriedades da figura original, como distâncias e ângulos. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas, como design, arquitetura e engenharia, para realizar movimentos e modificações em figuras sem alterar suas características principais.
Significado e exemplos de formas isométricas na geometria tridimensional.
As formas isométricas na geometria tridimensional referem-se a figuras que possuem a mesma forma e tamanho, mas estão posicionadas de maneira diferente no espaço. Ou seja, essas figuras podem ser transformadas sem alterar suas dimensões, apenas movendo-as, girando-as ou refletindo-as.
Um exemplo comum de formas isométricas são os cubos. Mesmo que um cubo seja girado ou movido, ele ainda manterá suas dimensões originais, tornando-o uma forma isométrica. Outro exemplo são as pirâmides regulares, que também mantêm suas dimensões ao serem transformadas.
Essas formas isométricas são importantes na geometria tridimensional, pois nos permitem visualizar e compreender melhor a relação entre diferentes figuras. Além disso, as transformações isométricas são amplamente utilizadas em áreas como a arquitetura, design e engenharia, onde a precisão e a manutenção das dimensões são essenciais.
Em resumo, as formas isométricas na geometria tridimensional são figuras que mantêm suas dimensões originais mesmo após serem transformadas. Essas transformações isométricas são fundamentais para diversas aplicações práticas, tornando-as uma parte importante do estudo da geometria tridimensional.
Transformações isométricas: composição, tipos e exemplos
As transformações isométricas são mudanças de posição ou orientação de uma dada figura que não alteram a forma ou o tamanho deste. Essas transformações são classificadas em três tipos: translação, rotação e reflexão (isometria). Em geral, as transformações geométricas permitem que uma nova figura seja criada a partir de uma determinada.
Uma transformação em figura geométrica significa que, de alguma forma, foi sujeita a alguma mudança; isto é, foi alterado. De acordo com o sentido do original e similares no plano, as transformações geométricas podem ser classificadas em três tipos: isométrico, isomórfico e anamórfico.
Caracteristicas
As transformações isométricas ocorrem quando as magnitudes dos segmentos e os ângulos entre a figura original e a figura transformada são preservadas.
Nesse tipo de transformação, nem a forma nem o tamanho da figura são alterados (são congruentes), é apenas uma mudança em sua posição, seja na orientação ou na direção. Dessa forma, os números inicial e final serão semelhantes e geometricamente congruentes.
Isometria refere-se à igualdade; isto é, que as figuras geométricas serão isométricas se tiverem a mesma forma e tamanho.
Nas transformações isométricas, a única coisa que pode ser observada é uma mudança de posição no plano, um movimento rígido ocorre graças ao qual a figura passa de uma posição inicial para um fim. Essa figura é chamada homóloga (similar) da original.
Existem três tipos de movimentos que classificam uma transformação isométrica: translação, rotação e reflexão ou simetria.
Tipos
Por tradução
São aquelas isometrias que permitem mover em linha reta todos os pontos do plano em uma determinada direção e distância.
Quando uma figura é transformada pela translação, ela não muda sua orientação em relação à posição inicial, nem perde suas medidas internas, as medidas de seus ângulos e lados. Esse tipo de deslocamento é definido por três parâmetros:
– Uma direção, que pode ser horizontal, vertical ou oblíqua.
– Um sentido, que pode ser esquerdo, direito, para cima ou para baixo.
– Distância ou magnitude, que é o comprimento da posição inicial até o final de qualquer ponto que se move.
Para que uma transformação isométrica por conversão seja atendida, as seguintes condições devem ser atendidas:
– A figura deve sempre reter todas as suas dimensões, lineares e angulares.
– A figura não muda de posição em relação ao eixo horizontal; isto é, seu ângulo nunca varia.
– As traduções sempre serão resumidas em uma, independentemente do número de traduções feitas.
Em um plano em que o centro é um ponto O, com coordenadas (0,0), a translação é definida por um vetor T (a, b), que indica o deslocamento do ponto inicial. Quer dizer:
P (x, y) + T (a, b) = P ‘(x + a, y + b)
Por exemplo, se uma tradução T (-4, 7) for aplicada ao ponto de coordenada P (8, -2), você obtém:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P ‘[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P’ (4, 5)
Na imagem a seguir (esquerda), pode-se ver como o ponto C foi movido até coincidir com o D. Foi feito verticalmente, a direção foi para cima e a distância ou magnitude CD foi de 8 metros. Na imagem à direita, você pode ver a tradução de um triângulo:
Por rotação
São aquelas isometrias que permitem que a figura gire todos os pontos de um plano. Cada ponto gira seguindo um arco que possui um ângulo constante e um ponto fixo (centro de rotação).
Ou seja, toda rotação será definida por seu centro de rotação e ângulo de rotação. Quando uma figura é transformada por rotação, ela mantém a medida de seus ângulos e lados.
A rotação ocorre em uma determinada direção, é positiva quando a curva é no sentido anti-horário (anti-horário) e negativa quando a curva é no sentido horário.
Se um ponto (x, y) for girado em relação à origem – ou seja, seu centro de rotação é (0,0) -, em um ângulo de 90 ou 360 ou as coordenadas dos pontos serão:
No caso em que a rotação não tem um centro na origem, a origem do sistema de coordenadas deve ser transferida para a nova origem, a fim de girar a figura que tem a origem como centro.
Por exemplo, se uma rotação de 90 for aplicada ao ponto P (-5,2) ou , em torno da origem e em um sentido positivo, suas novas coordenadas serão (-2,5).
Por reflexão ou simetria
São essas transformações que invertem os pontos e figuras do avião. Essa inversão pode ser em relação a um ponto ou também em relação a uma linha.
Em outras palavras, nesse tipo de transformação, cada ponto da figura original é associado a outro ponto (imagem) da figura homóloga, de modo que o ponto e sua imagem estão à mesma distância de uma linha chamada eixo de simetria .
Assim, a parte esquerda da figura será um reflexo da parte direita, sem alterar sua forma ou dimensões. A simetria transforma uma figura em outra igual, mas na direção oposta, como pode ser visto na imagem a seguir:
A simetria está presente em muitos aspectos, como em algumas plantas (girassóis), animais (pavão) e fenômenos naturais (flocos de neve). O ser humano reflete no rosto, considerado um fator de beleza. Reflexão ou simetria podem ser de dois tipos:
Simetria central
É essa transformação que ocorre em relação a um ponto, no qual a figura pode mudar sua orientação. Cada ponto da figura original e sua imagem têm a mesma distância de um ponto O, chamado centro de simetria. A simetria é central quando:
– O ponto e sua imagem e centro pertencem à mesma linha.
– Com uma rotação de 180 ou centro O, é obtido um número igual ao original.
– Os traços da figura inicial são paralelos aos traços da figura formada.
– O significado da figura não muda, sempre será no sentido horário.
Essa transformação ocorre em relação ao eixo de simetria, onde cada ponto da figura inicial está associado a outro ponto da imagem e estes estão à mesma distância do eixo de simetria. A simetria é axial quando:
– O segmento que une um ponto à sua imagem é perpendicular ao seu eixo de simetria.
– Os números mudam de direção em relação à direção de giro ou no sentido horário.
– Ao dividir a figura com uma linha central (eixo de simetria), uma das metades resultantes coincide completamente com outra das metades.
Composição:
Uma composição de transformações isométricas refere-se à aplicação sucessiva de transformações isométricas na mesma figura.
Composição de uma tradução
A composição de duas traduções resulta em outra tradução. Quando feitas no plano, no eixo horizontal (x) apenas as coordenadas desse eixo são alteradas, enquanto as coordenadas do eixo vertical (y) permanecem as mesmas e vice-versa.
Composição de uma rotação
A composição de duas voltas com o mesmo centro resulta em outra volta, que tem o mesmo centro e cuja amplitude será a soma das amplitudes das duas voltas.
Se o centro das voltas tiver um centro diferente, o corte da mediatriz de dois segmentos de pontos semelhantes será o centro de rotação.
Composição de uma simetria
Nesse caso, a composição dependerá de como é aplicada:
– Se a mesma simetria for aplicada duas vezes, o resultado será uma identidade.
– Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos paralelos, o resultado será uma translação e seu deslocamento será duas vezes a distância desses eixos:
– Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos cortados no ponto O (centro), será obtida uma rotação com o centro em O e seu ângulo será duas vezes o ângulo formado pelos eixos:
Referências
- V. Burgués, JF (1988). Materiais para construir geometria. Madri: Síntese.
- Cesar Calavera, IJ (2013). Desenho Técnico II. Paraninfo SA: Edições da torre.
- Coxeter, H. (1971). Fundamentos de geometria. México: Limusa-Wiley.
- Coxford, A. (1971). Geometria Uma Abordagem de Transformação. EUA: Irmãos Laidlaw.
- Liliana Siñeriz, RS (2005). Indução e formalização no ensino de transformações rígidas no ambiente CABRI.
- , PJ (1996). O grupo de isometria plana. Madri: Síntese.
- Suárez, AC (2010). Transformações no avião. Gurabo, Porto Rico: AMCT.