Teorema de Bolzano: Explicação, Aplicações e Exercícios

O teorema Bolzano afirma que se uma função é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado [a, b] e mantém a imagem de “um”, “b” (função de baixo) e têm sinais opostos, então existe para pelo menos um ponto “c” no intervalo aberto (a, b), de modo que a função avaliada em “c” seja igual a 0.

Esse teorema foi enunciado pelo filósofo, teólogo e matemático Bernard Bolzano em 1850. Este cientista, nascido na atual República Tcheca, foi um dos primeiros matemáticos da história a fazer uma demonstração formal das propriedades das funções contínuas.

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Explicação

O teorema de Bolzano também é conhecido como teorema do valor intermediário, que ajuda na determinação de valores específicos, particularmente zeros, de certas funções reais de uma variável real.

Em uma dada função, f (x) continua – isto é, que f (a) ef (b) são conectados por uma curva – onde f (a) está abaixo do eixo x (é negativo) ef (b) por acima do eixo x (é positivo), ou vice-versa, graficamente, haverá um ponto de corte no eixo x que representará um valor intermediário «c», que estará entre «a» e «b» e o valor de f (c) Será igual a 0.

Ao analisar graficamente o teorema de Bolzano, pode-se saber que, para qualquer função contínua f definida em um intervalo [a, b], onde f (a) * f (b) é menor que 0, haverá pelo menos uma raiz «c »Dessa função dentro do intervalo (a, b).

Este teorema não estabelece o número de pontos nesse intervalo aberto, apenas afirma que há pelo menos 1 ponto.

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Demonstração

Para provar o teorema de Bolzano, assume-se sem perda de generalidade que f (a) <0 ef (b)> 0; Dessa forma, pode haver muitos valores entre “a” e “b” para os quais f (x) = 0, mas você só precisa provar que existe um.

Você começa avaliando f no ponto médio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0, o teste termina aqui; caso contrário, então f ((a + b) / 2) é positivo ou negativo.

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Uma das metades do intervalo [a, b] é escolhida, de modo que os sinais da função avaliada nas extremidades sejam diferentes. Este novo intervalo será [a1, b1].

Agora, se f avaliado no ponto médio de [a1, b1] não for zero, a mesma operação anterior será executada; isto é, metade desse intervalo é escolhido e atende à condição dos sinais. Deixe este novo intervalo [a2, b2].

Se esse processo continuar, haverá duas seqüências {an} e {bn}, como:

{an} está aumentando e {bn} está diminuindo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤… ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se você calcular a duração de cada intervalo [ai, bi], terá que:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Portanto, o limite quando n tende ao infinito de (bn-an) é igual a 0.

O uso de {an} está aumentando e delimitando e {bn} diminuindo e delimitando, deve haver um valor “c” tal que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

O limite de um é “c” e o limite de {bn} também é “c”. Portanto, dado qualquer δ> 0, sempre existe um “n” tal que o intervalo [an, bn] esteja contido no intervalo (c-δ, c + δ).

Agora, deve ser mostrado que f (c) = 0.

Se f (c)> 0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é positivo ao longo do intervalo (c – ε, c + ε). No entanto, como afirmado acima, existe um valor “n” tal que f muda de sinal em [an, bn] e, além disso, [an, bn] está contido em (c – ε, c + ε), o que O que é uma contradição.

Se f (c) <0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é negativo ao longo do intervalo (c – ε, c + ε); mas existe um valor “n” tal que f muda de entrada [an, bn]. Acontece que [an, bn] está contido em (c – ε, c + ε), o que também é uma contradição.

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Portanto, f (c) = 0 e é isso que queríamos demonstrar.

Para que serve?

A partir de sua interpretação gráfica, o teorema de Bolzano é usado para encontrar raízes ou zeros em uma função contínua, através da bissecção (aproximação), que é um método de busca incremental que sempre divide os intervalos em 2.

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Então, um intervalo [a, c] ou [c, b] é obtido onde a mudança de sinal ocorre e o processo é repetido até que o intervalo seja cada vez menor, a fim de se aproximar do valor desejado; ou seja, no valor que a função executa 0.

Em resumo, para aplicar o teorema de Bolzano e, assim, encontrar as raízes, restringir os zeros de uma função ou resolver uma equação, são executadas as seguintes etapas:

– Verifica se f é uma função contínua no intervalo [a, b].

– Se o intervalo não for fornecido, deve-se encontrar onde a função é contínua.

– Verifica-se se os extremos do intervalo apresentam sinais opostos quando avaliados em f.

– Se sinais opostos não forem obtidos, o intervalo deve ser dividido em duas subintervalos usando o ponto médio.

– Avalie a função no ponto médio e verifique se a hipótese de Bolzano foi cumprida, onde f (a) * f (b) <0.

– Dependendo do sinal (positivo ou negativo) do valor encontrado, o processo é repetido com um novo sub-intervalo até que a hipótese mencionada seja cumprida.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine se a função f (x) = x 2 – 2 tem pelo menos uma solução real no intervalo [1,2].

Solução

Você tem a função f (x) = x 2 – 2. Como é polinomial, significa que é contínua em qualquer intervalo.

Você é solicitado a determinar se você tem uma solução real no intervalo [1, 2], então agora você só precisa substituir as extremidades do intervalo na função para conhecer o sinal desses e saber se eles atendem à condição de serem diferentes:

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f (x) = x 2 – 2

f (1) = 1 2 – 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2 2 – 2 = 2 (positivo)

Portanto, assine f (1) ≠ assine f (2).

Isso garante que haja pelo menos um ponto “c” que pertença ao intervalo [1,2], no qual f (c) = 0.

Nesse caso, o valor de “c” pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

x 2 – 2 = 0

x = ± √2.

Assim, √2 ≈ 1,4 pertence ao intervalo [1,2] e preenche que f (√2) = 0.

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Exercício 2

Prove que a equação x 5 + x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Solução

Primeiro, observe que f (x) = x 5 + x + 1 é uma função polinomial, o que significa que é contínua em todos os números reais.

Nesse caso, nenhum intervalo é fornecido; portanto, intuitivamente, de preferência próximo a 0, os valores devem ser escolhidos para avaliar a função e encontrar as alterações do sinal:

Se o intervalo [0, 1] for usado, você deverá:

f (x) = x 5 + x + 1.

f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.

Como não há alteração de sinal, o processo é repetido com outro intervalo.

Se o intervalo [-1, 0] for usado, você deverá:

f (x) = x 5 + x + 1.

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.

Nesse intervalo, há uma mudança de sinal: sinal de f (-1) ≠ sinal de f (0), o que significa que a função f (x) = x 5 + x + 1 tem pelo menos uma raiz real “c” no intervalo [-1, 0], de modo que f (c) = 0. Em outras palavras, é verdade que x 5 + x + 1 = 0 tem uma solução real no intervalo [-1,0].

Referências

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