Trinomial quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios

Trinomial quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial de três termos, dois dos quais quadrados perfeitos e o restante é o produto duplo das raízes quadradas dos dois primeiros. Algebricamente, é expresso da seguinte maneira:

a 2 ± 2ab + b 2

Como identificar um trinômio quadrado perfeito?

O símbolo ± indica que o sinal do termo pode ser positivo ou negativo. Para identificar um trinômio quadrado perfeito, as seguintes etapas são seguidas:

-Identifique os termos que são quadrados perfeitos: a 2 eb 2 , ou seja, são respectivamente aa e bb

-Obtenha as raízes quadradas destes termos: aeb

-Verifique se o termo restante do trinômio é o produto duplo das duas raízes: 2ab

Exemplo

Vamos ver com um exemplo específico. Vamos examinar o trinômio x 2 + 10x + 25 e seguir as etapas descritas:

-Os quadrados perfeitos deste trinômio são x 2 e 25.

-As respectivas raízes quadradas são xy 5.

-O termo restante é: 10x = 2.5.x

Portanto, o trinômio é um quadrado perfeito.

Agora vamos investigar esse outro trinômio: 4a 2 – 8a + 9:

-Os quadrados perfeitos são 4a 2 e 9.

-Extrair as raízes quadradas de ambos fornece respectivamente 2a e 3. Observe que no termo 4a 2 é necessário extrair também a raiz quadrada do coeficiente numérico.

-O duplo produto das duas raízes é construído: 2. 2a. 3 = 12a e verifica-se que não é igual a 8a. Conclui-se que o trinômio proposto não é um quadrado perfeito.

Exemplos

O procedimento descrito pode ser aplicado a vários tipos de trinomial. Os exemplos anteriores estavam se referindo a trinômios em uma variável, “x” ou “a”, mas podemos usá-lo para verificar se outros trinômios com mais letras são quadrados perfeitos.

Se houver mais de uma letra, verifique se dois dos termos são quadrados perfeitos nas duas letras, ou seja, eles têm raízes quadradas exatas. Então você deve verificar se o termo restante é o produto duplo dessas duas raízes quadradas.

Vejamos alguns exemplos de trinômios quadrados perfeitos variados:

a) 16 + 40x 2 + 25x 4

b) 49x 4 e 2 + 14x 2 y + 1

c) 16x 6 – 2x 3 e 2 + (y 4 /16)

d) (m – n) 2 + 6 (mn) + 9

e) 25 + x 2 e 2 + 10xy

Verifica

Vamos verificar se os trinômios mostrados atendem às condições necessárias para serem trinômios quadrados perfeitos:

a) Os quadrados perfeitos são 16 e 25x 4 , cujas raízes respectivas são 4 e 5x 2 . Por seu lado, o termo central é: 2. 4. 5x 2 = 40x 2 .

b) Neste exemplo, existem duas letras no primeiro termo, mas é rapidamente verificado que 49x 4 e 2 e 1 são quadrados perfeitos de 7x 2 e 1, respectivamente. O termo central é 2,7x 2 e 0,1 = 14x 2

c) Este contém duas letras trinómio: 16x 6 é o quadrado de 4x 3 , e y 4 /16 é quadrado e 2 /4. O outro termo é 2. 4x 3 . (e 2 /4) = 2x 3 e 2

d) Existem dois quadrados perfeitos aqui e não importa se um deles vem entre parênteses: (m – n) 2 e 9, eles são (mn) e 3 nessa ordem. O produto duplo de ambos é 2.3 (Mn) = 6 (m – n), confirmando que é um trinomial quadrado perfeito.

e) Os dois primeiros termos são 25 yx 2 y 2 , que são quadrados de 5 e xy. O último termo é 2. 5. xy = 10xy.

A partir dos exemplos propostos, segue-se que a ordem dos termos não altera o fato de ser um trinomial quadrado perfeito.

Normalmente, os termos quadrados perfeitos vão para as extremidades e o produto cruzado ou duplo das raízes fica no meio, mas não há problema em encomendar diferente do trinomial.

Além disso, deve-se enfatizar que o termo cruzado deve sempre ser verificado, para garantir que ele seja realmente um trinômio quadrado perfeito. Se o termo cruzado não é o produto duplo das raízes, o trinômio não cumpre essa denominação.

Fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Às vezes, é preferível expressar o trinomial como um produto de dois ou mais fatores. Esse procedimento é chamado fatoração e não se aplica apenas a trinômios, mas a várias expressões algébricas.

Acontece que um trinômio quadrado perfeito pode ser expresso como o quadrado de um binômio ou como o produto de dois binômios idênticos. Em outras palavras:

a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2

Se o sinal positivo for usado, o termo à direita é a soma de um binômio ao quadrado:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

E ao usar o sinal negativo, teremos o quadrado do binômio da subtração:

a 2 + 2ab + b 2 = (a – b) 2

Aplicando a propriedade distributiva ao binômio (a ± b) 2 , podemos verificar que, de fato, o desenvolvimento corresponde ao de um trinômio quadrado perfeito. Por exemplo:

(a + b) 2 = (a + b). (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2

Como os dois termos centrais são iguais (a ordem dos fatores não altera o produto), conclui-se que:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. A área de um quadrado é o seu quadrado ao lado, que é (a + b), portanto:

Área = (a + b) 2

E a área do quadrado é a soma dos quadrados rosa e azul, além dos dois retângulos roxos. Eles representam a soma deduzida um pouco acima.

Do mesmo modo, o exposto acima é verificado no caso de o sinal ser negativo, somente agora o referido sinal acompanha o termo central:

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

Régua para fatorar trinômios quadrados perfeitos

As respectivas raízes quadradas são extraídas e separadas de acordo com o sinal que possui o termo restante. O binômio assim formado é elevado ao quadrado e a fatoração está pronta.

Exemplo de fatoração

Vamos fatorar o trinomial dado como um exemplo no início. O trabalho está quase pronto, porque conhecemos as raízes e já verificamos que é um trinômio quadrado perfeito, portanto:

x 2 + 10x + 25 = (X + 5) 2

Exercícios

Verifique se os seguintes trinômios são trinômios quadrados perfeitos. Se sim, considere-os.

a) a 8 + 18a 4 + 81

b) 9y 2 – 30x 2 y + 25x 2

c) 36 + 16n 2 + n 4

Solução

a) Primeiro procuramos termos que possam ser quadrados perfeitos e descartamos imediatamente 18a 4, pois 18 não é um quadrado perfeito. Mas 8 e 81 são quadrados perfeitos de 4 e 9, resta apenas verificar se 18a 4 é o produto duplo desses dois: 2. a 4 . 9 = 18a 4 .

Finalmente, a fatoração procurada é 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9) 2 .

b) Os quadrados perfeitos são 9y 2 e 25x 4 , cujas raízes quadradas são respectivamente: 3y e 5x 2 . É corroborado que 2. 5x 2 .3y = 30x 2 .

Esse trinômio é fatorado como:

9y 2 – 30x 2 y + 25x 4 = (3y – 5x 2 ) 2

c) Os três termos deste trinômio são quadrados perfeitos de outro:

36 = 6 2

16n 2 = (4n) 2

n 4 = (n 2 ) 2

Mas não é possível obtê-las por meio do duplo produto das raízes das demais. Portanto, não é um trinômio quadrado perfeito.

Referências

  1. Baldor, A. 1974. Álgebra. Cultural Venezolana SA
  2. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Méndez, A. 2009. Matemáticas I. Editorial Santillana.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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