Trinomial quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios

Um trinomial quadrado perfeito é uma expressão algébrica composta por três termos que pode ser fatorada como o quadrado de um binômio. Identificar um trinomial quadrado perfeito pode facilitar a resolução de equações e simplificação de expressões. Neste artigo, vamos explicar como identificar um trinomial quadrado perfeito, apresentar alguns exemplos e propor exercícios para praticar o seu reconhecimento e fatoração.

Identificando trinômios quadrados perfeitos através das características específicas presentes na expressão polinomial.

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial que pode ser fatorada como o quadrado de um binômio. Para identificar um trinômio quadrado perfeito, é importante observar algumas características específicas presentes na expressão.

Uma das principais características de um trinômio quadrado perfeito é que ele possui três termos, sendo que o primeiro e o último termo são quadrados de monômios e o termo do meio é o dobro do produto desses dois monômios. Em outras palavras, um trinômio quadrado perfeito segue o padrão (a + b)² = a² + 2ab + b².

Para exemplificar, vamos analisar o trinômio x² + 6x + 9. Podemos observar que o primeiro termo é o quadrado de x (x²), o último termo é o quadrado de 3 (9) e o termo do meio é o dobro do produto de x e 3 (2 * x * 3 = 6x). Portanto, o trinômio x² + 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito.

Para praticar a identificação de trinômios quadrados perfeitos, vamos resolver um exercício. Analise o trinômio y² – 10y + 25 e verifique se ele é um trinômio quadrado perfeito.

Ao analisar o trinômio y² – 10y + 25, podemos observar que o primeiro termo é o quadrado de y (y²), o último termo é o quadrado de 5 (25) e o termo do meio é o dobro do produto de y e 5 (2 * y * 5 = 10y). Portanto, o trinômio y² – 10y + 25 também é um trinômio quadrado perfeito.

Entendendo os Trinômios quadrados perfeitos através de um exemplo prático.

Os trinômios quadrados perfeitos são expressões algébricas que podem ser fatoradas de maneira simples, pois seguem um padrão específico. Para identificá-los, é importante observar se o trinômio segue a forma (a + b)² ou (a – b)².

Um exemplo prático de trinômio quadrado perfeito é x² + 6x + 9. Para identificar se esse trinômio é um quadrado perfeito, podemos calcular o valor de b² e verificar se ele é igual ao termo do meio elevado ao quadrado. Neste caso, temos 6² = 36, que é igual a 9, o que confirma que o trinômio é um quadrado perfeito.

Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, basta aplicar a fórmula do quadrado da soma ou do quadrado da diferença, conforme o caso. No exemplo citado, podemos fatorar x² + 6x + 9 como (x + 3)².

Exercícios:

1) Fatorar o trinômio y² – 10y + 25.

2) Identificar se o trinômio 4x² + 12x + 9 é um quadrado perfeito.

Praticando a identificação e fatoração de trinômios quadrados perfeitos, é possível desenvolver habilidades importantes em álgebra, facilitando a resolução de problemas mais complexos.

Como encontrar trinômio de quadrado perfeito através de uma fórmula simples.

Para identificar um trinômio quadrado perfeito, é importante conhecer a fórmula que representa esse tipo de polinômio. Um trinômio quadrado perfeito é aquele que pode ser escrito na forma (a + b)² = a² + 2ab + b², onde a e b são números reais. Para encontrar um trinômio de quadrado perfeito, basta observar se os termos do polinômio seguem essa fórmula.

Por exemplo, se tivermos o trinômio x² + 6x + 9, podemos identificá-lo como um quadrado perfeito, pois ele pode ser escrito na forma (x + 3)² = x² + 2(3)(x) + 3² = x² + 6x + 9. Neste caso, a = x e b = 3.

Para praticar a identificação de trinômios quadrados perfeitos, vamos resolver um exercício: identifique se o trinômio y² – 10y + 25 é um quadrado perfeito. Aplicando a fórmula, temos que (y – 5)² = y² – 2(5)(y) + 5² = y² – 10y + 25. Portanto, o trinômio dado é um quadrado perfeito.

Dicas para reconhecer um trinômio e suas características distintivas em expressões matemáticas.

Um trinômio é uma expressão matemática que consiste em três termos. Para reconhecer um trinômio, é importante observar a quantidade de termos presentes na expressão. Além disso, é fundamental estar atento às características distintivas que podem indicar a presença de um trinômio.

Uma das características mais comuns de um trinômio é a presença de três termos separados por sinais de adição ou subtração. Por exemplo, na expressão 2x² + 5x – 3, temos três termos claramente identificados. Outra característica a ser observada é a presença de variáveis elevadas a potências diferentes, o que também pode indicar a presença de um trinômio.

Um trinômio quadrado perfeito é um tipo especial de trinômio que pode ser identificado pela sua forma específica. Para reconhecê-lo, basta observar se os dois primeiros termos são quadrados de binômios. Por exemplo, na expressão x² + 4x + 4, os termos x² e 4 são quadrados de x e 2, respectivamente, o que indica que se trata de um trinômio quadrado perfeito.

Para praticar a identificação de trinômios quadrados perfeitos, é útil resolver alguns exercícios. Por exemplo, identifique se as seguintes expressões são trinômios quadrados perfeitos: a) x² + 6x + 9, b) 4y² – 4y + 1, c) 2x² – 5x + 2. Após identificar os trinômios quadrados perfeitos, é possível expandi-los para obter o quadrado do binômio correspondente e verificar se os resultados são iguais.

Trinomial quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial de três termos, dois dos quais quadrados perfeitos e o restante é o produto duplo das raízes quadradas dos dois primeiros. Algebricamente, é expresso da seguinte maneira:

a ² ± 2ab + b ²

Como identificar um trinômio quadrado perfeito?

O símbolo ± indica que o sinal do termo pode ser positivo ou negativo. Para identificar um trinômio quadrado perfeito, as seguintes etapas são seguidas:

-Identifique os termos que são quadrados perfeitos: a ² eb ² , ou seja, são respectivamente aa e bb

-Obtenha as raízes quadradas destes termos: aeb

-Verifique se o termo restante do trinômio é o produto duplo das duas raízes: 2ab

Exemplo

Vamos ver com um exemplo específico. Vamos examinar o trinômio x ² + 10x + 25 e seguir as etapas descritas:

-Os quadrados perfeitos deste trinômio são x ² e 25.

-As respectivas raízes quadradas são xy 5.

-O termo restante é: 10x = 2.5.x

Portanto, o trinômio é um quadrado perfeito.

Agora vamos investigar esse outro trinômio: 4a ² – 8a + 9:

-Os quadrados perfeitos são 4a ² e 9.

-Extrair as raízes quadradas de ambos fornece respectivamente 2a e 3. Observe que no termo 4a ² é necessário extrair também a raiz quadrada do coeficiente numérico.

-O duplo produto das duas raízes é construído: 2. 2a. 3 = 12a e verifica-se que não é igual a 8a. Conclui-se que o trinômio proposto não é um quadrado perfeito.

Exemplos

O procedimento descrito pode ser aplicado a vários tipos de trinomial. Os exemplos anteriores estavam se referindo a trinômios em uma variável, “x” ou “a”, mas podemos usá-lo para verificar se outros trinômios com mais letras são quadrados perfeitos.

Se houver mais de uma letra, verifique se dois dos termos são quadrados perfeitos nas duas letras, ou seja, eles têm raízes quadradas exatas. Então você deve verificar se o termo restante é o produto duplo dessas duas raízes quadradas.

Vejamos alguns exemplos de trinômios quadrados perfeitos variados:

a) 16 + 40x ² + 25x ⁴

b) 49x ⁴ e ² + 14x ² y + 1

c) 16x ⁶ – 2x ³ e ² + (y ⁴ /16)

d) (m – n) ² + 6 (mn) + 9

e) 25 + x ² e ² + 10xy

Verifica

Vamos verificar se os trinômios mostrados atendem às condições necessárias para serem trinômios quadrados perfeitos:

a) Os quadrados perfeitos são 16 e 25x ⁴ , cujas raízes respectivas são 4 e 5x ² . Por seu lado, o termo central é: 2. 4. 5x ² = 40x ² .

b) Neste exemplo, existem duas letras no primeiro termo, mas é rapidamente verificado que 49x ⁴ e ² e 1 são quadrados perfeitos de 7x ² e 1, respectivamente. O termo central é 2,7x ² e 0,1 = 14x ²

c) Este contém duas letras trinómio: 16x ⁶ é o quadrado de 4x ³ , e y ⁴ /16 é quadrado e ² /4. O outro termo é 2. 4x ³ . (e ² /4) = 2x ³ e ²

d) Existem dois quadrados perfeitos aqui e não importa se um deles vem entre parênteses: (m – n) ² e 9, eles são (mn) e 3 nessa ordem. O produto duplo de ambos é 2.3 (Mn) = 6 (m – n), confirmando que é um trinomial quadrado perfeito.

e) Os dois primeiros termos são 25 yx ² y ² , que são quadrados de 5 e xy. O último termo é 2. 5. xy = 10xy.

A partir dos exemplos propostos, segue-se que a ordem dos termos não altera o fato de ser um trinomial quadrado perfeito.

Normalmente, os termos quadrados perfeitos vão para as extremidades e o produto cruzado ou duplo das raízes fica no meio, mas não há problema em encomendar diferente do trinomial.

Além disso, deve-se enfatizar que o termo cruzado deve sempre ser verificado, para garantir que ele seja realmente um trinômio quadrado perfeito. Se o termo cruzado não é o produto duplo das raízes, o trinômio não cumpre essa denominação.

Fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Às vezes, é preferível expressar o trinomial como um produto de dois ou mais fatores. Esse procedimento é chamado fatoração e não se aplica apenas a trinômios, mas a várias expressões algébricas.

Acontece que um trinômio quadrado perfeito pode ser expresso como o quadrado de um binômio ou como o produto de dois binômios idênticos. Em outras palavras:

a ² ± 2ab + b ² = (a ± b) ²

Se o sinal positivo for usado, o termo à direita é a soma de um binômio ao quadrado:

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

E ao usar o sinal negativo, teremos o quadrado do binômio da subtração:

a ² + 2ab + b ² = (a – b) ²

Aplicando a propriedade distributiva ao binômio (a ± b) ² , podemos verificar que, de fato, o desenvolvimento corresponde ao de um trinômio quadrado perfeito. Por exemplo:

(a + b) ² = (a + b). (a + b) = a ² + ab + ba + b ²

Como os dois termos centrais são iguais (a ordem dos fatores não altera o produto), conclui-se que:

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. A área de um quadrado é o seu quadrado ao lado, que é (a + b), portanto:

Área = (a + b) ²

E a área do quadrado é a soma dos quadrados rosa e azul, além dos dois retângulos roxos. Eles representam a soma deduzida um pouco acima.

Do mesmo modo, o exposto acima é verificado no caso de o sinal ser negativo, somente agora o referido sinal acompanha o termo central:

(a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

Régua para fatorar trinômios quadrados perfeitos

As respectivas raízes quadradas são extraídas e separadas de acordo com o sinal que possui o termo restante. O binômio assim formado é elevado ao quadrado e a fatoração está pronta.

Exemplo de fatoração

Vamos fatorar o trinomial dado como um exemplo no início. O trabalho está quase pronto, porque conhecemos as raízes e já verificamos que é um trinômio quadrado perfeito, portanto:

x ² + 10x + 25 = (X + 5) ²

Exercícios

Verifique se os seguintes trinômios são trinômios quadrados perfeitos. Se sim, considere-os.

a) a ⁸ + 18a ⁴ + 81

b) 9y ² – 30x ² y + 25x ²

c) 36 + 16n ² + n ⁴

Solução

a) Primeiro procuramos termos que possam ser quadrados perfeitos e descartamos imediatamente 18a ^4, pois 18 não é um quadrado perfeito. Mas ⁸ e 81 são quadrados perfeitos de ⁴ e 9, resta apenas verificar se 18a ⁴ é o produto duplo desses dois: 2. a ⁴ . 9 = 18a ⁴ .

Finalmente, a fatoração procurada é ⁸ + 18a ⁴ + 81 = (a ⁴ + 9) ² .

b) Os quadrados perfeitos são 9y ² e 25x ⁴ , cujas raízes quadradas são respectivamente: 3y e 5x ² . É corroborado que 2. 5x ² .3y = 30x ² .

Esse trinômio é fatorado como:

9y ² – 30x ² y + 25x ⁴ = (3y – 5x ² ) ²

c) Os três termos deste trinômio são quadrados perfeitos de outro:

36 = 6 ²

16n ² = (4n) ²

n ⁴ = (n ² ) ²

Mas não é possível obtê-las por meio do duplo produto das raízes das demais. Portanto, não é um trinômio quadrado perfeito.

Referências

1. Baldor, A. 1974. Álgebra. Cultural Venezolana SA
2. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Méndez, A. 2009. Matemáticas I. Editorial Santillana.
5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.