Os analíticas geometria estudos linhas e formas geométricas por aplicação de técnicas de álgebra de base e análise matemática num determinado sistema de coordenadas.
Consequentemente, a geometria analítica é um ramo da matemática que analisa detalhadamente todos os dados das figuras geométricas, ou seja, volume, ângulos, área, pontos de interseção, distâncias, entre outros.
A característica fundamental da geometria analítica é que ela permite a representação de figuras geométricas através de fórmulas.
Por exemplo, as circunferências são representadas por equações polinomiais de segundo grau, enquanto as retas são expressas com equações polinomiais de primeiro grau.
A geometria analítica surge no século XVII devido à necessidade de responder a problemas que até agora não tinham solução. Ele tinha como principais representantes René Descartes e Pierre de Fermat.
Atualmente, muitos autores apontam para ele como uma criação revolucionária na história da matemática, pois representa o início da matemática moderna.
História da geometria analítica
O termo geometria analítica surge na França no século XVII, devido à necessidade de responder a problemas que não podiam ser resolvidos usando álgebra e geometria isoladamente, mas a solução estava no uso combinado de ambos.
Principais representantes da geometria analítica
Durante o século XVII, dois franceses por acaso realizaram pesquisas que, de uma maneira ou de outra, terminaram na criação da geometria analítica. Essas pessoas eram Pierre de Fermat e René Descartes.
Atualmente, considera-se que o criador da geometria analítica foi René Descartes. Isso porque ele publicou seu livro antes de Fermat e também em profundidade com Descartes aborda a questão da geometria analítica.
No entanto, Fermat e Descartes descobriram que as linhas e figuras geométricas poderiam ser expressas por equações e as equações poderiam ser expressas como linhas ou figuras geométricas.
De acordo com as descobertas feitas pelos dois, pode-se dizer que ambos são os criadores da geometria analítica.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat era um matemático francês, nascido em 1601 e falecido em 1665. Durante sua vida, estudou a geometria de Euclides, Apolônio e Pappus, a fim de resolver os problemas de medição existentes na época.
Mais tarde, esses estudos desencadearam a criação da geometria. Eles acabaram sendo expressos em seu livro ” Introdução a lugares planos e sólidos ” (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), publicado 14 anos após sua morte em 1679.
Pierre de Fermat aplicou em 1623 a geometria analítica aos teoremas de Apolônio nos lugares geométricos. Foi também quem primeiro aplicou a geometria analítica ao espaço tridimensional.
René Descartes
Também conhecido como Cartesius era um matemático, físico e filósofo que nasceu em 31 de março de 1596 na França e morreu em 1650.
René Descartes publicou em 1637 seu livro ” Discurso sobre o método de dirigir corretamente a razão e buscar a verdade na ciência “, mais conhecido como ” O método “, e a partir daí o termo geometria analítica foi introduzido no mundo. Um de seus apêndices era “Geometria”.
Elementos fundamentais da geometria analítica
A geometria analítica é composta pelos seguintes elementos:
O sistema de coordenadas cartesianas
Este sistema é nomeado em homenagem a René Descartes.
Não foi ele quem o nomeou, nem completou o sistema de coordenadas cartesianas, mas foi ele quem falou das coordenadas com números positivos, permitindo que futuros estudiosos o completassem.
Este sistema é composto pelo sistema de coordenadas retangulares e pelo sistema de coordenadas polares.
Sistemas de coordenadas retangulares
O plano formado pelo desenho de duas linhas numéricas perpendiculares entre si é chamado de sistema de coordenadas retangulares, onde o ponto de corte coincide com o zero comum.
Então este sistema seria formado por uma linha horizontal e uma vertical.
A linha horizontal é o eixo do X ou o eixo da abcissa. A linha vertical seria o eixo do Y ou o eixo das ordenadas.
Sistema de Coordenadas Polar
Este sistema é responsável por verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma linha fixa e a um ponto fixo na linha.
Equação da linha cartesiana
Esta equação é obtida a partir de uma reta quando dois pontos são conhecidos por onde passa.
Linha reta
É aquele que não se desvia e, portanto, não tem curvas nem ângulos.
Cônicos
São as curvas definidas pelas linhas que passam por um ponto fixo e pelos pontos de uma curva.
A elipse, a circunferência, a parábola e a hipérbole são curvas cônicas. Cada um deles é descrito abaixo.
Circunferência
A curva plana fechada é chamada de círculo, formado por todos os pontos no plano que são equidistantes de um ponto interior, ou seja, do centro do círculo.
Parábola
É o local geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma linha fixa (diretriz). Portanto, a orientação e o foco são o que define a parábola.
A parábola pode ser obtida como uma seção de uma superfície cônica de revolução por um plano paralelo a uma geratriz.
Elipse
A elipse é chamada de curva fechada que descreve um ponto ao se mover em um plano, de modo que a soma de suas distâncias para dois (2) pontos fixos (chamados focos) seja constante.
Hipérbole
A curva definida como o local geométrico dos pontos do plano é chamada hipérbole, para a qual a diferença entre as distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante.
A hipérbole tem um eixo de simetria que passa pelos focos, chamado eixo focal. Ele também tem outro que é a mediatriz do segmento que tem pontos fixos nos extremos.
Aplicações
Existem diversas aplicações da geometria analítica em diferentes áreas da vida cotidiana. Por exemplo, podemos encontrar a parábola, um dos elementos fundamentais da geometria analítica, em muitas das ferramentas usadas hoje em dia. Algumas dessas ferramentas são as seguintes:
Antena parabólica
As antenas parabólicas têm um refletor gerado como resultado de uma parábola que gira no eixo da referida antena. A superfície gerada como resultado dessa ação é denominada parabolóide.
Essa capacidade do parabolóide é chamada de propriedade óptica ou propriedade de reflexão de uma parábola e, graças a isso, é possível que o parabolóide reflita as ondas eletromagnéticas que recebe do mecanismo de energia que compõe a antena.
Pontes suspensas
Quando uma corda suporta um peso homogêneo, mas, ao mesmo tempo, é consideravelmente maior que o peso da própria corda, o resultado será uma parábola.
Esse princípio é fundamental para a construção de pontes suspensas, que geralmente são suportadas por grandes estruturas de cabos de aço.
O princípio da parábola em pontes suspensas tem sido usado em estruturas como a Ponte Golden Gate, localizada na cidade de São Francisco, nos Estados Unidos, ou a Ponte do Grande Estreito de Akashi, localizada no Japão e que liga a Ilha de Awaji com Honshū, a principal ilha daquele país.
Análise astronômica
A geometria analítica também teve usos muito específicos e determinantes no campo da astronomia. Nesse caso, o elemento da geometria analítica que ocupa o centro do palco é a elipse; A lei do movimento dos planetas de Johannes Kepler reflete isso.
Kepler, um matemático e astrônomo alemão, determinou que a elipse era a curva que melhor se adequava ao movimento de Marte; Ele já havia experimentado o modelo circular proposto por Copérnico, mas, no meio de seus experimentos, deduziu que a elipse era usada para desenhar uma órbita perfeitamente semelhante à do planeta que ele estava estudando.
Graças à elipse, Kepler pôde afirmar que os planetas se moviam em órbitas elípticas; essa consideração foi a afirmação da chamada segunda lei de Kepler.
A partir dessa descoberta, posteriormente enriquecida pelo físico e matemático inglês Isaac Newton, foi possível estudar os movimentos orbitacionais dos planetas e aumentar o conhecimento que tínhamos sobre o universo do qual fazemos parte.
Telescópio Cassegrain
O telescópio Cassegrain recebeu o nome de seu inventor, o físico nascido na França Laurent Cassegrain. Neste telescópio, os princípios da geometria analítica são usados porque é composto principalmente por dois espelhos: o primeiro é côncavo e parabólico, e o segundo é caracterizado por ser convexo e hiperbólico.
A localização e a natureza desses espelhos permitem que o defeito conhecido como aberração esférica não ocorra; Esse defeito evita que os raios de luz sejam refletidos no foco de uma lente.
O telescópio Cassegrain é muito útil para observação planetária, além de ser bastante versátil e fácil de manusear.
Referências
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de britannica.com
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de encyclopediafmath.org
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de khancademy.org
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de wikipedia.org
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de whitman.edu
- Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de stewartcalculus.com
- Geometria analítica plana Recuperado em 20 de outubro de 2017