Geometria analítica: quais estudos, história, aplicações

Os analíticas geometria estudos linhas e formas geométricas por aplicação de técnicas de álgebra de base e análise matemática num determinado sistema de coordenadas.

Consequentemente, a geometria analítica é um ramo da matemática que analisa detalhadamente todos os dados das figuras geométricas, ou seja, volume, ângulos, área, pontos de interseção, distâncias, entre outros.

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A característica fundamental da geometria analítica é que ela permite a representação de figuras geométricas através de fórmulas.

Por exemplo, as circunferências são representadas por equações polinomiais de segundo grau, enquanto as retas são expressas com equações polinomiais de primeiro grau.

A geometria analítica surge no século XVII devido à necessidade de responder a problemas que até agora não tinham solução. Ele tinha como principais representantes René Descartes e Pierre de Fermat.

Atualmente, muitos autores apontam para ele como uma criação revolucionária na história da matemática, pois representa o início da matemática moderna.

História da geometria analítica

O termo geometria analítica surge na França no século XVII, devido à necessidade de responder a problemas que não podiam ser resolvidos usando álgebra e geometria isoladamente, mas a solução estava no uso combinado de ambos.

Principais representantes da geometria analítica

Durante o século XVII, dois franceses por acaso realizaram pesquisas que, de uma maneira ou de outra, terminaram na criação da geometria analítica. Essas pessoas eram Pierre de Fermat e René Descartes.

Atualmente, considera-se que o criador da geometria analítica foi René Descartes. Isso porque ele publicou seu livro antes de Fermat e também em profundidade com Descartes aborda a questão da geometria analítica.

No entanto, Fermat e Descartes descobriram que as linhas e figuras geométricas poderiam ser expressas por equações e as equações poderiam ser expressas como linhas ou figuras geométricas.

De acordo com as descobertas feitas pelos dois, pode-se dizer que ambos são os criadores da geometria analítica.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat era um matemático francês, nascido em 1601 e falecido em 1665. Durante sua vida, estudou a geometria de Euclides, Apolônio e Pappus, a fim de resolver os problemas de medição existentes na época.

Mais tarde, esses estudos desencadearam a criação da geometria. Eles acabaram sendo expressos em seu livro ” Introdução a lugares planos e sólidos ” (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), publicado 14 anos após sua morte em 1679.

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Pierre de Fermat aplicou em 1623 a geometria analítica aos teoremas de Apolônio nos lugares geométricos. Foi também quem primeiro aplicou a geometria analítica ao espaço tridimensional.

René Descartes

Também conhecido como Cartesius era um matemático, físico e filósofo que nasceu em 31 de março de 1596 na França e morreu em 1650.

René Descartes publicou em 1637 seu livro ” Discurso sobre o método de dirigir corretamente a razão e buscar a verdade na ciência “, mais conhecido como ” O método “, e a partir daí o termo geometria analítica foi introduzido no mundo. Um de seus apêndices era “Geometria”.

Elementos fundamentais da geometria analítica

A geometria analítica é composta pelos seguintes elementos:

O sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema é nomeado em homenagem a René Descartes.

Não foi ele quem o nomeou, nem completou o sistema de coordenadas cartesianas, mas foi ele quem falou das coordenadas com números positivos, permitindo que futuros estudiosos o completassem.

Este sistema é composto pelo sistema de coordenadas retangulares e pelo sistema de coordenadas polares.

Sistemas de coordenadas retangulares

O plano formado pelo desenho de duas linhas numéricas perpendiculares entre si é chamado de sistema de coordenadas retangulares, onde o ponto de corte coincide com o zero comum.

Então este sistema seria formado por uma linha horizontal e uma vertical.

A linha horizontal é o eixo do X ou o eixo da abcissa. A linha vertical seria o eixo do Y ou o eixo das ordenadas.

Sistema de Coordenadas Polar

Este sistema é responsável por verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma linha fixa e a um ponto fixo na linha.

Equação da linha cartesiana

Esta equação é obtida a partir de uma reta quando dois pontos são conhecidos por onde passa.

Linha reta

É aquele que não se desvia e, portanto, não tem curvas nem ângulos.

Cônicos

São as curvas definidas pelas linhas que passam por um ponto fixo e pelos pontos de uma curva.

A elipse, a circunferência, a parábola e a hipérbole são curvas cônicas. Cada um deles é descrito abaixo.

Circunferência

A curva plana fechada é chamada de círculo, formado por todos os pontos no plano que são equidistantes de um ponto interior, ou seja, do centro do círculo.

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Parábola

É o local geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma linha fixa (diretriz). Portanto, a orientação e o foco são o que define a parábola.

A parábola pode ser obtida como uma seção de uma superfície cônica de revolução por um plano paralelo a uma geratriz.

Elipse

A elipse é chamada de curva fechada que descreve um ponto ao se mover em um plano, de modo que a soma de suas distâncias para dois (2) pontos fixos (chamados focos) seja constante.

Hipérbole

A curva definida como o local geométrico dos pontos do plano é chamada hipérbole, para a qual a diferença entre as distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante.

A hipérbole tem um eixo de simetria que passa pelos focos, chamado eixo focal. Ele também tem outro que é a mediatriz do segmento que tem pontos fixos nos extremos.

Aplicações

Existem diversas aplicações da geometria analítica em diferentes áreas da vida cotidiana. Por exemplo, podemos encontrar a parábola, um dos elementos fundamentais da geometria analítica, em muitas das ferramentas usadas hoje em dia. Algumas dessas ferramentas são as seguintes:

Antena parabólica

As antenas parabólicas têm um refletor gerado como resultado de uma parábola que gira no eixo da referida antena. A superfície gerada como resultado dessa ação é denominada parabolóide.

Essa capacidade do parabolóide é chamada de propriedade óptica ou propriedade de reflexão de uma parábola e, graças a isso, é possível que o parabolóide reflita as ondas eletromagnéticas que recebe do mecanismo de energia que compõe a antena.

Pontes suspensas

Quando uma corda suporta um peso homogêneo, mas, ao mesmo tempo, é consideravelmente maior que o peso da própria corda, o resultado será uma parábola.

Esse princípio é fundamental para a construção de pontes suspensas, que geralmente são suportadas por grandes estruturas de cabos de aço.

O princípio da parábola em pontes suspensas tem sido usado em estruturas como a Ponte Golden Gate, localizada na cidade de São Francisco, nos Estados Unidos, ou a Ponte do Grande Estreito de Akashi, localizada no Japão e que liga a Ilha de Awaji com Honshū, a principal ilha daquele país.

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Análise astronômica

A geometria analítica também teve usos muito específicos e determinantes no campo da astronomia. Nesse caso, o elemento da geometria analítica que ocupa o centro do palco é a elipse; A lei do movimento dos planetas de Johannes Kepler reflete isso.

Kepler, um matemático e astrônomo alemão, determinou que a elipse era a curva que melhor se adequava ao movimento de Marte; Ele já havia experimentado o modelo circular proposto por Copérnico, mas, no meio de seus experimentos, deduziu que a elipse era usada para desenhar uma órbita perfeitamente semelhante à do planeta que ele estava estudando.

Graças à elipse, Kepler pôde afirmar que os planetas se moviam em órbitas elípticas; essa consideração foi a afirmação da chamada segunda lei de Kepler.

A partir dessa descoberta, posteriormente enriquecida pelo físico e matemático inglês Isaac Newton, foi possível estudar os movimentos orbitacionais dos planetas e aumentar o conhecimento que tínhamos sobre o universo do qual fazemos parte.

Telescópio Cassegrain

O telescópio Cassegrain recebeu o nome de seu inventor, o físico nascido na França Laurent Cassegrain. Neste telescópio, os princípios da geometria analítica são usados ​​porque é composto principalmente por dois espelhos: o primeiro é côncavo e parabólico, e o segundo é caracterizado por ser convexo e hiperbólico.

A localização e a natureza desses espelhos permitem que o defeito conhecido como aberração esférica não ocorra; Esse defeito evita que os raios de luz sejam refletidos no foco de uma lente.

O telescópio Cassegrain é muito útil para observação planetária, além de ser bastante versátil e fácil de manusear.

Referências

  1. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de britannica.com
  2. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de encyclopediafmath.org
  3. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de khancademy.org
  4. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de wikipedia.org
  5. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de whitman.edu
  6. Geometria analítica Recuperado em 20 de outubro de 2017, de stewartcalculus.com
  7. Geometria analítica plana Recuperado em 20 de outubro de 2017

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