Ângulo inscrito de uma circunferência: definição, teoremas, exemplos

Ângulo inscrito de uma circunferência: definição, teoremas, exemplos

O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice no círculo e seus raios são secantes ou tangentes a ele. Como conseqüência, o ângulo inscrito será sempre convexo ou plano.

Na figura 1 estão representados vários ângulos inscritos em suas respectivas circunferências. O ângulo ∠EDF é inscrito tendo seu vértice D na circunferência e seus dois raios [DE) e [DF) secantes na circunferência. 

Da mesma forma, o ângulo GHGI está inscrito, uma vez que possui seu vértice na circunferência e seus lados secantes.

Os ângulos JKJR e ∠UST também são inscritos na circunferência. O primeiro deles tem um lado secante e o outro tangente, enquanto o segundo tem seus dois lados tangentes à circunferência, formando um ângulo inscrito no plano (180º).

Alguns autores chamam o ângulo semi-inscrito de um dos lados tangente à circunferência, mas neste artigo é considerado inscrito.

Todo ângulo inscrito define ou subtende um arco associado a ele. Por exemplo, na figura 2, o ângulo inscrito ∠ABC subtende o arco A⌒C de comprimento d.

A mesma figura mostra o ângulo EDOE, que não está inscrito na circunferência porque não possui seu vértice na circunferência, mas no centro O.

Ângulo central

Além do ângulo inscrito, o ângulo central pode ser definido em um círculo , que é o ângulo cujo vértice está no centro do círculo e cujos lados cruzam o círculo.

A medida radiana de um ângulo central é o quociente entre o arco subendente, ou seja, o arco da circunferência entre os lados do ângulo e o raio da circunferência.

Se a circunferência é a unidade (de raio 1), o comprimento do arco nas mesmas unidades de raio é a medida do ângulo em radianos.

E quando a medida do ângulo em graus é necessária, então a medida em radianos é multiplicada pelo fator 180º / π.

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Os instrumentos de medição de ângulo sempre usam um ângulo central e o comprimento do arco subtendido por ele é calibrado diretamente em graus. Isso significa que sempre que um ângulo é medido, o que é medido na parte inferior é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central.

Teoremas

– Teorema 1 (ângulo inscrito e ângulo central)

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central, se ambos os ângulos subtenderem o mesmo arco .

Dois ângulos ∠ABC e ∠AOC são mostrados na Figura 4, cruzando o mesmo arco de circunferência A⌒C.

Se a medida do ângulo inscrito é α, então a medida β do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito (β = 2 α) porque ambos subtendam o mesmo arco de medição d.

Demonstração 1a

Para provar o teorema 1, começaremos mostrando vários casos particulares, até chegarmos ao caso geral.

Suponha um ângulo inscrito, no qual um de seus lados passe pelo centro da circunferência, como mostra a figura 5.

Nesse caso, o triângulo isósceles COB é formado, uma vez que [OC] = [OB].

Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais; portanto, temos que ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado, BCOB = 180º – β.

Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:

α + α + (180º – β) = 180º

A partir do qual se segue que 2 α = β, ou o que é equivalente: α = β / 2. Isso coincide com o que o Teorema 1 afirma: a medida do ângulo inscrito é metade do ângulo central, se ambos os ângulos subtenderem o mesmo acorde [AC].

Demonstração 1b

Nesse caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC, no qual o centro O da circunferência está dentro do ângulo.

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Para provar o Teorema 1 nesse caso, desenhamos o raio auxiliar [BO], de modo que tenhamos dois ângulos inscritos ∠ABO e ∠OBC adjacentes ao referido raio.

Da mesma forma, existem os ângulos centrais p 1 e β 2  adjacente ao referido raio. Assim, temos a mesma situação que mostra 1a, de modo que pode ser dito que α 2 = β 2 /2 e ct 1 = β 1 /2. Como α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2 têm, portanto, que α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2

Em conclusão α = β / 2, que está de acordo com o teorema 1.

– Teorema 2

Se dois ou mais ângulos inscritos legendam o mesmo arco, eles têm a mesma medida.

– Teorema 3

Os ângulos inscritos que subtendem cadeias de caracteres da mesma medida são iguais .

Exemplos

– Exemplo 1

Mostre que o ângulo inscrito que subtende o diâmetro é um ângulo reto.

Solução

O ângulo central ∠AOB associado ao diâmetro é um ângulo plano, cuja medida é 180º.

De acordo com o teorema 1, todo ângulo inscrito na circunferência que o mesmo cabo subtende (neste caso, o diâmetro), tem como medida a metade do ângulo central que o mesmo cabo subtende, que para o nosso exemplo é 180º / 2 = 90º.

– exemplo 2

A linha (BC) tangente em A à circunferência C determina o ângulo inscrito ∠BAC (veja a figura 10).

Verifique se o teorema 1 dos ângulos inscritos é cumprido.

Solução

O ângulo ∠BAC é inscrito porque seu vértice está na circunferência, e seus lados [AB) e [AC) são tangentes à circunferência, portanto, a definição do ângulo inscrito é cumprida.

Por outro lado, o ângulo inscrito ∠BAC subtende o arco A⌒A, que é a circunferência completa. O ângulo central que subtende o arco A⌒A é um ângulo convexo cuja medida é o ângulo completo (360º).

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O ângulo inscrito que subtende todo o arco mede metade do ângulo central associado, ou seja, ACBAC = 360º / 2 = 180º.

Com todas as opções acima, verifica-se que este caso em particular está em conformidade com o teorema 1.

Referências

  1. Baldor. (1973). Geometria e trigonometria. Editora Cultural Centro-Americana.
  2. EA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  3. Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es/
  4. Toda a ciência. Exercícios propostos de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
  5. Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com

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