Um ângulo inscrito de uma circunferência é um ângulo cujo vértice está localizado sobre a circunferência e cujos lados são cordas da mesma. Esses ângulos possuem propriedades interessantes que podem ser exploradas através de diversos teoremas.
Alguns dos teoremas mais importantes relacionados aos ângulos inscritos incluem o teorema do ângulo inscrito, que afirma que um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade do ângulo central correspondente, e o teorema da tangente, que afirma que um ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco de uma corda é igual ao ângulo formado pela corda e pela tangente à circunferência no ponto de interseção.
Para melhor compreensão, vamos analisar alguns exemplos práticos de aplicação desses teoremas em problemas geométricos envolvendo ângulos inscritos em circunferências.
Quais são os diferentes ângulos formados em uma circunferência?
Em uma circunferência, existem diversos ângulos que podem ser formados. Um dos ângulos mais importantes é o ângulo inscrito. O ângulo inscrito é aquele cujo vértice está localizado sobre a circunferência e seus lados intersectam a circunferência em dois pontos distintos. Este ângulo é metade do arco que ele intercepta.
Existem diversos teoremas relacionados aos ângulos inscritos em uma circunferência. Um dos teoremas mais importantes é o Teorema do Ângulo Inscrito, que afirma que um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco que ele intercepta. Este teorema é muito útil para resolver problemas envolvendo ângulos inscritos em uma circunferência.
Para ilustrar melhor, vejamos um exemplo: se um arco em uma circunferência mede 120 graus, então o ângulo inscrito correspondente será de 60 graus. Isso ocorre porque o ângulo inscrito é sempre a metade do arco que ele intercepta.
Ao compreender o teorema do ângulo inscrito e praticar com exemplos, é possível resolver facilmente problemas envolvendo ângulos inscritos em uma circunferência.
Descubra a fórmula para calcular o ângulo inscrito em uma circunferência.
O ângulo inscrito em uma circunferência é definido como o ângulo formado por dois raios que partem do centro da circunferência e interceptam a mesma em dois pontos distintos. Para calcular o ângulo inscrito em uma circunferência, utilizamos a fórmula:
Ângulo inscrito = 2 * Ângulo central
Onde o ângulo central é o ângulo formado por dois raios que partem do centro da circunferência e interceptam a mesma em dois pontos distintos. Este teorema é fundamental para resolver problemas relacionados a circunferências, como encontrar ângulos em figuras geométricas ou em problemas de trigonometria.
Por exemplo, se o ângulo central de uma circunferência medir 60 graus, então o ângulo inscrito será:
Ângulo inscrito = 2 * 60 = 120 graus
Assim, podemos calcular facilmente o ângulo inscrito em uma circunferência a partir do ângulo central. Esta fórmula é útil em diversas aplicações da matemática e da geometria, facilitando o cálculo de ângulos em circunferências.
Conhecendo os 5 elementos essenciais para descrever uma circunferência de forma completa.
Para descrever uma circunferência de forma completa, é necessário conhecer os cinco elementos essenciais que a caracterizam. Esses elementos são o raio, o diâmetro, o centro, a corda e o ângulo inscrito.
O raio é a distância do centro da circunferência até qualquer ponto da sua circunferência. O diâmetro é o dobro do raio e passa pelo centro da circunferência. O centro é o ponto central da circunferência, de onde partem todas as medidas. A corda é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. E o ângulo inscrito é o ângulo formado por dois arcos de circunferência que têm um vértice na circunferência.
O ângulo inscrito de uma circunferência é a medida do ângulo formado por dois arcos que têm um vértice na circunferência. Esse tipo de ângulo é muito utilizado em problemas de geometria e trigonometria, pois está relacionado com diversas propriedades das circunferências.
Existem diversos teoremas que envolvem o ângulo inscrito em uma circunferência. Um dos mais conhecidos é o teorema do ângulo inscrito, que afirma que a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco correspondente.
Por exemplo, se um arco de circunferência mede 120 graus, então o ângulo inscrito correspondente terá 60 graus. Esse teorema é muito útil para resolver problemas envolvendo ângulos inscritos em circunferências.
Portanto, conhecer os cinco elementos essenciais para descrever uma circunferência de forma completa, incluindo o ângulo inscrito, é fundamental para compreender e resolver questões de geometria que envolvam circunferências.
Relação entre ângulo inscrito e ângulo central em circunferência: qual a conexão?
Os ângulos inscritos em uma circunferência estão diretamente relacionados aos ângulos centrais que têm o mesmo arco correspondente. Essa relação é fundamental para a compreensão da geometria da circunferência e é regida por diversos teoremas importantes.
Um ângulo inscrito é aquele cujo vértice está sobre a circunferência e cujos lados são cordas da mesma. Já o ângulo central é aquele que tem o vértice no centro da circunferência e cujos lados são radii da mesma. A conexão entre esses dois tipos de ângulos se dá pelo fato de que o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito que tem o mesmo arco correspondente.
Essa relação pode ser formalizada por diversos teoremas, como o Teorema do Ângulo Inscrito e o Teorema do Ângulo Central. O primeiro estabelece que um ângulo inscrito em uma circunferência é a metade do ângulo central que tem o mesmo arco correspondente. Já o segundo teorema afirma que a soma de um ângulo inscrito e um ângulo central que têm o mesmo arco correspondente é sempre igual a 180 graus.
Para ilustrar essa relação, podemos considerar um exemplo simples: se temos um ângulo inscrito de 60 graus em uma circunferência, o ângulo central correspondente será de 120 graus. Isso ocorre porque o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito.
Essa conexão permite estabelecer propriedades e teoremas importantes que facilitam a resolução de problemas envolvendo circunferências e ângulos.
Ângulo inscrito de uma circunferência: definição, teoremas, exemplos
O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice no círculo e seus raios são secantes ou tangentes a ele. Como conseqüência, o ângulo inscrito será sempre convexo ou plano.
Na figura 1 estão representados vários ângulos inscritos em suas respectivas circunferências. O ângulo ∠EDF é inscrito tendo seu vértice D na circunferência e seus dois raios [DE) e [DF) secantes na circunferência.
Da mesma forma, o ângulo GHGI está inscrito, uma vez que possui seu vértice na circunferência e seus lados secantes.
Os ângulos JKJR e ∠UST também são inscritos na circunferência. O primeiro deles tem um lado secante e o outro tangente, enquanto o segundo tem seus dois lados tangentes à circunferência, formando um ângulo inscrito no plano (180º).
Alguns autores chamam o ângulo semi-inscrito de um dos lados tangente à circunferência, mas neste artigo é considerado inscrito.
Todo ângulo inscrito define ou subtende um arco associado a ele. Por exemplo, na figura 2, o ângulo inscrito ∠ABC subtende o arco A⌒C de comprimento d.
A mesma figura mostra o ângulo EDOE, que não está inscrito na circunferência porque não possui seu vértice na circunferência, mas no centro O.
Ângulo central
Além do ângulo inscrito, o ângulo central pode ser definido em um círculo , que é o ângulo cujo vértice está no centro do círculo e cujos lados cruzam o círculo.
A medida radiana de um ângulo central é o quociente entre o arco subendente, ou seja, o arco da circunferência entre os lados do ângulo e o raio da circunferência.
Se a circunferência é a unidade (de raio 1), o comprimento do arco nas mesmas unidades de raio é a medida do ângulo em radianos.
E quando a medida do ângulo em graus é necessária, então a medida em radianos é multiplicada pelo fator 180º / π.
Os instrumentos de medição de ângulo sempre usam um ângulo central e o comprimento do arco subtendido por ele é calibrado diretamente em graus. Isso significa que sempre que um ângulo é medido, o que é medido na parte inferior é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central.
Teoremas
– Teorema 1 (ângulo inscrito e ângulo central)
A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central, se ambos os ângulos subtenderem o mesmo arco .
Dois ângulos ∠ABC e ∠AOC são mostrados na Figura 4, cruzando o mesmo arco de circunferência A⌒C.
Se a medida do ângulo inscrito é α, então a medida β do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito (β = 2 α) porque ambos subtendam o mesmo arco de medição d.
Demonstração 1a
Para provar o teorema 1, começaremos mostrando vários casos particulares, até chegarmos ao caso geral.
Suponha um ângulo inscrito, no qual um de seus lados passe pelo centro da circunferência, como mostra a figura 5.
Nesse caso, o triângulo isósceles COB é formado, uma vez que [OC] = [OB].
Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais; portanto, temos que ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado, BCOB = 180º – β.
Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:
α + α + (180º – β) = 180º
A partir do qual se segue que 2 α = β, ou o que é equivalente: α = β / 2. Isso coincide com o que o Teorema 1 afirma: a medida do ângulo inscrito é metade do ângulo central, se ambos os ângulos subtenderem o mesmo acorde [AC].
Demonstração 1b
Nesse caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC, no qual o centro O da circunferência está dentro do ângulo.
Para provar o Teorema 1 nesse caso, desenhamos o raio auxiliar [BO], de modo que tenhamos dois ângulos inscritos ∠ABO e ∠OBC adjacentes ao referido raio.
Da mesma forma, existem os ângulos centrais p 1 e β 2 adjacente ao referido raio. Assim, temos a mesma situação que mostra 1a, de modo que pode ser dito que α 2 = β 2 /2 e ct 1 = β 1 /2. Como α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2 têm, portanto, que α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2
Em conclusão α = β / 2, que está de acordo com o teorema 1.
– Teorema 2
Se dois ou mais ângulos inscritos legendam o mesmo arco, eles têm a mesma medida.
– Teorema 3
Os ângulos inscritos que subtendem cadeias de caracteres da mesma medida são iguais .
Exemplos
– Exemplo 1
Mostre que o ângulo inscrito que subtende o diâmetro é um ângulo reto.
Solução
O ângulo central ∠AOB associado ao diâmetro é um ângulo plano, cuja medida é 180º.
De acordo com o teorema 1, todo ângulo inscrito na circunferência que o mesmo cabo subtende (neste caso, o diâmetro), tem como medida a metade do ângulo central que o mesmo cabo subtende, que para o nosso exemplo é 180º / 2 = 90º.
– exemplo 2
A linha (BC) tangente em A à circunferência C determina o ângulo inscrito ∠BAC (veja a figura 10).
Verifique se o teorema 1 dos ângulos inscritos é cumprido.
Solução
O ângulo ∠BAC é inscrito porque seu vértice está na circunferência, e seus lados [AB) e [AC) são tangentes à circunferência, portanto, a definição do ângulo inscrito é cumprida.
Por outro lado, o ângulo inscrito ∠BAC subtende o arco A⌒A, que é a circunferência completa. O ângulo central que subtende o arco A⌒A é um ângulo convexo cuja medida é o ângulo completo (360º).
O ângulo inscrito que subtende todo o arco mede metade do ângulo central associado, ou seja, ACBAC = 360º / 2 = 180º.
Com todas as opções acima, verifica-se que este caso em particular está em conformidade com o teorema 1.
Referências
- Baldor. (1973). Geometria e trigonometria. Editora Cultural Centro-Americana.
- EA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
- Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es/
- Toda a ciência. Exercícios propostos de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com