Trapézio isósceles: propriedades, relações e fórmulas, exemplos

Trapézio isósceles: propriedades, relações e fórmulas, exemplos

Um trapézio isósceles  é um quadrilátero em que dois dos lados são paralelos um ao outro e, além disso,  os dois ângulos adjacentes a um desses lados paralelos têm a mesma medida.

Na Figura 1 temos o ABCD quadrilateral, no qual os lados AD e BC são paralelos. Além disso, os ângulos ∠DAB e ∠ADC adjacentes ao lado paralelo AD têm a mesma medida α. 

Portanto, esse polígono quadrilátero, ou quatro lados, é, na verdade, um trapézio isósceles.

Em um trapézio, os lados paralelos são chamados de bases e os não paralelos são chamados de lados . Outra característica importante é a altura , que é a distância que separa os lados paralelos.

Além do trapézio isósceles, existem outros tipos de trapézio:

-T escalene rappe, que tem todos os seus ângulos e lados diferentes.

-T Rapez em ângulo reto, em que uma lateral tem ângulos retos adjacentes.

A forma trapezoidal é predominante em vários campos do design, arquitetura, eletrônica, cálculo e muito mais, como será visto mais adiante. Daí a importância de se familiarizar com suas propriedades.

Propriedades

Exclusivos trapézios isósceles

Se um trapézio é isósceles, ele cumpre as seguintes propriedades características:

1.- Os lados têm o mesmo tamanho.

2.- Os ângulos adjacentes às bases são os mesmos.

3.- Ângulos opostos são complementares.

4.- As diagonais têm o mesmo comprimento, sendo iguais os dois segmentos que unem os vértices opostos.

5.- O ângulo formado entre as bases e as diagonais são todos da mesma medida.

6.- Possui circunferência circunscrita.

Por outro lado, se um trapézio atender a alguma das propriedades acima, ele será um trapézio isósceles.

Se em um trapézio isósceles um dos ângulos estiver reto (90º), todos os outros ângulos também estarão, formando um retângulo. Em outras palavras, um retângulo é um caso particular de trapézio isósceles.

Para todos os trapézios

O seguinte conjunto de propriedades é válido para qualquer trapézio:

7.- A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralela a qualquer uma das bases.

8.- O comprimento da mediana é igual à meia soma (soma dividida por 2) da de suas bases.

9.- A mediana de um trapézio corta suas diagonais no ponto médio.

10.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções proporcionais aos quocientes das bases.

11.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o produto duplo de suas bases.

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12.- O segmento que une os pontos médios das diagonais tem um comprimento igual à semidiferença das bases.

13.- Os ângulos adjacentes às laterais são complementares.

14.- Um trapézio tem uma circunferência inscrita se e somente se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

15.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então os ângulos com vértice no centro da referida circunferência e os lados que passam pelas extremidades da mesma lateral são ângulos retos.

Relacionamentos e fórmulas

O conjunto de relações e fórmulas a seguir é referido na figura 3, onde, além do trapézio isósceles, outros segmentos importantes já mencionados são mostrados, como diagonais, altura e mediana.

Relações exclusivas do trapézio isósceles

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA e ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + CDBCD = 180º e ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = CA

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α 1

6.- A, B, C e D pertencem à circunferência circunscrita.

Relações para qualquer trapézio

  1. Se AK = KB e DL = LC ⇒ KL || AD e KL || BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 e DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC e DO / OB = AD / BC

11.- CA 2 + DB 2 = AB 2 + CC 2 + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD – BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º e ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Se AD + BC = AB + DC ⇒ R equidistante de AD, BC, AB e DC

15.- Se ∃ R equidistante de AD, BC, AB e DC, então:

RABRA = ∡DRC = 90º

Relações para o trapézio isósceles com circunferência inscrita

Se em um trapézio isósceles a soma das bases é igual a duas vezes por lateral, então a circunferência inscrita existe.

As seguintes propriedades se aplicam quando o trapézio isósceles tem uma circunferência inscrita (veja a figura 4 acima):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- As diagonais são cortadas em ângulos retos: AC ⊥ BD

18.- A altura mede a mesma mediana: HF = KL, ou seja, h = m.

19.- O quadrado da altura é igual ao produto das bases: h 2 = BC⋅AD

20.- Nestas condições específicas, a área do trapézio é igual ao quadrado da altura ou do produto das bases: Área = h 2 = BC⋅AD.

Fórmulas para determinar um lado, o outro conhecido e um ângulo

Conhecida uma base, a lateral e um ângulo, a outra base pode ser determinada por:

a = b + 2c Cos α

b = a – 2c Cos α

Se o comprimento das bases e um ângulo são dados como dados conhecidos, então os comprimentos de ambos os lados são:

c = (a – b) / (2 Cos α)

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Determinação de um lado, conhecido dos outros e uma diagonal

a = (d 1 2 – c 2 ) / b;

b = (d 1 2 – c 2 ) / a 

c = √ (d 1 2 – a⋅b)

Onde d é o comprimento das diagonais.

Base de altura, área e outra base

a = (2 A) / h – b

b = (2 A) / h – a

Bases, área e ângulo conhecidos laterais

c = (2A) / [(a + b) sen α]

Mediana, área e ângulo conhecidos laterais

c = A / (m.sen α)

Lados conhecidos em altura

h = √ [4 c 2 – (a – b) 2 ]

Altura conhecida um ângulo e dois lados

h = tg α⋅ (a – b) / 2 = c. sin α

Diagonais conhecidas por todos os lados, ou dois lados e um ângulo

d 1 = √ (c 2 + ab)

d 1 = √ (a 2 + c 2 – 2 ac Cos α)

d 1 = √ (b 2 + c 2 – 2 bc Cos β)

Perímetro do triângulo isósceles 

P = a + b + 2c

Área de trapézio de Isósceles

Existem várias fórmulas para calcular a área, dependendo dos dados conhecidos. O seguinte é o mais conhecido,  dependendo das bases e da altura:

A = h⋅ (a + b) / 2

E você também pode usar estes outros:

-Se os lados são conhecidos

A = [(a + b) / 4] √ [4c 2 – (a – b) 2 ]

-Quando você tem dois lados e um ângulo

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a – c Cos α) c Sen α

-Se o raio da circunferência inscrita e um ângulo são conhecidos

A = 4 r 2 / Sen α = 4 r 2 / Sen β

-Quando as bases e um ângulo são conhecidos

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β 

-Se o trapézio puder ser inscrito em uma circunferência

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Conheça as diagonais e o ângulo que elas formam entre si

A = (D 1 2 /2) = γ Sen (d 1 2 /2) Ô Sen 

-Quando você tem a lateral, a mediana e um ângulo

A = mc.sen α = mc.sen β

Raio da circunferência circunscrita

Apenas os trapézios isósceles têm uma circunferência circunscrita. Se a base principal a, a lateral c e a diagonal d 1 forem conhecidas , o raio R da circunferência que passa pelos quatro vértices do trapézio é:

R = a⋅c⋅d 1 / 4√ [p (p-a) (p-c) (p – d 1 )]

Onde p = (a + c + d 1 ) / 2

Exemplos de uso do trapézio isósceles

O trapézio isósceles aparece no campo de design, como pode ser visto na figura 2. E aqui estão alguns exemplos adicionais:

Em arquitetura e construção

Os antigos incas conheciam o trapézio isósceles e o usavam como elemento de construção nesta janela de Cuzco, Peru:

E aqui o trapézio aparece novamente na chamada chapa trapezoidal , um material frequentemente usado na construção:

Em design

Já vimos que o trapézio isósceles aparece em objetos do cotidiano, incluindo alimentos como esta barra de chocolate:

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Um trapézio isósceles tem uma base maior que 9 cm, uma base menor que 3 cm e suas diagonais 8 cm cada. Calcular:

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a) Laterais

b) Altura

c) Perímetro

d) Área

Solução para

A altura CP = h é plotada, em que o pé da altura define os segmentos:

PD = x = (ab) / 2 anos 

AP = a – x = a – a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DPC:

c 2 = H 2 + (a – b) 2 /4

E também para o triângulo retângulo da APC:

d 2 = H 2 + AP 2 = H 2 + (a + b) 2  /4

Finalmente, a segunda equação é subtraída de membro para membro da primeira e é simplificada:

d 2 – c 2 = ¼ [(a + b) 2 – (ab) 2 ] = ¼ [(a + b + ab) (a + b-a + b)]

d 2 – c 2 = ¼ [2a 2b] = ab

c 2 = d 2 – ab ⇒ c = √ (d 2 – ab) = √ (8 2 – 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Solução b

h 2 = D 2 – (a + b) 2 /4 = 8 2 – (12 2 /2 ) = 8 2 – 6 2 = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Solução c

Perímetro = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Solução d

Área = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

– Exercício 2

Existe um trapézio isósceles cuja base maior é duas vezes menor e sua base menor é igual à altura, que é de 6 cm. Decidir:

a) O comprimento da lateral

b) Perímetro

c) Área

d) Ângulos

Solução para

Dados: a = 12, b = a / 2 = 6 eh = b = 6

Isso é feito: a altura h é plotada e o teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo da hipotenusa “c” e às pernas:

c 2 = h 2 + xc 2

Então devemos calcular o valor da altura a partir dos dados (h = b) e o da perna x: 

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Substituindo as expressões anteriores, temos:

c 2 = b 2 + (AB) 2 /2 2

Agora os valores numéricos são inseridos e simplificados:

c 2 = 6 2 + (6,12) 2 /4

c 2 = 6 2 (1 + ¼) = 6 2 (5/4)

Obtenção:

c = 3√5 = 6,71 cm

Solução b

O perímetro P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solução c

A área baseada na altura e comprimento das bases é:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm 2

Solução d

O ângulo α que forma a lateral com a base maior é obtido por trigonometria:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

O outro ângulo, aquele que forma a lateral com a base menor é β, que é complementar a α:

β = 180º – α = 180º – 63,44º = 116,56º

Referências

  1. EA 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  2. Campos, F. 2014. Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
  3. Freed, K. 2007. Discover Polygons. Empresa de Educação de Referência.
  4. Hendrik, V. 2013. Polígonos generalizados. Birkhäuser.
  5. IGER. Primeiro semestre de matemática Tacaná. IGER.
  6. Geometria Jr. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
  7. Miller, Heeren e Hornsby. 2006. Matemática: Raciocínio e Aplicações. 10o. Edição. Pearson Education.
  8. Patiño, M. 2006. Matemática 5. Progreso Editorial.
  9. Wikipedia. Trapézio. Recuperado de: es.wikipedia.com

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