Congruência: figuras congruentes, critérios, exemplos, exercícios

Congruência: figuras congruentes, critérios, exemplos, exercícios

A congruência na geometria diz que, se duas figuras planas têm a mesma forma e dimensões, elas são congruentes. Por exemplo, dois segmentos são congruentes quando seus comprimentos são iguais. Da mesma forma, os ângulos congruentes têm a mesma medida, embora não estejam orientados da mesma maneira no plano.

O termo “congruência” vem do latim congruentia , cujo significado é correspondência. Assim, duas figuras congruentes correspondem exatamente uma à outra.

Por exemplo, se sobrepormos os dois quadriláteros da imagem, descobriremos que eles são congruentes, pois o arranjo de seus lados é idêntico e eles medem o mesmo.

Ao colocar os quadriláteros ABCD e A’B’C’D ‘em cima um do outro, os números corresponderão exatamente. Os lados coincidentes são chamados lados homólogos ou correspondentes e o símbolo ≡ é usado para expressar congruência. Então podemos afirmar que ABCD ≡ A’B’C’D ‘.

Critérios de congruência

As seguintes características são comuns aos polígonos congruentes:

-Forma e tamanho iguais.

Medidas -Identical de seus ângulos.

-A mesma medida em cada um dos seus lados.

No caso de dois polígonos em questão serem regulares, ou seja, que todos os lados e ângulos internos tenham a mesma medida, a congruência é garantida quando qualquer uma das seguintes condições for atendida:

-Os lados são congruentes

-Os apotemas têm a mesma medida

-O raio de cada polígono mede o mesmo

O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro e um dos lados, enquanto o raio corresponde à distância entre o centro e um vértice ou canto da figura.

Os critérios de consistência são freqüentemente usados ​​porque muitas peças e peças de todos os tipos são produzidas em massa e devem ter a mesma forma e medidas. Dessa forma, eles podem ser facilmente substituídos quando necessário, por exemplo, porcas, parafusos, chapas ou pedras de pavimentação no chão da rua.

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Congruência, identidade e semelhança

Existem conceitos geométricos relacionados à congruência, por exemplo figuras idênticas e figuras semelhantes , que não implicam necessariamente que as figuras sejam congruentes.

Observe que as figuras congruentes são idênticas; no entanto, os quadriláteros da figura 1 podem ser orientados diferentemente no plano e ainda permanecer congruentes, pois a orientação diferente não altera o tamanho de seus lados ou ângulos. Nesse caso, eles não seriam mais idênticos.

O outro conceito é o da semelhança das figuras: duas figuras planas são semelhantes se tiverem a mesma forma e seus ângulos internos medem o mesmo, embora o tamanho das figuras possa ser diferente. Se for esse o caso, os números não são congruentes.

Exemplos de congruência

– congruência de ângulos

Como indicamos no início, os ângulos congruentes têm a mesma medida. Existem várias maneiras de obter ângulos congruentes:

Exemplo 1

Duas linhas com um ponto em comum definem dois ângulos, chamados ângulos opostos ao vértice . Esses ângulos têm a mesma medida, portanto são congruentes.

Exemplo 2

Existem duas linhas paralelas mais uma linha t que cruza as duas. Como no exemplo anterior, quando essa linha cruza os paralelos, gera ângulos congruentes, um em cada linha do lado direito e dois outros no lado esquerdo. A figura mostra α e α 1 , à direita da linha t , que são congruentes.

Exemplo 3

Em um paralelogramo, existem quatro ângulos interiores, que são congruentes dois a dois. Eles são aqueles entre vértices opostos, como mostra a figura a seguir, na qual os dois ângulos verdes são congruentes, bem como os dois ângulos vermelhos.

– Congruência de triângulos

Dois triângulos de forma idêntica e tamanho igual são congruentes. Para verificar isso, existem três critérios que podem ser examinados quanto à consistência:

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critério LLL : os três lados dos triângulos têm as mesmas medidas, portanto L 1 = L ‘ 1 ; L 2 = L ‘ 2 e L 3 = L’ 3.

Critérios ALA e AAL : os triângulos têm dois ângulos interiores iguais e o lado entre esses ângulos tem a mesma medida.

Critério LAL : dois dos lados são idênticos (correspondentes) e entre eles existe o mesmo ângulo.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

A figura a seguir mostra dois triângulos: ΔABC e ΔECF. AC = EF, AB = 6 e CF = 10. Além disso, os ângulos ACBAC e ∡FEC são congruentes e os ângulos ∡ACB e ∡FCB também são congruentes.

Portanto, o comprimento do segmento BE é igual a:

i) 5 

ii) 3

iii) 4 

iv) 2

(v) 6

Solução

Como os dois triângulos têm um lado de comprimento igual AC = EF entre os ângulos iguais ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = ∡CFE, pode-se dizer que os dois triângulos são congruentes pelo critério ALA.

Ou seja, ΔBAC ≡ ΔCEF, então você deve:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Mas o segmento a ser calculado é BE = BC – EC = 10 – 6 = 4.

Portanto, a resposta correta é (iii).

– Exercício 2

Três triângulos são mostrados na figura abaixo. Sabe-se também que os dois ângulos indicados medem 80º cada e que os segmentos AB = PD e AP = CD. Encontre o valor do ângulo X indicado na figura.

Solução

Você deve aplicar as propriedades dos triângulos, que são detalhadas passo a passo.

Passo 1

Começando com o critério de congruência do triângulo LAL, pode-se afirmar que os triângulos BAP e PDC são congruentes:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Passo 2

Isso nos leva a afirmar que BP = PC, portanto o triângulo ΔBPC é isósceles e ∡PCB = ∡PBC = X.

etapa 3

Se chamarmos o ângulo BPC γ, segue-se o seguinte:

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2x + γ = 180º

Passo 4

E se chamamos os ângulos APB e DCP β e os ângulos ABP e DPC α, temos o seguinte:

α + β + γ = 180º (já que APB é um ângulo plano).

Etapa 5

Além disso, α + β + 80º = 180º pela soma dos ângulos internos do triângulo APB.

Etapa 6

Combinando todas essas expressões, você deve:

α + β = 100º

Etapa 7

E, por conseguinte:

γ = 80º.

Etapa 8

Por fim, segue-se que:

2X + 80º = 180º

Com X = 50º.

Referências

  1. Baldor, A. 1973. Geometria plana e espacial. Cultural da América Central.
  2. Fundação CK-12. Polígonos congruentes. Recuperado de: ck 12.org.
  3. Aprecie matemática. Definições: Raio (polígono). Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
  4. Referência aberta de matemática. Teste de polígonos quanto à congruência. Recuperado de: mathopenref.com.
  5. Wikipedia. Congruência (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.
  6. Zapata, F. Triângulos, história, elementos, classificação, propriedades. Recuperado de: lifeder.com.

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