A congruência na geometria diz que, se duas figuras planas têm a mesma forma e dimensões, elas são congruentes. Por exemplo, dois segmentos são congruentes quando seus comprimentos são iguais. Da mesma forma, os ângulos congruentes têm a mesma medida, embora não estejam orientados da mesma maneira no plano.
O termo “congruência” vem do latim congruentia , cujo significado é correspondência. Assim, duas figuras congruentes correspondem exatamente uma à outra.
Por exemplo, se sobrepormos os dois quadriláteros da imagem, descobriremos que eles são congruentes, pois o arranjo de seus lados é idêntico e eles medem o mesmo.
Ao colocar os quadriláteros ABCD e A’B’C’D ‘em cima um do outro, os números corresponderão exatamente. Os lados coincidentes são chamados lados homólogos ou correspondentes e o símbolo ≡ é usado para expressar congruência. Então podemos afirmar que ABCD ≡ A’B’C’D ‘.
Critérios de congruência
As seguintes características são comuns aos polígonos congruentes:
-Forma e tamanho iguais.
Medidas -Identical de seus ângulos.
-A mesma medida em cada um dos seus lados.
No caso de dois polígonos em questão serem regulares, ou seja, que todos os lados e ângulos internos tenham a mesma medida, a congruência é garantida quando qualquer uma das seguintes condições for atendida:
-Os lados são congruentes
-Os apotemas têm a mesma medida
-O raio de cada polígono mede o mesmo
O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro e um dos lados, enquanto o raio corresponde à distância entre o centro e um vértice ou canto da figura.
Os critérios de consistência são freqüentemente usados porque muitas peças e peças de todos os tipos são produzidas em massa e devem ter a mesma forma e medidas. Dessa forma, eles podem ser facilmente substituídos quando necessário, por exemplo, porcas, parafusos, chapas ou pedras de pavimentação no chão da rua.
Congruência, identidade e semelhança
Existem conceitos geométricos relacionados à congruência, por exemplo figuras idênticas e figuras semelhantes , que não implicam necessariamente que as figuras sejam congruentes.
Observe que as figuras congruentes são idênticas; no entanto, os quadriláteros da figura 1 podem ser orientados diferentemente no plano e ainda permanecer congruentes, pois a orientação diferente não altera o tamanho de seus lados ou ângulos. Nesse caso, eles não seriam mais idênticos.
O outro conceito é o da semelhança das figuras: duas figuras planas são semelhantes se tiverem a mesma forma e seus ângulos internos medem o mesmo, embora o tamanho das figuras possa ser diferente. Se for esse o caso, os números não são congruentes.
Exemplos de congruência
– congruência de ângulos
Como indicamos no início, os ângulos congruentes têm a mesma medida. Existem várias maneiras de obter ângulos congruentes:
Exemplo 1
Duas linhas com um ponto em comum definem dois ângulos, chamados ângulos opostos ao vértice . Esses ângulos têm a mesma medida, portanto são congruentes.
Exemplo 2
Existem duas linhas paralelas mais uma linha t que cruza as duas. Como no exemplo anterior, quando essa linha cruza os paralelos, gera ângulos congruentes, um em cada linha do lado direito e dois outros no lado esquerdo. A figura mostra α e α 1 , à direita da linha t , que são congruentes.
Exemplo 3
Em um paralelogramo, existem quatro ângulos interiores, que são congruentes dois a dois. Eles são aqueles entre vértices opostos, como mostra a figura a seguir, na qual os dois ângulos verdes são congruentes, bem como os dois ângulos vermelhos.
– Congruência de triângulos
Dois triângulos de forma idêntica e tamanho igual são congruentes. Para verificar isso, existem três critérios que podem ser examinados quanto à consistência:
– critério LLL : os três lados dos triângulos têm as mesmas medidas, portanto L 1 = L ‘ 1 ; L 2 = L ‘ 2 e L 3 = L’ 3.
– Critérios ALA e AAL : os triângulos têm dois ângulos interiores iguais e o lado entre esses ângulos tem a mesma medida.
– Critério LAL : dois dos lados são idênticos (correspondentes) e entre eles existe o mesmo ângulo.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
A figura a seguir mostra dois triângulos: ΔABC e ΔECF. AC = EF, AB = 6 e CF = 10. Além disso, os ângulos ACBAC e ∡FEC são congruentes e os ângulos ∡ACB e ∡FCB também são congruentes.
Portanto, o comprimento do segmento BE é igual a:
i) 5
ii) 3
iii) 4
iv) 2
(v) 6
Solução
Como os dois triângulos têm um lado de comprimento igual AC = EF entre os ângulos iguais ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = ∡CFE, pode-se dizer que os dois triângulos são congruentes pelo critério ALA.
Ou seja, ΔBAC ≡ ΔCEF, então você deve:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
Mas o segmento a ser calculado é BE = BC – EC = 10 – 6 = 4.
Portanto, a resposta correta é (iii).
– Exercício 2
Três triângulos são mostrados na figura abaixo. Sabe-se também que os dois ângulos indicados medem 80º cada e que os segmentos AB = PD e AP = CD. Encontre o valor do ângulo X indicado na figura.
Solução
Você deve aplicar as propriedades dos triângulos, que são detalhadas passo a passo.
Passo 1
Começando com o critério de congruência do triângulo LAL, pode-se afirmar que os triângulos BAP e PDC são congruentes:
ΔBAP ≡ ΔPDC
Passo 2
Isso nos leva a afirmar que BP = PC, portanto o triângulo ΔBPC é isósceles e ∡PCB = ∡PBC = X.
etapa 3
Se chamarmos o ângulo BPC γ, segue-se o seguinte:
2x + γ = 180º
Passo 4
E se chamamos os ângulos APB e DCP β e os ângulos ABP e DPC α, temos o seguinte:
α + β + γ = 180º (já que APB é um ângulo plano).
Etapa 5
Além disso, α + β + 80º = 180º pela soma dos ângulos internos do triângulo APB.
Etapa 6
Combinando todas essas expressões, você deve:
α + β = 100º
Etapa 7
E, por conseguinte:
γ = 80º.
Etapa 8
Por fim, segue-se que:
2X + 80º = 180º
Com X = 50º.
Referências
- Baldor, A. 1973. Geometria plana e espacial. Cultural da América Central.
- Fundação CK-12. Polígonos congruentes. Recuperado de: ck 12.org.
- Aprecie matemática. Definições: Raio (polígono). Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
- Referência aberta de matemática. Teste de polígonos quanto à congruência. Recuperado de: mathopenref.com.
- Wikipedia. Congruência (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zapata, F. Triângulos, história, elementos, classificação, propriedades. Recuperado de: lifeder.com.