Método de Trachtenberg: o que é, exemplos

O método Trachtenberg é um sistema para realizar operações aritméticas, principalmente multiplicação, de maneira fácil e rápida, uma vez que suas regras são conhecidas e dominadas.

Foi concebido pelo engenheiro de origem russa Jakow Trachtenberg (1888-1953) quando era prisioneiro dos nazistas em um campo de concentração, como uma forma de distração para manter a sanidade enquanto continuava em cativeiro.

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 1

Figura 1. Tabelas de multiplicação. Fonte: Wikimedia Commons. Taulacat [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]

O que é, vantagens e desvantagens

A vantagem que esse método representa é que, para realizar multiplicações, não é necessário memorizar as tabelas de multiplicação, pelo menos em parte, basta saber como contar e somar, além de dividir um dígito entre dois.

A desvantagem é que não há regra universal para multiplicar por qualquer número, mas a regra varia de acordo com o multiplicador. No entanto, os padrões não são difíceis de memorizar e, em princípio, permitem operações sem a ajuda de papel e lápis.

Ao longo deste artigo, focaremos nas regras para multiplicar rapidamente.

Exemplos

Para aplicar o método, é necessário conhecer as regras, para apresentá-las uma a uma e com exemplos:

– Multiplique um número por 10 ou 11

Regra para multiplicar por 10

-Para multiplicar qualquer número por 10, basta adicionar um zero à direita. Por exemplo: 52 x 10 = 520.

Regras para multiplicar por 11

-Um zero é adicionado no início e no final da figura.

-Adicione cada dígito com seu vizinho à direita e o resultado é colocado abaixo do dígito correspondente da figura original.

-Se o resultado exceder nove, a unidade será registrada e um ponto será colocado para nos lembrar que temos uma unidade que será adicionada à soma da próxima figura com o vizinho à direita.

Exemplo detalhado de multiplicação por 11

Multiplique 673179 por 11

0 673179 0 x 11 =

————-

= 7404969

As etapas necessárias para chegar a esse resultado, ilustradas por cores, são as seguintes:

-O multiplicador da unidade 1 do multiplicador (11) foi multiplicado por 9 do multiplicador (0 673179 0) e foi adicionado 0. O dígito da unidade do resultado foi obtido: 9 .

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-Em seguida, multiplique 1 por 7 e adicione nove a 16 e tomamos 1, o décimo dígito é colocado: 6 .

-Em seguida, multiplique 1 por 1 o vizinho à direita 7 mais 1 foi adicionado, o que resultou em 9 para cem.

-A figura seguinte é obtida multiplicando 1 por 3 mais vizinho 1, resultando em 4 para o dígito dos milhares.

-Multiplica 1 por 7 e o vizinho 3 é adicionado, resultando 10, zero ( ) é colocado como um dígito de dez dígitos e um é obtido.

-Então 1 por 6 mais o vizinho 7 acaba sendo 13 mais um 1 que lidera acaba sendo 14, 4 é colocado como um dígito de cem mil e 1 é obtido.

– Multiplique finalmente 1 por zero que foi adicionado no início, dando zero mais o vizinho 6 mais um que foi carregado. Finalmente, 7 resultados para o dígito correspondente aos milhões.

– Multiplicação por números de 12 a 19

Para multiplicar qualquer número por 12:

-Um zero é adicionado no início e outro zero no final do número a ser multiplicado.

-Dobre cada dígito do número a ser multiplicado e adicione-o ao seu vizinho à direita.

-Se a soma exceder 10, uma unidade será adicionada à próxima operação de duplicação e adicionada ao vizinho.

Exemplo de multiplicação por 12

Multiplique 63247 por 12

0 63247 0 x 12 =

———–

758964

Os detalhes para alcançar esse resultado, seguindo estritamente as regras estabelecidas, são mostrados na figura a seguir:

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 2

Figura 2. Método de Trachtenberg para multiplicar qualquer número por 12. Fonte: F. Zapata.

– Extensão das regras para multiplicações por 13, … até 19

O método de multiplicação por 12 pode ser estendido para multiplicações por 13, 14 a 19, simplesmente alterando a regra de duplicar para triplo no caso de treze anos, quadruplicando no caso de 14 e assim por diante até atingir 19.

Regras para produtos de 6, 7 e 5

– Multiplicação por 6

-Adicione zeros no início e no final da figura a ser multiplicado por 6.

– Adicione a cada dígito metade do seu vizinho à direita, mas se o dígito for ímpar, adicione 5 adicionalmente.

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Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 3

Figura 3. Multiplicação de uma figura por 6, seguindo o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.

– Multiplicação por 7

-Adicione zeros no início e no final do número para multiplicar.

-Duplique cada dígito e adicione a metade inferior do vizinho, mas se o dígito for ímpar, adicione 5.

Exemplo de multiplicação por 7

Multiplicar 3412 por 7

-O resultado é 23884. Para aplicar as regras, é aconselhável primeiro reconhecer os dígitos ímpares e colocar um pequeno 5 neles para lembrar de adicionar essa figura ao resultado.

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 4

Figura 4. Exemplo de multiplicação de uma figura por 7, de acordo com o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.

– Multiplicação por 5

-Adicione zeros no início e no final do número para multiplicar.

-Coloque abaixo de cada dígito a metade inferior inteira do vizinho à direita, mas se o dígito for ímpar, adicione 5 adicionais.

Exemplo de multiplicação por 5

Multiplique 256413 por 5

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 5

Figura 5. Exemplo de multiplicação de uma figura por 5, de acordo com o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.

Regras para produtos de 9

-Um zero é adicionado no início e outro no final da figura a ser multiplicado por nove.

-O primeiro dígito à direita é obtido subtraindo o dígito correspondente do número a ser multiplicado para 10.

-Em seguida, o próximo dígito é subtraído de 9 e o vizinho é adicionado.

– O passo anterior é repetido até atingir o zero da multiplicação, onde subtraímos 1 do vizinho e o resultado é copiado abaixo de zero.

Exemplo de multiplicação por 9

Multiplique 8769 por 9:

087690 x 9 =

————-

78921

Operações

10 – 9 = 1

(9-6) + 9 = 1 2 (copie 2 e pegue 1)

(9-7) + 1 + 6 = 9

(9-8) +7 = 8

(8-1) = 7

Multiplicação por 8, 4, 3 e 2

-Adicione zeros no início e no final do número para multiplicar.

-Para o primeiro dígito à direita, subtraia de 10 e o resultado é dobrado.

-Para os seguintes dígitos subtrair de 9, o resultado é dobrado e o vizinho é adicionado.

– Ao atingir zero subtraia 2 do vizinho à direita.

– Multiplicação por 8

Exemplo de multiplicação por 8

Multiplique 789 por 8

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 6

Figura 6. Exemplo de multiplicação de uma figura por 8, de acordo com o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.
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– Multiplicação por 4

-Adicione zeros à direita e à esquerda da multiplicação.

– Subtraia 10 do dígito da unidade correspondente adicionando 5 se for um dígito ímpar.

– Subtraia 9 dígitos de cada dígito da multiplicação, adicionando metade do vizinho à direita e, se for um dígito ímpar, adicione 5 adicionalmente.

-Quando chegar a zero no início da multiplicação, coloque metade do vizinho menos um.

Exemplo de multiplicação por 4

Multiplique 365187 x 4

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 7

Figura 7. Exemplo de multiplicação de uma figura por 4, de acordo com o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.

– Multiplicação por 3

-Adicione zero a cada extremidade da multiplicação.

– Subtraia 10 menos o dígito da unidade e adicione 5 se for um dígito ímpar.

-Para os outros dígitos, subtraia 9 para dobrar o resultado, adicione metade do vizinho e adicione 5, se for ímpar.

-Quando atingir o zero do cabeçalho, coloque a metade menor do vizinho menos 2.

Exemplo de multiplicação por 3

Multiplique 2588 por 3

Método de Trachtenberg: o que é, exemplos 8

Figura 8. Exemplo de multiplicação de uma figura por 3, de acordo com o método de Trachtenberg. Fonte: F. Zapata.

– Multiplicação por 2

-Adicione zeros nas extremidades e dobre cada dígito, se exceder 10, adicione um ao próximo.

Exemplo de multiplicação por 2

Multiplique 2374 por 2

0 2374 0 x 2

04748

Multiplique por números compostos

As regras listadas acima se aplicam, mas os resultados estão sendo apresentados à esquerda, o número de locais correspondentes a dezenas, centenas e assim por diante. Vejamos o seguinte exemplo:

Exercício

Multiplique 37654 por 498

0376540 x 498

301232 regra para 8

338886 regra para 9

150616 regra para 4

Soma final 18751692

Referências

  1. Cutler, Ann. 1960.O sistema de velocidade de Trachtenberg da matemática básica. Doubleday & CO, NY.
  2. Dialnet Sistema matemático básico rápido. Recuperado de: dialnet.com
  3. Canto matemático Rápida multiplicação pelo método de Trachtenberg. Recuperado de: rinconmatematico.com
  4. O sistema de velocidade de Trachtenberg de matemática básica. Recuperado de: trachtenbergspeedmath.com
  5. Wikipedia Método de Trachtenberg. Recuperado de: wikipedia.com

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