O ortoedro é uma figura geométrica tridimensional ou volumétrica caracterizada por ter seis faces retangulares, de modo que as faces opostas estão em planos paralelos e são idênticas ou congruentes entre si. Por outro lado, as faces adjacentes a uma determinada face estão em planos perpendiculares àquelas da face inicial.
O ortoedro também pode ser considerado como um prisma ortogonal com base retangular, no qual os ângulos diédricos formados pelos planos de duas faces adjacentes a uma aresta comum medem 90º. O ângulo diédrico entre duas faces é medido na interseção das faces com um plano perpendicular e comum a elas.
Da mesma forma, o ortoedro é um paralelepípedo retangular , pois é assim que o paralelepípedo é definido como a figura volumétrica de seis faces, que são paralelas de dois a dois.
Em qualquer paralelepípedo, as faces são paralelogramos, mas no paralelepípedo retangular, as faces devem ser retangulares.
Partes do ortoedro
As partes de um poliedro, como o ortoedro , são:
-Arists
-Vertices
-Rostos
O ângulo entre duas arestas de uma face do ortoedro coincide com o ângulo diédrico formado pelas outras duas faces adjacentes a cada uma das arestas, formando um ângulo reto. A imagem a seguir esclarece cada conceito:
-No total, um ortoedro tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
-O ângulo entre duas arestas é um ângulo reto.
-O ângulo diédrico entre duas faces também é reto.
-Em cada face há quatro vértices e em cada vértice há três faces mutuamente ortogonais.
Fórmulas de ortoedro
Área
A superfície ou área de um ortoedro é a soma das áreas de suas faces.
Se as três arestas que se encontram em um vértice tiver as medidas a, bec, como mostrado na Figura 3, a face frontal terá a área c⋅b e a face inferior também terá a área c⋅b.
Então as duas faces laterais têm área a⋅b cada. E, por último, os rostos piso e teto têm área a⋅c cada.
Adicionando a área de todas as faces, obtemos:
A = 2⋅c⋅b + 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c
Retirando o fator comum e ordenando os termos:
A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a)
Volume
Se o ortoedro é considerado um prisma, seu volume é calculado da seguinte forma:
Volume = Área da base do prisma x altura do prisma
Nesse caso, o piso das dimensões c e a é tomado como base retangular ; portanto, a área da base é c⋅a .
A altura é dada pelo comprimento b das arestas ortogonais às faces dos lados a e c .
Multiplicando a área da base ( a⋅c ) pela altura b, obtemos o volume V do ortoedro:
V = a⋅b⋅c
Diagonal interna
Em um ortoedro, existem dois tipos de diagonais: as diagonais externas e as diagonais internas.
As diagonais externas estão nas faces retangulares, enquanto as diagonais internas são os segmentos que unem dois vértices opostos, sendo entendidos por vértices opostos aqueles que não compartilham nenhuma aresta.
Em um ortoedro, existem quatro diagonais internas, todas de igual medida. O comprimento das diagonais internas pode ser obtido aplicando o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos.
O comprimento d da diagonal externa da face do assoalho do ortoedro cumpre a relação pitagórica:
d 2 = a 2 + c 2
Da mesma forma, a diagonal interna da medida D preenche a relação pitagórica:
D 2 = d 2 + b 2 .
Combinando as duas expressões anteriores, temos:
D 2 = a 2 + c 2 + b 2 .
Finalmente, o comprimento de qualquer uma das diagonais internas do ortoedro é dado pela seguinte fórmula:
D = √ (a 2 + b 2 + c 2 ).
Exemplos
– Exemplo 1
Um pedreiro constrói um tanque em forma de ortoedro cujas dimensões internas são: 6m x 4m de base e 2m de altura. É solicitado:
a) Determine a superfície interior do tanque se ele estiver completamente aberto na parte superior.
b) Calcule o volume do espaço interior do tanque.
c) Encontre o comprimento de uma diagonal interna.
d) Qual a capacidade do tanque em litros?
Solução para
Tomaremos as dimensões da base retangular a = 4 me c = 6 me a altura como b = 2 m
A área de um ortoedro com as dimensões especificadas é dada pela seguinte relação:
A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)
Quer dizer:
A = 2⋅ (8 m 2 + 12 m 2 + 24 m 2 ) = 2 ⋅ (44 m 2 ) = 88 m 2
O resultado anterior é a área do ortoedro fechado com as dimensões especificadas, mas como é um tanque completamente exposto em sua parte superior, para obter a superfície das paredes internas do tanque, a área da tampa ausente deve ser subtraída, ou seja:
c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m 2 .
Finalmente, a superfície interior do tanque será: S = 88 m 2 – 24 m 2 = 64 m 2 .
Solução b
O volume interior do tanque é determinado pelo volume de um ortoedro das dimensões interiores do tanque:
V = a⋅b⋅c = 4 m 2 m 6 m = 48 m 3 .
Solução c
A diagonal interna de um octaedro com as dimensões do interior do tanque tem um comprimento D dado por:
√ (a 2 + b 2 + c 2 ) = √ ((4 m) 2 + (2 m) 2 + (6 m) 2 )
Realizando as operações indicadas, ficamos com:
D = √ (16 m 2 + 4 m 2 + 36 m 2 ) = √ (56 m 2 ) = 2 √ (14) m = 7,48 m.
Solução d
Para calcular a capacidade do tanque em litros, é necessário saber que o volume de um decímetro cúbico é igual à capacidade de um litro. Anteriormente, tinha sido calculado em volume em metros cúbicos, mas deve ser transformado em decímetros cúbicos e depois em litros:
V = 48 m 3 = 48 (10 dm) 3 = 4.800 dm 3 = 4.800 L
– Exercício 2
Um aquário de vidro tem uma forma cúbica de 25 cm de cada lado. Determine a área em m 2 , o volume em litros e o comprimento de uma diagonal interna em cm.
Solução
A área é calculada usando a mesma fórmula que o ortoedro, mas levando em consideração que todas as dimensões são idênticas:
A = 2⋅ (3 anos) = 6⋅ a 2 = 6⋅ (25 cm) 2 = 1.250 cm 2
O volume do cubo é dado por:
V = a 3 = (25 cm) 3 = 15,625 cm 3 = 15,625 (0,1 dm) 3 = 15,625 dm 3 = 15,625 L.
O comprimento D da diagonal interior é:
D = √ (3a 2 ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.
Referências
- Arias J. GeoGebra: Prisma. Recuperado de: youtube.com.
- Calculus.cc. Exercícios e resolução de problemas de áreas e volumes. Recuperado de: calculo.cc.
- Pirâmide Salvador R. + Ortoedro com GEOGEBRA (IHM). Recuperado de: youtube.com
- Weisstein, Eric. “Ortoedro”. MathWorld. Pesquisa Wolfram.
- Wikipedia. Ortoedro. Recuperado de: es.wikipedia.com