Os números reais são uma extensão dos números naturais, inteiros e racionais, que incluem tanto os números racionais quanto os irracionais. Eles desempenham um papel fundamental na matemática e são amplamente utilizados em diversas áreas, como física, engenharia, economia, entre outras.
Neste contexto, o estudo dos números reais abrange não apenas a sua definição, mas também seu histórico, propriedades, exemplos e operações. Ao longo da história, matemáticos como Pitágoras, Euclides e Arquimedes contribuíram para o desenvolvimento e compreensão dos números reais.
Além disso, as propriedades dos números reais são essenciais para operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. As operações com números reais seguem as mesmas regras básicas das operações com números racionais, porém, com maior abrangência e complexidade devido à inclusão dos irracionais.
Dessa forma, o estudo dos números reais é fundamental para a compreensão e aplicação da matemática em diversos contextos, contribuindo para o desenvolvimento de diversas áreas do conhecimento.
Propriedades dos números reais: características fundamentais que os diferenciam de outros conjuntos numéricos.
Os números reais são uma extensão dos números racionais e incluem todos os números racionais e irracionais. Eles são representados na reta numérica e possuem diversas propriedades que os diferenciam de outros conjuntos numéricos.
Uma das principais propriedades dos números reais é a densidade. Isso significa que entre dois números reais quaisquer, sempre existe outro número real. Essa propriedade garante que não haja “buracos” na reta numérica, tornando-a contínua e infinita.
Outra propriedade importante é a transitividade da igualdade e da desigualdade. Ou seja, se a = b e b = c, então a = c. Da mesma forma, se a < b e b < c, então a < c. Essa propriedade é fundamental para a resolução de equações e inequações.
Além disso, os números reais possuem as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão, que seguem as mesmas regras dos números racionais. Por exemplo, a propriedade comutativa da adição (a + b = b + a) e a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (a*(b + c) = a*b + a*c).
Origem e evolução dos números reais ao longo da história da matemática.
A história dos números reais tem suas raízes na necessidade do ser humano de contar e medir. Desde os tempos mais remotos, as civilizações antigas desenvolveram sistemas numéricos para representar quantidades e realizar cálculos. No entanto, os números reais como os conhecemos hoje só foram formalizados e sistematizados ao longo dos séculos.
Na antiguidade, os números naturais (1, 2, 3, …) eram os mais utilizados, seguidos pelos números inteiros (positivos, negativos e zero). Com o desenvolvimento da geometria e da álgebra, surgiram os números racionais, que podem ser expressos na forma de fração.
Foi somente com a descoberta dos números irracionais, como a raiz quadrada de 2, que a necessidade de ampliar o sistema numérico se tornou evidente. Os números reais surgiram como uma extensão dos números racionais para incluir todas as raízes quadradas e outras quantidades irracionais.
Os números reais englobam os números racionais e irracionais, formando um conjunto completo e contínuo. Eles possuem propriedades únicas, como a densidade e a completude, que os distinguem de outros conjuntos numéricos. Além disso, os números reais são fechados sob as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Entenda as operações e propriedades dos números inteiros de forma simples e clara.
Os números reais são uma extensão dos números inteiros, incluindo também os números irracionais. Eles surgiram na Grécia Antiga, quando os matemáticos perceberam a necessidade de representar grandezas que não podiam ser expressas como frações de números inteiros.
Um exemplo de número real é o número π, que representa a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. Outro exemplo é a raiz quadrada de 2, que não pode ser representada como uma fração simples.
As propriedades dos números reais incluem a comutatividade e associatividade na adição e na multiplicação, a existência de um elemento neutro (o zero) e de um elemento inverso aditivo para cada número.
As operações com números reais envolvem a adição, subtração, multiplicação e divisão. Na adição, podemos somar dois números reais para obter um terceiro número real. Na multiplicação, podemos multiplicar dois números reais para obter um terceiro número real.
É importante compreender essas operações e propriedades dos números reais para realizar cálculos matemáticos de forma correta e eficiente. Portanto, pratique exercícios e estude os conceitos para aprimorar seu conhecimento nessa área.
Características dos números racionais: entenda suas propriedades fundamentais em detalhes.
Os números racionais são um conjunto importante na matemática, que inclui números inteiros, decimais finitos e decimais periódicos. Eles são representados como frações, onde o numerador e o denominador são números inteiros e o denominador não é zero.
Uma das principais características dos números racionais é que eles podem ser expressos na forma de fração. Por exemplo, 1/2, 3/4, -2/5 são todos números racionais. Além disso, todos os inteiros são considerados números racionais, pois podem ser expressos como frações com denominador igual a 1.
Os números racionais possuem propriedades importantes, como a closure em relação às operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Isso significa que a soma, subtração, multiplicação e divisão de dois números racionais resulta em outro número racional. Por exemplo, se somarmos 1/2 com 3/4, obtemos 5/4, que também é um número racional.
Além disso, os números racionais possuem a propriedade de densidade, o que significa que entre quaisquer dois números racionais existe sempre outro número racional. Por exemplo, entre 1/2 e 3/4 existe o número racional 5/8.
Por fim, as operações com números racionais seguem as mesmas regras das operações com números inteiros. Por exemplo, a propriedade comutativa da adição e da multiplicação também se aplica aos números racionais. Ou seja, a ordem dos números não altera o resultado da operação.
Compreender suas características e propriedades é essencial para o estudo e aplicação desses números em diferentes situações.
Números reais: histórico, exemplos, propriedades, operações
Os números reais constituem o conjunto numérico que inclui os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Eles são indicados com o símbolo ℝ ou simplesmente R e o escopo que eles têm na ciência, engenharia e economia é tal que, quando se fala em “número”, é quase certo que se trata de um número real.
Números reais têm sido usados desde os tempos antigos, embora não tivessem esse nome. Desde o momento em que Pitágoras desenvolveu seu famoso teorema, surgiram números que não podiam ser obtidos como quocientes de números naturais ou números inteiros.
Exemplos de números são √2, √3 e π. Esses números são chamados irracionais , em oposição aos números racionais, que vêm de quocientes entre números inteiros. Era necessário, portanto, um conjunto numérico que incluísse as duas classes de números.
O termo “número real” foi criado pelo grande matemático René Descartes (1596-1650), para distinguir os dois tipos de raízes que podem surgir da solução de uma equação polinomial.
Algumas dessas raízes podem até ser raízes de números negativos, esses Descartes chamados “números imaginários” e os que não eram, eram números reais.
A denominação persistiu ao longo do tempo, dando origem a dois grandes conjuntos numéricos: números reais e números complexos, um conjunto mais amplo que inclui números reais, números imaginários e aqueles que são parcialmente reais e parcialmente imaginários.
A evolução dos números reais continuou seu curso até que em 1872, o matemático Richard Dedekind (1831-1936) definiu formalmente o conjunto de números reais através dos chamados cortes de Dedekind. A síntese de seu trabalho foi publicada em um artigo publicado no mesmo ano.
Exemplos de números reais
A tabela a seguir mostra exemplos de números reais. Este conjunto tem como subconjuntos os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Qualquer número nesses conjuntos é em si um número real.
Portanto, 0, negativos, positivos, frações e decimais são números reais.
Representação de números reais na linha real
Os números reais podem ser representados na linha real R , como mostrado na figura. Não é necessário que 0 esteja sempre presente; no entanto, é conveniente saber que os reais negativos estão à sua esquerda e os positivos à direita. Portanto, é um excelente ponto de referência.
Uma escala é obtida na linha real, na qual os números inteiros são encontrados:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. A seta indica que a linha se estende até o infinito. Mas isso não é tudo, em qualquer intervalo considerado, também sempre encontraremos números reais infinitos.
Os números reais são representados em ordem. Para começar, há a ordem dos números inteiros, na qual os positivos são sempre maiores que 0, enquanto os negativos são menores.
Essa ordem é mantida dentro dos números reais. As seguintes desigualdades são mostradas a título de exemplo:
a) -1/2 <√2
b) e <π
c) π> -1/2
Propriedades de números reais
Os números reais incluem números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais.
-A propriedade comutativa da soma é cumprida: a ordem dos adendos não altera a soma. Se aeb são dois números reais, é sempre verdade que:
a + b = b + a
-0 é o elemento neutro da soma: a + 0 = a
-Para a soma, a propriedade associativa é cumprida. Se a, bec são números reais: (a + b) + c = a + (b + c).
-O oposto de um número real a é -a.
-A subtração é definida como a soma do oposto: a – b = a + (-b).
-A propriedade comutativa do produto é cumprida: a ordem dos fatores não altera o produto: ab = ba
-No produto a propriedade associativa também se aplica: (ab) .c = a. (Bc)
-O 1 é o elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é válida: a. (b + c) = ab + ac
-A divisão por 0 não está definida.
– Qualquer número real a, exceto 0, tem um inverso multiplicativo de -1, de modo que aa -1 = 1.
-Se a é um número real: a 0 = 1 e 1 = a.
-O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre esse número e 0.
Operações com números reais
Com os números reais, você pode executar as operações realizadas com os outros conjuntos numéricos, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão, capacitação, liquidação, logaritmos e muito mais.
Como sempre, a divisão por 0 não é definida, nem os logaritmos dos números negativos nem 0, embora seja verdade que o log 1 = 0 e os logaritmos dos números entre 0 e 1 sejam negativos.
Formulários
As aplicações de números reais para todos os tipos de situações são extremamente variadas. Os números reais aparecem em resposta a muitos problemas nas ciências exatas, computação, engenharia, economia e ciências sociais.
Todos os tipos de magnitudes e quantidades, como distâncias, tempos, forças, intensidade do som, dinheiro e muito mais, têm sua expressão em números reais.
A transmissão de sinais telefônicos, a imagem e o som de um vídeo, a temperatura de um ar-condicionado, um aquecedor ou uma geladeira podem ser controlados digitalmente, o que significa transformar quantidades físicas em seqüências numéricas.
O mesmo acontece ao fazer uma transação bancária pela Internet ou ao consultar mensagens instantâneas. Os números reais estão por toda parte.
Exercício resolvido
Vamos ver com exercícios como esses números funcionam em situações comuns que encontramos diariamente.
Exercício 1
Os correios aceitam apenas pacotes para os quais o comprimento, mais a medição do contorno, não exceda 108 polegadas. Portanto, para que o pacote exibido seja aceito, é necessário que:
L + 2 (x + y) ≤ 108
a) Você conseguirá passar um pacote com 15 cm de largura, 20 cm de altura e 20 cm de comprimento?
b) Que tal um que mede 2 x 2 x 4 pés 3 ?
c) Qual é a altura mais alta aceitável para um pacote cuja base é quadrada e mede 9 x 9 polegadas 2 ?
Responda para
L = 5 pés = 60 polegadas
x = 6 polegadas
y = 8 polegadas
A operação a resolver é:
L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) polegadas = 60 + 2 x 14 polegadas = 60 + 28 polegadas = 88 polegadas
O pacote é aceito.
Resposta b
As dimensões deste pacote são menores que as do pacote a), portanto, ambas conseguem passar.
Resposta c
Neste pacote:
x = L = 9 polegadas
Deve ser cumprido que:
9+ 2 (9 + y) ≤ 108
27 + 2y ≤ 108
2y ≤ 81
e ≤ 40,5 polegadas
Referências
- Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
- Diego, A. Números reais e suas propriedades. Recuperado de: matematica.uns.edu.ar.
- Figuera, J. 2000. Matemática 9th. Grau. Edições CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.