Números reais: histórico, exemplos, propriedades, operações

Números reais: histórico, exemplos, propriedades, operações

Os números reais constituem o conjunto numérico que inclui os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Eles são indicados com o símbolo ℝ ou simplesmente R e o escopo que eles têm na ciência, engenharia e economia é tal que, quando se fala em “número”, é quase certo que se trata de um número real.

Números reais têm sido usados ​​desde os tempos antigos, embora não tivessem esse nome. Desde o momento em que Pitágoras desenvolveu seu famoso teorema, surgiram números que não podiam ser obtidos como quocientes de números naturais ou números inteiros.

Exemplos de números são √2, √3 e π. Esses números são chamados irracionais , em oposição aos números racionais, que vêm de quocientes entre números inteiros. Era necessário, portanto, um conjunto numérico que incluísse as duas classes de números.

O termo “número real” foi criado pelo grande matemático René Descartes (1596-1650), para distinguir os dois tipos de raízes que podem surgir da solução de uma equação polinomial.

Algumas dessas raízes podem até ser raízes de números negativos, esses Descartes chamados “números imaginários” e os que não eram, eram números reais.

A denominação persistiu ao longo do tempo, dando origem a dois grandes conjuntos numéricos: números reais e números complexos, um conjunto mais amplo que inclui números reais, números imaginários e aqueles que são parcialmente reais e parcialmente imaginários.

A evolução dos números reais continuou seu curso até que em 1872, o matemático Richard Dedekind (1831-1936) definiu formalmente o conjunto de números reais através dos chamados cortes de Dedekind. A síntese de seu trabalho foi publicada em um artigo publicado no mesmo ano.

Exemplos de números reais

A tabela a seguir mostra exemplos de números reais. Este conjunto tem como subconjuntos os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais. Qualquer número nesses conjuntos é em si um número real.

Portanto, 0, negativos, positivos, frações e decimais são números reais.

Representação de números reais na linha real 

Os números reais podem ser representados na linha real R , como mostrado na figura. Não é necessário que 0 esteja sempre presente; no entanto, é conveniente saber que os reais negativos estão à sua esquerda e os positivos à direita. Portanto, é um excelente ponto de referência.

Uma escala é obtida na linha real, na qual os números inteiros são encontrados:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. A seta indica que a linha se estende até o infinito. Mas isso não é tudo, em qualquer intervalo considerado, também sempre encontraremos números reais infinitos.

Os números reais são representados em ordem. Para começar, há a ordem dos números inteiros, na qual os positivos são sempre maiores que 0, enquanto os negativos são menores.

Essa ordem é mantida dentro dos números reais. As seguintes desigualdades são mostradas a título de exemplo:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Propriedades de números reais

Os números reais incluem números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais.

-A propriedade comutativa da soma é cumprida: a ordem dos adendos não altera a soma. Se aeb são dois números reais, é sempre verdade que:

a + b = b + a

-0 é o elemento neutro da soma: a + 0 = a

-Para a soma, a propriedade associativa é cumprida. Se a, bec são números reais: (a + b) + c = a + (b + c).

-O oposto de um número real a é -a.

-A subtração é definida como a soma do oposto: a – b = a + (-b).

-A propriedade comutativa do produto é cumprida: a ordem dos fatores não altera o produto: ab = ba

-No produto a propriedade associativa também se aplica: (ab) .c = a. (Bc)

-O 1 é o elemento neutro da multiplicação: a.1 = a

-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é válida: a. (b + c) = ab + ac

-A divisão por 0 não está definida.

– Qualquer número real a, exceto 0, tem um inverso multiplicativo de -1, de modo que aa -1 = 1.

-Se a é um número real: a = 1 e 1 = a.

-O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre esse número e 0.

Operações com números reais

Com os números reais, você pode executar as operações realizadas com os outros conjuntos numéricos, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão, capacitação, liquidação, logaritmos e muito mais.

Como sempre, a divisão por 0 não é definida, nem os logaritmos dos números negativos nem 0, embora seja verdade que o log 1 = 0 e os logaritmos dos números entre 0 e 1 sejam negativos.

Formulários

As aplicações de números reais para todos os tipos de situações são extremamente variadas. Os números reais aparecem em resposta a muitos problemas nas ciências exatas, computação, engenharia, economia e ciências sociais.

Todos os tipos de magnitudes e quantidades, como distâncias, tempos, forças, intensidade do som, dinheiro e muito mais, têm sua expressão em números reais.

A transmissão de sinais telefônicos, a imagem e o som de um vídeo, a temperatura de um ar-condicionado, um aquecedor ou uma geladeira podem ser controlados digitalmente, o que significa transformar quantidades físicas em seqüências numéricas.

O mesmo acontece ao fazer uma transação bancária pela Internet ou ao consultar mensagens instantâneas. Os números reais estão por toda parte.

Exercício resolvido

Vamos ver com exercícios como esses números funcionam em situações comuns que encontramos diariamente.

Exercício 1

Os correios aceitam apenas pacotes para os quais o comprimento, mais a medição do contorno, não exceda 108 polegadas. Portanto, para que o pacote exibido seja aceito, é necessário que:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Você conseguirá passar um pacote com 15 cm de largura, 20 cm de altura e 20 cm de comprimento?

b) Que tal um que mede 2 x 2 x 4 pés 3 ?

c) Qual é a altura mais alta aceitável para um pacote cuja base é quadrada e mede 9 x 9 polegadas 2 ?

Responda para

 L = 5 pés = 60 polegadas

x = 6 polegadas

y = 8 polegadas

A operação a resolver é:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) polegadas = 60 + 2 x 14 polegadas = 60 + 28 polegadas = 88 polegadas

O pacote é aceito.

Resposta b

As dimensões deste pacote são menores que as do pacote a), portanto, ambas conseguem passar.

Resposta c

Neste pacote:

x = L = 9 polegadas

Deve ser cumprido que:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

e ≤ 40,5 polegadas

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Diego, A. Números reais e suas propriedades. Recuperado de: matematica.uns.edu.ar.
  3. Figuera, J. 2000. Matemática 9th. Grau. Edições CO-BO.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.

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