Uma aproximação em matemática é um número que não é o valor exato de algo, mas é tão próximo a ele que é considerado tão útil quanto esse valor exato.
Quando aproximações são feitas em matemática, é porque manualmente é difícil (ou às vezes impossível) saber o valor exato do que se deseja.
A principal ferramenta ao trabalhar com aproximações é o diferencial de uma função.
O diferencial de uma função f, denotado por Δf (x), é apenas o derivado da função f multiplicada pela mudança na variável independente, ou seja, Δf (x) = f ‘(x) * Δx.
Às vezes, df e dx são usados em vez de Δf e Δx.
Aproximações usando o diferencial
A fórmula aplicada para fazer uma aproximação através do diferencial surge precisamente da definição da derivada de uma função como limite.
Esta fórmula é dada por:
f (x) ≈ f (x0) + f ‘(x0) * (x-x0) = f (x0) + f’ (x0) * Δx.
Aqui entende-se que Δx = x-x0, portanto, x = x0 + Δx. Usando isso, a fórmula pode ser reescrita como
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f ‘(x0) * Δx.
Deve-se notar que “x0” não é um valor arbitrário, mas é um valor tal que f (x0) é facilmente conhecido; Além disso, “f (x)” é apenas o valor que queremos aproximar.
Existem abordagens melhores?
A resposta é sim. A anterior é a mais simples das aproximações denominadas «aproximação linear».
Para abordagens de melhor qualidade (o erro cometido é menor) são utilizados polinômios com mais derivados chamados “polinômios de Taylor”, além de outros métodos numéricos, como o método de Newton-Raphson, entre outros.
Estratégia
A estratégia a seguir é:
– Escolha uma função adequada f para realizar a aproximação e o valor “x” de modo que f (x) seja o valor a ser aproximado.
– Escolha um valor «x0», próximo a «x», de forma que f (x0) seja fácil de calcular.
– Calcular Δx = x-x0.
– Calcule a derivada da função y f ‘(x0).
– Substitua os dados na fórmula.
Exercícios de abordagem resolvida
A seguir, há uma série de exercícios em que são feitas aproximações usando o diferencial.
Primeiro exercício
√3 aproximado.
Solução
Seguindo a estratégia, uma função adequada deve ser escolhida. Nesse caso, pode-se observar que a função a ser escolhida deve ser f (x) = √x e o valor a ser aproximado é f (3) = √3.
Agora, um valor “x0” próximo a “3” deve ser escolhido de modo que f (x0) seja fácil de calcular. Se “x0 = 2” for escolhido, “x0” será próximo de “3”, mas f (x0) = f (2) = √2 não é fácil de calcular.
O valor de “x0” conveniente é “4”, pois “4” está próximo de “3” e também f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Se «x = 3» e «x0 = 4», então Δx = 3-4 = -1. Agora passamos a calcular a derivada de f. Ou seja, f ‘(x) = 1/2 * √x, de modo que f’ (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Substituindo todos os valores na fórmula que você obtém:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 – 1/4 = 7/4 = 1,75.
Se for utilizada uma calculadora, obtém-se que √3≈1,73205… Isso mostra que o resultado anterior é uma boa aproximação do valor real.
2º exercício
√10 aproximado.
Solução
Como antes, f (x) = √x é escolhido como uma função neste caso x = 10.
O valor de x0 que deve ser escolhido dessa vez é “x0 = 9”. Então temos que Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ef ‘(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Ao avaliar na fórmula, você obtém esse
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…
Usando uma calculadora, você obtém √10 ≈ 3,1622776 … Aqui você também pode ver que uma boa aproximação foi obtida antes.
Terceiro exercício
Aproximado √√10, onde ³√ indica a raiz do cubo.
Solução
Claramente, a função a ser usada neste exercício é f (x) = ³√x e o valor de “x” deve ser “10”.
Um valor próximo a “10”, de modo que sua raiz cúbica seja conhecida, é “x0 = 8”. Então você tem que Δx = 10-8 = 2 ef (x0) = f (8) = 2. Você também tem que f ‘(x) = 1/3 * ³√x² e, consequentemente, f’ (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Substituindo os dados na fórmula, você obtém o seguinte:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….
A calculadora diz que ³√10 ≈ 2,15443469… Portanto, a aproximação encontrada é boa.
Quarto exercício
Aproximadamente ln (1.3), onde “ln” indica a função natural do logaritmo.
Solução
Primeiro, escolha como função f (x) = ln (x) e o valor de “x” é 1,3. Agora, conhecendo um pouco da função do logaritmo, você pode saber que ln (1) = 0 e também “1” estão próximos de “1.3”. Portanto, “x0 = 1” é escolhido e, portanto, Δx = 1,3 – 1 = 0,3.
Por outro lado, f ‘(x) = 1 / x, de modo que f’ (1) = 1. Ao avaliar na fórmula fornecida, você deve:
ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.
Ao usar uma calculadora, você tem que ln (1.3) ≈ 0.262364… Portanto, a aproximação feita é boa.
Referências
- Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de resolução de problemas (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). Pré-cálculo (8 ed.). Cengage Learning
- Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida – Venezuela: Editorial Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
- Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo (Nona ed.). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial com funções transcendentes iniciais para Ciência e Engenharia (Segunda Edição, ed.). Hipotenusa
- Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Parte: Analytical Conics (1907) (reimpressão ed.). Fonte de Raios
- Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.