Como encontrar o MMC de duas frações: métodos, propriedades e exemplos

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Encontrar o mínimo múltiplo comum de duas frações pode parecer cabeludo à primeira vista, mas com um método certeiro tudo flui sem drama. A sacada é combinar o cálculo do MMC entre inteiros (que você talvez já domine) com uma regra prática que liga numeradores e denominadores quando estamos lidando com frações.

Antes de cair direto na regra para frações, vale recapitular rapidinho a base: o MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número positivo que aparece simultaneamente na lista de múltiplos de dois ou mais inteiros. A partir daí, vamos adaptar essa lógica para frações, ver como a fatoração em primos agiliza tudo, explorar propriedades essenciais (inclusive a relação clássica entre MMC e MDC) e aplicar em operações com frações e problemas do dia a dia.

O que é MMC e como enxergar múltiplos comuns

Quando falamos em múltiplos, listamos números que surgem ao multiplicar um inteiro por 1, 2, 3 e por aí vai. O MMC é justamente o primeiro número (o menor) que aparece em todas as listas de múltiplos dos números analisados. Isso ajuda a fixar a ideia antes de levar para frações.

Para ilustrar, veja três listas de múltiplos iniciais: M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …}; M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …}; M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …}. Perceba que 8 aparece em M(2) e M(8), enquanto 40 está em M(8) e M(10), entre outros. Esses são múltiplos em comum entre pares (ou trios) de listas.

Se o objetivo for o MMC de 4 e 8, basta olhar para os múltiplos: M(4) = {4, 8, 12, 16, …} e M(8) = {8, 16, 24, …}. O menor número que aparece nas duas listas é 8, logo MMC(4, 8) = 8. Simples e direto. Esse método de listar funciona muito bem para números pequenos, mas conforme crescem, fica pouco prático.

Como achar o MMC de duas frações

Agora sim: para duas frações a/b e c/d, existe uma regra útil e elegante. O MMC de frações é dado por MMC(a/b, c/d) = MMC(a, c) / MDC(b, d). Isto é, tiramos o MMC dos numeradores e dividimos pelo MDC dos denominadores.

Por que funciona? Pensando em múltiplos de frações, queremos um número racional que seja um múltiplo inteiro de ambas. Ao isolar a parte inteira (numeradores) e a parte que está “no denominador”, o ajuste natural é combinar MMC de cima com MDC de baixo, garantindo o menor valor positivo que ainda é múltiplo das duas frações.

Exemplo rápido: calcule o MMC de 6/5 e 8/15. MMC(6, 8) = 24; MDC(5, 15) = 5. Logo, MMC(6/5, 8/15) = 24/5. Se você testar múltiplos inteiros dessas frações, verá que 24/5 aparece como o menor comum.

Outro exemplo: MMC de 3/4 e 5/6. MMC(3, 5) = 15; MDC(4, 6) = 2. Portanto, MMC(3/4, 5/6) = 15/2. Essa expressão já está na forma irredutível, pois 15 e 2 são coprimos.

Relação entre MMC, MDC e uma fórmula-âncora

Existe uma propriedade clássica que não pode faltar: para inteiros a e b, vale MDC(a, b) · MMC(a, b) = |a · b|. Essa identidade é extremamente útil para conferir contas e também para saltar de um valor para o outro quando um deles já for conhecido.

Exemplo: para 8 e 4, sabe-se que MDC(8, 4) = 4 e MMC(8, 4) = 8. De fato, 4 · 8 = |8 · 4|. Essa validação é um ótimo check de praxe. Segura aí, ainda vem mais conteúdo importante logo abaixo, com propriedades que agilizam muito as contas de MMC.

Outra propriedade importante: se dois números são coprimos (não têm divisores comuns além de 1), então o MMC deles é o produto. Por exemplo, 5 e 21 são coprimos, então MMC(5, 21) = 105. A fatoração confirma: 21 = 3 · 7, e 5 é primo; juntando fatorações sem repetição desnecessária, o menor múltiplo comum é 3 · 5 · 7 = 105.

Também vale lembrar: todo múltiplo comum de dois números é, necessariamente, múltiplo do MMC desses números. No caso de 4 e 8, como MMC(4, 8) = 8, qualquer número que seja múltiplo de ambos terá de ser um múltiplo de 8.

Listagem de múltiplos vs fatoração em primos

Existem duas abordagens clássicas para achar MMC de inteiros. Listar múltiplos é visual e didático, mas só serve bem para números pequenos. Já a decomposição em fatores primos é a queridinha quando os números crescem.

Na fatoração em primos, quebramos cada número em produto de primos. Você começa testando divisões pelo menor primo possível (2), seguindo os critérios de divisibilidade, segue para 3, depois 5, e assim por diante, sempre dividindo o quociente resultante até chegar a 1.

Exemplo simples de fatoração: 40. Dividindo sucessivamente, obtemos 40 = 2 · 2 · 2 · 5 = 2³ · 5. Esse formato facilita muito porque expõe as potências de cada primo.

Para calcular o MMC de dois números pela fatoração, tomamos cada primo que aparece em qualquer um deles na maior potência que ocorrer. Exemplo: 40 e 60. Como 40 = 2³ · 5 e 60 = 2² · 3 · 5, o MMC é 2³ · 3 · 5 = 120. Note que usamos 2³ (a maior potência de 2 entre 40 e 60), 3 (que aparece em 60) e 5 (que aparece em ambos).

Essa técnica é útil inclusive quando um número é bem maior. Por exemplo, para achar MMC(121, 2), observe que 121 = 11 · 11 e 2 já é primo. Logo, o MMC é 2 · 11 · 11 = 242. Bem mais direto do que tentar listar múltiplos até encostar em 121.

Como o MMC entra nas operações com frações

Nas somas e subtrações com frações, o denominador comum é o MMC dos denominadores. Ao somar a/b + c/d, calculamos o MMC(b, d), ajustamos cada fração para esse denominador e somamos os numeradores resultantes.

Exemplo: 4/7 + 5/3. Os denominadores são 7 e 3, que são coprimos, então MMC(7, 3) = 21. Reescrevendo: 4/7 = 12/21 e 5/3 = 35/21. A soma fica 12/21 + 35/21 = 47/21. Se fosse subtração, o cuidado seria apenas com o sinal. A lógica do MMC no denominador é a mesma.

Esse mesmo raciocínio aparece todo dia em problemas práticos: alinhar ciclos, calendários, tempos de repetição etc. O MMC garante o “instante comum” mínimo em que dois ou mais eventos coincidem.

Exercício resolvido (tempo de repetição de lâmpadas)

Um pisca-pisca acende em ciclos de 45 s (amarelas), 60 s (verdes) e 27 s (azuis). As vermelhas só acendem quando todas as outras estão ligadas ao mesmo tempo. De quanto em quanto tempo (em minutos) as vermelhas acendem?

Basta calcular o MMC(60, 45, 27). Pela fatoração: 60 = 2² · 3 · 5, 45 = 3² · 5, 27 = 3³. Tomamos as maiores potências: 2² (vem de 60), 3³ (vem de 27) e 5 (aparece em 60 e 45). Logo, MMC = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 540 s. Convertendo: 540 s ÷ 60 = 9 minutos. Portanto, a resposta é 9 minutos.

Aliás, em listas de alternativas, a opção correta seria a letra b nesse caso. Esse tipo de questão é clássico em provas.

MMC e MDC simultaneamente por fatoração

Um jeito eficiente de ganhar tempo é fatorar os números em conjunto e extrair de uma vez tanto o MMC quanto o MDC. O truque é: MMC leva cada primo na maior potência que apareceu, enquanto o MDC leva apenas os primos que dividiram simultaneamente os números, nas menores potências comuns observadas.

Retomando 40 e 60: vimos que MMC(40, 60) = 2³ · 3 · 5 = 120. Já o MDC olha para as interseções: ambos têm 2² e 5 em comum. Então MDC(40, 60) = 2² · 5 = 20. Assim, com uma única fatoração matamos duas tarefas.

Uma dica prática: nas divisões sucessivas, use sempre o menor primo possível naquele passo. Mesmo que ele divida apenas um dos números naquele momento, siga adiante. Esse procedimento deixa a fatoração organizada e fiel ao Teorema Fundamental da Aritmética.

MDC de frações: a “regra gêmea” que completa o quadro

Se para o MMC de frações olhamos para MMC dos numeradores e MDC dos denominadores, existe uma regra “irmã” para o MDC de frações: MDC(a/b, c/d) = MDC(a, c) / MMC(b, d). Ou seja, trocamos os papéis no denominador, usando o MMC dos denominadores dessa vez.

Imagine as frações a/b e c/d como números racionais positivos. Queremos a maior fração que divida ambas (sem sair do conjunto dos racionais na forma m/n com inteiros). Tomar o MDC dos numeradores e o MMC dos denominadores entrega exatamente essa fração.

Exemplo ilustrativo: MDC de 12/7 e 18/5. Calculamos MDC(12, 18) = 6 e MMC(7, 5) = 35. Portanto, MDC(12/7, 18/5) = 6/35. Embora o foco desta página seja o MMC de frações, ter a fórmula gêmea ao alcance de mãos ajuda a completar o repertório.

Exemplos extras de MMC com fatoração e com listas

Vamos checar outro par, para reforçar o processo. MMC(8, 4) com fatoração: 8 = 2 · 2 · 2, 4 = 2 · 2. Tomamos a maior potência de 2, que é 2³, e obtemos MMC = 8. Como já vimos pela listagem, bate certinho.

Para números bem maiores, a listagem fica inviável. Por exemplo, MMC(2, 121) pela lista exigiria percorrer os múltiplos de 2 até um patamar alto. Pela fatoração, 121 = 11 · 11, e pronto: MMC = 2 · 11 · 11 = 242. Economia de tempo absurda.

Outra propriedade útil que sempre aparece no meio do caminho: se dois números são coprimos, o MMC é o produto. Para 7 e 3 (coprimos), MMC(7, 3) = 21. Essa observação acelera contas em várias passagens do conteúdo.

Ao mesmo tempo, todo múltiplo comum é um múltiplo do MMC. Isso garante que, depois de achar o MMC, qualquer verificação de múltiplos pode ser pensada como uma checagem de “ser múltiplo de X” (onde X é o MMC), o que organiza muito a análise.

Aplicando MMC em soma e subtração de frações na prática

Voltando à soma 4/7 + 5/3 já comentada, a ideia central é sempre a mesma: encontrar o denominador comum mínimo. Com 21 como denominador, fazemos a transformação mais econômica possível, evitando inflar os números além do necessário.

Para subtrações, a atenção redobra no sinal. Por exemplo, 5/6 – 1/4. Calculamos MMC(6, 4) = 12. Reescrevendo: 5/6 = 10/12 e 1/4 = 3/12. A diferença é 10/12 – 3/12 = 7/12. Sem truques ocultos: é MMC, reescrita, operação no numerador e simplificação se couber.

E caso surja a dúvida: “posso usar direto o produto dos denominadores?” Pode, mas o MMC garante o menor denominador comum, o que tende a produzir números mais amigáveis e reduz o trabalho de simplificação depois.

Exercícios para treinar (MMC e MDC juntos)

Pratique com estes conjuntos para consolidar o procedimento de fatoração simultânea e a identificação de MMC e MDC. Além de obter o MMC de frações com a regra apresentada, treinar MMC e MDC com inteiros afia a intuição.

Exercício 1 – Encontre MMC e MDC entre 10, 20 e 30. Dica: fatorando, 10 = 2 · 5, 20 = 2² · 5, 30 = 2 · 3 · 5. MMC = 2² · 3 · 5 = 60 e MDC = 2 · 5 = 10.

Exercício 2 – Encontre MMC e MDC entre 15, 25 e 45. Temos 15 = 3 · 5, 25 = 5², 45 = 3² · 5. MMC = 3² · 5² = 225 e MDC = 5. Observe como o MDC pega apenas fatores comuns a todos.

Exercício 3 – Encontre MMC e MDC entre 40, 60 e 80. Fatorando: 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5, 80 = 2⁴ · 5. MMC = 2⁴ · 3 · 5 = 240, MDC = 2² · 5 = 20. Note a regularidade do 2 e do 5 no MDC.

Dicas operacionais e boas práticas

Quando optar pela fatoração, organize as divisões pelo menor primo possível e registre as potências. Isso deixa o caminho para MMC e MDC imediatamente claro e evita retrabalho.

Ao trabalhar com frações, mantenha a forma irredutível quando terminar a conta. Depois de achar o denominador comum pelo MMC, simplifique o que der. Esse passo final deixa o resultado limpo e comparável.

Em problemas de sincronização (como ciclos de luzes, máquinas, horários), pense direto em MMC dos tempos envolvidos. É ele que dá o primeiro instante de coincidência. Se tiver que converter para minutos, horas etc., faça a conversão no fim para evitar fracionar contas no meio do caminho.

E sempre que surgir a dúvida entre listar múltiplos e fatorar, pondere o tamanho dos números. Para valores pequenos, listar é ok; para médios e grandes, fatoração em primos é a melhor amiga.

Conexões úteis: quando MDC entra no jogo

Embora o foco aqui seja o MMC de frações, muitas vezes o MDC aparece como coadjuvante (e, às vezes, como protagonista). A identidade MDC · MMC = |a · b| é uma ponte direta entre ambos. Se você conhece um deles, o outro vem em um passo.

Além disso, na fórmula do MMC de frações, o denominador usa o MDC dos denominadores. Na “regra gêmea” do MDC de frações, entra o MMC dos denominadores. Essa simetria ajuda a memorizar as duas sem tropeçar.

Para fechar esse bloco, uma lembrança: quando os números são coprimos, o MMC vira o produto. Guardar esse atalho reduz o esforço em várias situações, tanto em inteiros quanto quando ele surge embutido em cálculos com frações.

Observação pedagógica

Este conteúdo ecoa práticas muito usadas em sala de aula e em materiais didáticos. A fatoração passo a passo, a checagem pela identidade MDC · MMC e a aplicação do MMC em frações são pilares recorrentes em cursos de Matemática elaborados por docentes experientes. Incorporar esses hábitos ao seu estudo diário tende a acelerar seu raciocínio e dar mais confiança nas respostas.

Para quem gosta de explorar além, vale buscar listas de questões com comentários e resoluções. Elas costumam trazer variações interessantes do mesmo conceito (como ciclos, engrenagens, calendários), reforçando a versatilidade do MMC e do MDC.

Todo esse percurso — do conceito de múltiplos comuns à fórmula prática para frações — mostra que o MMC é uma ferramenta central tanto no mundo dos inteiros quanto no universo das frações. Em frações, a regra MMC(a/b, c/d) = MMC(a, c) / MDC(b, d) se soma à rotina de usar o MMC de denominadores para somar e subtrair, e a “regra gêmea” do MDC completa o quadro. Com fatoração em primos, as propriedades certas e um pouco de treino, os cálculos ficam redondos, rápidos e confiáveis.