O que é o Gravicentro? (com exemplos)

O gravicentro é uma definição amplamente usada em geometria ao trabalhar com triângulos.

Para entender a definição de gravicentro, primeiro é necessário conhecer a definição de “medianas” de um triângulo.

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As medianas de um triângulo são os segmentos de linha que começam em cada vértice e atingem o ponto médio do lado oposto desse vértice.

O ponto de interseção das três medianas de um triângulo é chamado de baricentro ou também é conhecido como gravicentro.

Não basta apenas conhecer a definição, é interessante saber como esse ponto é calculado.

Cálculo do Baricenter

Dado um triângulo ABC com vértices A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), o gravicentro é a interseção das três medianas do triângulo.

Uma fórmula rápida que permite o cálculo do gravicentro de um triângulo, sendo conhecidas as coordenadas de seus vértices:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Com esta fórmula, você pode conhecer a localização do gravicentro no plano cartesiano.

Características do Gravicentro

Não é necessário desenhar as três medianas do triângulo, porque ao desenhar duas delas será evidente onde está o gravicentro.

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O gravicentro divide cada mediana em 2 partes cuja proporção é de 2: 1, ou seja, os dois segmentos de cada mediana são divididos em segmentos de comprimentos 2/3 e 1/3 do comprimento total, sendo a distância maior do que existe. entre o vértice e o gravicentro.

A imagem a seguir ilustra melhor essa propriedade.

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A fórmula para o cálculo do gravicentro é muito simples de aplicar. A maneira de obter essa fórmula é calcular as equações da linha que definem cada mediana e, em seguida, encontrar o ponto de corte dessas linhas.

Exercícios

Abaixo está uma pequena lista de problemas com o cálculo do baricentro.

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1.- Dado um triângulo dos vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1,1), calcule o gravicentro do referido triângulo.

Usando a fórmula dada, pode-se concluir rapidamente que o gravicentro do triângulo ABC é:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Se um triângulo possui vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1 / 2,1), quais são as coordenadas do gravicentro?

Como os vértices do triângulo são conhecidos, a fórmula para o cálculo do gravicentro é aplicada. Portanto, o gravicentro possui coordenadas:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Calcule os possíveis gravicentros para um triângulo equilátero, de modo que dois de seus vértices sejam A = (0,0) e B = (2,0).

Neste exercício, apenas dois vértices do triângulo estão sendo especificados. Para encontrar os possíveis gravicentros, o terceiro vértice do triângulo deve primeiro ser calculado.

Como o triângulo é equilátero e a distância entre A e B é 2, o terceiro vértice C deve estar, deve estar à distância 2 de A e B.

Usando o fato de que em um triângulo equilátero a altura coincide com a mediana e também usando o teorema de Pitágoras, pode-se concluir que as opções para as coordenadas do terceiro vértice são C1 = (1, √3) ou C2 = (1, – √3).

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Portanto, as coordenadas dos dois possíveis gravicentros são:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).

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Graças às contas anteriores, também é possível notar que a mediana foi dividida em duas partes cuja proporção é 2: 1.

Referências

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustração ilustrada). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  4. Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.

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