Teorema de Thales de Mileto: Primeiro, Segundo e Exemplos

O primeiro e o segundo teoremas de Thales of Miletus baseiam-se na determinação de triângulos de outros semelhantes (primeiro teorema) ou circunferências (segundo teorema). Eles têm sido muito úteis em vários campos. Por exemplo, o primeiro teorema foi muito útil para medir grandes estruturas quando não havia instrumentos de medição sofisticados.

Thales of Miletus foi um matemático grego que forneceu grandes contribuições à geometria, das quais esses dois teoremas se destacam (em alguns textos eles também a escrevem como Thales) e suas aplicações úteis. Esses resultados foram utilizados ao longo da história e permitiram resolver uma grande variedade de problemas geométricos.

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Thales of Miletus

Primeiro teorema de Thales

O primeiro teorema de Thales é uma ferramenta muito útil que, entre outras coisas, permite construir um triângulo semelhante a outro, anteriormente conhecido. A partir daqui, são derivadas várias versões do teorema que podem ser aplicadas em múltiplos contextos.

Antes de fazer sua declaração, lembre-se de algumas noções de similaridade de triângulos. Essencialmente, dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são congruentes (eles têm a mesma medida). Isso resulta no fato de que, se dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais.

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O primeiro teorema de Thales afirma que, se em um determinado triângulo uma linha reta é desenhada paralela a qualquer um dos seus lados, o novo triângulo obtido será semelhante ao triângulo inicial.

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Também é obtida uma relação entre os ângulos formados, como pode ser visto na figura a seguir.

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Aplicação

Entre suas muitas aplicações, destaca-se um de particular interesse e tem a ver com uma das maneiras pelas quais medições de grandes estruturas foram feitas na antiguidade, época em que Thales viveu e em que não havia dispositivos modernos de medição que Eles existem agora.

Dizem que foi assim que Thales conseguiu medir a pirâmide mais alta do Egito, Quéops. Para fazer isso, Thales assumiu que os reflexos dos raios do sol tocavam o chão formando linhas paralelas. Sob essa suposição, ele enfiou uma vara ou vara verticalmente no chão.

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Então ele usou a semelhança dos dois triângulos resultantes, um formado pelo comprimento da sombra da pirâmide (que pode ser facilmente calculada) e a altura da pirâmide (o desconhecido), e o outro formado pelos comprimentos da sombra e a altura da varinha (que também pode ser facilmente calculada).

Usando a proporcionalidade entre esses comprimentos, você pode limpar e conhecer a altura da pirâmide.

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Embora esse método de medição possa gerar um erro de aproximação significativo em relação à precisão da altura e depender do paralelismo dos raios solares (que por sua vez depende de um tempo preciso), é preciso reconhecer que é uma ideia muito engenhosa e isso forneceu uma boa alternativa de medição para a época.

Exemplos

Encontre o valor de x em cada caso:

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Solução

Aqui temos duas linhas cortadas por duas linhas paralelas. Pelo primeiro teorema de Thales, tem-se que seus respectivos lados são proporcionais. Em particular:

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Solução

Aqui temos dois triângulos, um deles formado por um segmento paralelo a um lado do outro (precisamente o lado do comprimento x). Para o primeiro teorema de Thales, é necessário:

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Segundo teorema de Thales

O segundo teorema de Thales determina um triângulo retângulo inscrito em um círculo em cada ponto.

Um triângulo inscrito em um círculo é um triângulo cujos vértices estão no círculo, estando contidos nele.

Especificamente, o segundo teorema de Thales afirma o seguinte: dado um círculo do centro O e diâmetro AC, cada ponto B do círculo (exceto A e C) determina um triângulo retângulo ABC, com um ângulo reto <ABC.

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A título de justificativa, notemos que tanto OA como OB e OC correspondem ao raio da circunferência; Portanto, suas medidas são as mesmas. A partir daí, obtém-se que os triângulos OAB e OCB são isósceles, onde <OBC = <OCB = a e <OAB = <OBA = b.

Sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º. Usando isso com o triângulo ABC, você deve:

2b + 2a = 180º.

Equivalentemente, você deve b + a = 90º eb + a = <ABC, para que o triângulo ABC seja efetivamente retângulo.

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Observemos que o triângulo retângulo fornecido pelo segundo teorema de Thales é precisamente aquele cuja hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, é completamente determinado pelo semicírculo que contém os pontos do triângulo; neste caso, o semicírculo superior.

Observemos também que, no triângulo retângulo obtido por meio do segundo teorema de Thales, a hipotenusa é dividida em duas partes iguais por OA e OC (o raio). Por sua vez, essa medida é igual ao segmento OB (também o raio), que corresponde à mediana do triângulo ABC por B.

Em outras palavras, o comprimento médio do triângulo retângulo ABC correspondente ao vértice B é completamente determinado pela metade da hipotenusa. Lembre-se de que a mediana de um triângulo é o segmento de um dos vértices até o ponto médio do lado oposto; neste caso, o segmento BO.

Função circunscrita

Outra maneira de ver o segundo teorema de Thales é através de uma circunferência circunscrita a um triângulo retângulo.

Em geral, uma circunferência circunscrita a um polígono consiste na circunferência que passa por cada um de seus vértices, sempre que é possível desenhá-lo.

Usando o segundo teorema de Thales, dado um triângulo retângulo, sempre podemos construir uma circunferência circunscrita a ele, com um raio igual a metade da hipotenusa e o circuncentro (o centro da circunferência) igual ao ponto médio da hipotenusa.

Aplicação

Uma aplicação muito importante do segundo teorema de Thales, e talvez a mais usada, é encontrar as linhas tangentes em uma dada circunferência, por um ponto P externo a este (conhecido).

Observe que, dado um círculo (desenhado em azul na figura abaixo) e um ponto externo P, há duas linhas tangentes ao círculo que passam por P. Seja T e T ‘os pontos de tangência, r o raio do círculo e Ou o centro.

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Sabe-se que o segmento que vai do centro de um círculo até um ponto de tangência é perpendicular a essa linha tangente. Então, o ângulo OTP é reto.

Pelo que vimos anteriormente no primeiro teorema de Thales e em suas diferentes versões, vemos que é possível inscrever o triângulo OTP em outra circunferência (na cor vermelha).

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Da mesma forma, obtém-se que o triângulo OT’P pode ser inscrito na mesma circunferência anterior.

Pelo segundo teorema de Thales, também obtemos que o diâmetro dessa nova circunferência é precisamente a hipotenusa do triângulo OTP (que é igual à hipotenusa do triângulo OT’P), e o centro é o ponto médio dessa hipotenusa.

Para calcular o centro da nova circunferência, basta calcular o ponto médio entre o centro – digamos M – da circunferência inicial (que já sabemos) e o ponto P (que também sabemos). Então, o raio será a distância entre este ponto M e P.

Com o raio e o centro do círculo vermelho, podemos encontrar sua equação cartesiana, que lembramos que é dada por (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , onde c é o raio e o ponto (h, k) é o centro do círculo.

Conhecendo agora as equações de ambos os círculos, podemos interceptá-las resolvendo o sistema de equações formadas por eles e, assim, obtendo os pontos de tangência T e T ‘. Finalmente, para conhecer as retas tangentes desejadas, basta encontrar a equação das retas que passam por T e P, e por T ‘e P.

Exemplo

Considere uma circunferência de diâmetro CA, centro O e raio 1 cm. Seja B um ponto na circunferência tal que AB = AC. Qual é a altura AB?

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Solução

Pelo segundo teorema de Thales, temos que o triângulo ABC é um retângulo e a hipotenusa corresponde ao diâmetro, que neste caso mede 2 cm (o raio é de 1 cm). Então, pelo teorema de Pitágoras, temos que:

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Referências

  1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria e Trigonometria. Zapopan, Jalisco: Edições Umbral.
  2. Goodman, A. e Hirsch, L. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  3. Gutierrez, Á. Á. (2004). Metodologia e aplicações da matemática no Ministério da Educação do ESO .
  4. IGER (2014). Segundo semestre de matemática Zaculeu. Guatemala: IGER.
  5. José Jiménez, LJ (2006). Matematicas 2. Zapopan, Jalisco: Umbral Editions.
  6. M., S. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.
  7. Pérez, MA (2009). Uma história da matemática: desafios e conquistas através de seus personagens. Editorial Vision Books.
  8. Viloria, N. & Leal, J. (2005). Geometria analítica plana. Editorial Venezolana CA

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