O Teorema de Tales de Mileto é uma importante proposição matemática que estabelece uma relação entre os lados de um triângulo e suas respectivas projeções sobre uma reta paralela a um de seus lados. Este teorema foi enunciado pelo matemático grego Tales de Mileto no século VI a.C. e é fundamental para a geometria euclidiana. Neste artigo, vamos explorar o Teorema de Tales de Mileto em sua forma original e também em sua generalização para triângulos semelhantes, bem como apresentar alguns exemplos práticos de aplicação deste importante conceito matemático.
Entenda o Teorema de Tales e veja exemplos práticos de sua aplicação.
O Teorema de Tales é um importante conceito da geometria que estabelece uma relação entre segmentos de retas em triângulos semelhantes. Ele foi desenvolvido pelo matemático grego Tales de Mileto, por volta do século VI a.C.
O teorema afirma que em um triângulo qualquer, se traçarmos retas paralelas aos lados, os segmentos formados serão proporcionais aos lados correspondentes do triângulo. Em outras palavras, se dividirmos um lado qualquer de um triângulo por um segmento formado pela reta paralela a outro lado, obteremos o mesmo resultado para os outros lados do triângulo.
Um exemplo prático de aplicação do Teorema de Tales é na determinação de alturas inacessíveis. Por exemplo, se uma pessoa estiver em um terreno plano e quiser medir a altura de um prédio, ela pode usar o teorema para determinar a altura do prédio sem precisar subir nele.
Outro exemplo seria na resolução de problemas envolvendo sombras. Se duas pessoas de alturas diferentes estão sob a mesma luz solar, podemos usar o Teorema de Tales para determinar a altura de um objeto a partir do comprimento de sua sombra e da altura da pessoa que está projetando a sombra.
O que é o Teorema de Tales, atribuído a Mileto na Grécia Antiga?
O Teorema de Tales, atribuído a Mileto na Grécia Antiga, é um importante resultado da geometria que estabelece uma relação entre segmentos de retas paralelos em um triângulo. De acordo com esse teorema, se traçarmos duas retas paralelas que intersectam os lados de um triângulo, os segmentos formados nesses lados são proporcionais.
Mais especificamente, o Teorema de Tales afirma que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados em pontos distintos, então os segmentos formados são proporcionais. Isso significa que a razão entre os comprimentos desses segmentos é constante, independentemente do local onde a reta paralela corta os lados do triângulo.
Esse teorema é fundamental para a resolução de diversos problemas geométricos e é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física. Além disso, o Teorema de Tales é uma das bases da geometria euclidiana, sendo estudado e aplicado até os dias de hoje.
Primeiro Exemplo do Teorema de Thales
Um exemplo simples de aplicação do Teorema de Tales é o seguinte: considere um triângulo ABC, onde a reta r é paralela ao lado BC e corta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. De acordo com o teorema, temos que a razão entre os segmentos AD e DB é igual à razão entre os segmentos AE e EC, ou seja, AD/DB = AE/EC.
Segundo Exemplo do Teorema de Thales
Outro exemplo comum do Teorema de Tales é a aplicação em problemas de semelhança de triângulos. Ao utilizar esse teorema, podemos determinar propriedades dos triângulos e encontrar medidas desconhecidas com base nas proporções estabelecidas pelas retas paralelas.
Em resumo, o Teorema de Tales, atribuído a Mileto na Grécia Antiga, é um importante resultado geométrico que estabelece a propriedade de proporcionalidade entre segmentos de retas paralelas em um triângulo, sendo amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física.
A experiência de Tales de Mileto para descobrir seu famoso teorema geométrico.
Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego que viveu no século VI a.C. Ele é conhecido por seu famoso teorema geométrico, que leva seu nome. A história conta que Tales estava observando as pirâmides no Egito e percebeu que, independentemente do ângulo de incidência dos raios solares, a sombra projetada sempre tinha a mesma medida em relação à altura da pirâmide.
Com essa observação, Tales conseguiu deduzir que a razão entre a altura da pirâmide e a altura da sombra era constante, independente do ângulo de incidência dos raios solares. Esse foi o insight que levou Tales a formular seu famoso teorema geométrico, que afirma que em um triângulo retângulo, a razão entre os catetos é igual à razão entre um cateto e a hipotenusa.
Essa descoberta revolucionou a geometria e teve um impacto significativo no desenvolvimento da matemática. O teorema de Tales de Mileto é fundamental para resolver problemas de triangulação e é amplamente utilizado na prática, tanto na matemática pura quanto em aplicações práticas, como na engenharia e na arquitetura.
Teorias matemáticas desenvolvidas por Tales de Mileto: um panorama geral e detalhado.
Thales de Mileto foi um filósofo, matemático e astrônomo grego que viveu no século VI a.C. Ele é conhecido por suas contribuições significativas para a matemática, incluindo o famoso Teorema de Thales. Este teorema estabelece uma relação fundamental entre os lados de um triângulo e suas respectivas retas paralelas.
Thales desenvolveu várias teorias matemáticas que revolucionaram a geometria e a trigonometria. Uma de suas contribuições mais importantes foi a introdução de axiomas como base para a dedução teórica. Ele também foi um dos primeiros a aplicar o método da demonstração matemática em seus estudos, estabelecendo assim um padrão para a prática matemática racional.
O Teorema de Thales é dividido em duas partes principais: o Primeiro Teorema de Thales e o Segundo Teorema de Thales. O Primeiro Teorema define que, se duas retas são paralelas a uma terceira reta, então elas dividem esta terceira reta em segmentos proporcionais. Já o Segundo Teorema estabelece que, se três ou mais retas são paralelas a uma quarta reta, então elas dividem esta quarta reta em segmentos proporcionais.
Para exemplificar o Teorema de Thales, consideremos um triângulo ABC e uma reta paralela à base AB que intersecta os lados AC e BC nos pontos D e E, respectivamente. De acordo com o Primeiro Teorema de Thales, temos que os segmentos AD/DC = AE/EC = DB/BC. Isso significa que as razões dos segmentos são iguais, demonstrando a aplicação prática do teorema.
Em resumo, as teorias matemáticas desenvolvidas por Thales de Mileto, em particular o Teorema de Thales, são fundamentais para a compreensão da geometria e da trigonometria. Sua abordagem metodológica e seu rigor na demonstração matemática estabeleceram as bases para o desenvolvimento da matemática como a conhecemos hoje.
Teorema de Thales de Mileto: Primeiro, Segundo e Exemplos
O primeiro e o segundo teoremas de Thales of Miletus baseiam-se na determinação de triângulos de outros semelhantes (primeiro teorema) ou circunferências (segundo teorema). Eles têm sido muito úteis em vários campos. Por exemplo, o primeiro teorema foi muito útil para medir grandes estruturas quando não havia instrumentos de medição sofisticados.
Thales of Miletus foi um matemático grego que forneceu grandes contribuições à geometria, das quais esses dois teoremas se destacam (em alguns textos eles também a escrevem como Thales) e suas aplicações úteis. Esses resultados foram utilizados ao longo da história e permitiram resolver uma grande variedade de problemas geométricos.
Primeiro teorema de Thales
O primeiro teorema de Thales é uma ferramenta muito útil que, entre outras coisas, permite construir um triângulo semelhante a outro, anteriormente conhecido. A partir daqui, são derivadas várias versões do teorema que podem ser aplicadas em múltiplos contextos.
Antes de fazer sua declaração, lembre-se de algumas noções de similaridade de triângulos. Essencialmente, dois triângulos são semelhantes se seus ângulos são congruentes (eles têm a mesma medida). Isso resulta no fato de que, se dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais.
O primeiro teorema de Thales afirma que, se em um determinado triângulo uma linha reta é desenhada paralela a qualquer um dos seus lados, o novo triângulo obtido será semelhante ao triângulo inicial.
Também é obtida uma relação entre os ângulos formados, como pode ser visto na figura a seguir.
Aplicação
Entre suas muitas aplicações, destaca-se um de particular interesse e tem a ver com uma das maneiras pelas quais medições de grandes estruturas foram feitas na antiguidade, época em que Thales viveu e em que não havia dispositivos modernos de medição que Eles existem agora.
Dizem que foi assim que Thales conseguiu medir a pirâmide mais alta do Egito, Quéops. Para fazer isso, Thales assumiu que os reflexos dos raios do sol tocavam o chão formando linhas paralelas. Sob essa suposição, ele enfiou uma vara ou vara verticalmente no chão.
Então ele usou a semelhança dos dois triângulos resultantes, um formado pelo comprimento da sombra da pirâmide (que pode ser facilmente calculada) e a altura da pirâmide (o desconhecido), e o outro formado pelos comprimentos da sombra e a altura da varinha (que também pode ser facilmente calculada).
Usando a proporcionalidade entre esses comprimentos, você pode limpar e conhecer a altura da pirâmide.
Embora esse método de medição possa gerar um erro de aproximação significativo em relação à precisão da altura e depender do paralelismo dos raios solares (que por sua vez depende de um tempo preciso), é preciso reconhecer que é uma ideia muito engenhosa e isso forneceu uma boa alternativa de medição para a época.
Exemplos
Encontre o valor de x em cada caso:
Solução
Aqui temos duas linhas cortadas por duas linhas paralelas. Pelo primeiro teorema de Thales, tem-se que seus respectivos lados são proporcionais. Em particular:
Solução
Aqui temos dois triângulos, um deles formado por um segmento paralelo a um lado do outro (precisamente o lado do comprimento x). Para o primeiro teorema de Thales, é necessário:
Segundo teorema de Thales
O segundo teorema de Thales determina um triângulo retângulo inscrito em um círculo em cada ponto.
Um triângulo inscrito em um círculo é um triângulo cujos vértices estão no círculo, estando contidos nele.
Especificamente, o segundo teorema de Thales afirma o seguinte: dado um círculo do centro O e diâmetro AC, cada ponto B do círculo (exceto A e C) determina um triângulo retângulo ABC, com um ângulo reto <ABC.
A título de justificativa, notemos que tanto OA como OB e OC correspondem ao raio da circunferência; Portanto, suas medidas são as mesmas. A partir daí, obtém-se que os triângulos OAB e OCB são isósceles, onde <OBC = <OCB = a e <OAB = <OBA = b.
Sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º. Usando isso com o triângulo ABC, você deve:
2b + 2a = 180º.
Equivalentemente, você deve b + a = 90º eb + a = <ABC, para que o triângulo ABC seja efetivamente retângulo.
Observemos que o triângulo retângulo fornecido pelo segundo teorema de Thales é precisamente aquele cuja hipotenusa é igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, é completamente determinado pelo semicírculo que contém os pontos do triângulo; neste caso, o semicírculo superior.
Observemos também que, no triângulo retângulo obtido por meio do segundo teorema de Thales, a hipotenusa é dividida em duas partes iguais por OA e OC (o raio). Por sua vez, essa medida é igual ao segmento OB (também o raio), que corresponde à mediana do triângulo ABC por B.
Em outras palavras, o comprimento médio do triângulo retângulo ABC correspondente ao vértice B é completamente determinado pela metade da hipotenusa. Lembre-se de que a mediana de um triângulo é o segmento de um dos vértices até o ponto médio do lado oposto; neste caso, o segmento BO.
Função circunscrita
Outra maneira de ver o segundo teorema de Thales é através de uma circunferência circunscrita a um triângulo retângulo.
Em geral, uma circunferência circunscrita a um polígono consiste na circunferência que passa por cada um de seus vértices, sempre que é possível desenhá-lo.
Usando o segundo teorema de Thales, dado um triângulo retângulo, sempre podemos construir uma circunferência circunscrita a ele, com um raio igual a metade da hipotenusa e o circuncentro (o centro da circunferência) igual ao ponto médio da hipotenusa.
Aplicação
Uma aplicação muito importante do segundo teorema de Thales, e talvez a mais usada, é encontrar as linhas tangentes em uma dada circunferência, por um ponto P externo a este (conhecido).
Observe que, dado um círculo (desenhado em azul na figura abaixo) e um ponto externo P, há duas linhas tangentes ao círculo que passam por P. Seja T e T ‘os pontos de tangência, r o raio do círculo e Ou o centro.
Sabe-se que o segmento que vai do centro de um círculo até um ponto de tangência é perpendicular a essa linha tangente. Então, o ângulo OTP é reto.
Pelo que vimos anteriormente no primeiro teorema de Thales e em suas diferentes versões, vemos que é possível inscrever o triângulo OTP em outra circunferência (na cor vermelha).
Da mesma forma, obtém-se que o triângulo OT’P pode ser inscrito na mesma circunferência anterior.
Pelo segundo teorema de Thales, também obtemos que o diâmetro dessa nova circunferência é precisamente a hipotenusa do triângulo OTP (que é igual à hipotenusa do triângulo OT’P), e o centro é o ponto médio dessa hipotenusa.
Para calcular o centro da nova circunferência, basta calcular o ponto médio entre o centro – digamos M – da circunferência inicial (que já sabemos) e o ponto P (que também sabemos). Então, o raio será a distância entre este ponto M e P.
Com o raio e o centro do círculo vermelho, podemos encontrar sua equação cartesiana, que lembramos que é dada por (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , onde c é o raio e o ponto (h, k) é o centro do círculo.
Conhecendo agora as equações de ambos os círculos, podemos interceptá-las resolvendo o sistema de equações formadas por eles e, assim, obtendo os pontos de tangência T e T ‘. Finalmente, para conhecer as retas tangentes desejadas, basta encontrar a equação das retas que passam por T e P, e por T ‘e P.
Exemplo
Considere uma circunferência de diâmetro CA, centro O e raio 1 cm. Seja B um ponto na circunferência tal que AB = AC. Qual é a altura AB?
Solução
Pelo segundo teorema de Thales, temos que o triângulo ABC é um retângulo e a hipotenusa corresponde ao diâmetro, que neste caso mede 2 cm (o raio é de 1 cm). Então, pelo teorema de Pitágoras, temos que:
Referências
- Ana Lira, PJ (2006). Geometria e Trigonometria. Zapopan, Jalisco: Edições Umbral.
- Goodman, A. e Hirsch, L. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Gutierrez, Á. Á. (2004). Metodologia e aplicações da matemática no Ministério da Educação do ESO .
- IGER (2014). Segundo semestre de matemática Zaculeu. Guatemala: IGER.
- José Jiménez, LJ (2006). Matematicas 2. Zapopan, Jalisco: Umbral Editions.
- M., S. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.
- Pérez, MA (2009). Uma história da matemática: desafios e conquistas através de seus personagens. Editorial Vision Books.
- Viloria, N. & Leal, J. (2005). Geometria analítica plana. Editorial Venezolana CA