Como estimar somas e diferenças com frações

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Frações fazem parte do nosso dia a dia muito mais do que parece: estão nas receitas de bolo, na divisão de uma pizza, em descontos de promoções e até na hora de medir tempo e distância. Entender como trabalhar com elas, especialmente quando precisamos somar e subtrair, é essencial para ganhar segurança em matemática e evitar aqueles “brancos” na hora da prova.

Neste guia completo em português, você vai aprender a estimar e a calcular somas e diferenças com frações, passando por adição, subtração, frações mistas, MMC, método da borboleta e simplificação. A ideia é juntar a explicação formal com exemplos e exercícios resolvidos, comentários passo a passo e situações do cotidiano, para que o conteúdo faça sentido e não fique só na teoria.

O que é fração e por que ela representa uma parte do todo?

Uma fração é uma forma de representar partes de um todo, usando dois números inteiros separados por uma barra: o número de cima é o numerador e o número de baixo é o denominador. O numerador indica quantas partes estamos considerando e o denominador indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.

Por exemplo, em 3/8, o denominador 8 mostra que o inteiro foi dividido em 8 pedaços iguais, e o numerador 3 indica que estamos falando de 3 desses pedaços. Já em 5/12, o todo foi repartido em 12 partes, e estamos pegando 5 delas.

É importante lembrar que a leitura correta da fração ajuda a entender o problema: se uma barra de chocolate foi dividida em 8 quadradinhos, cada quadradinho vale 1/8 da barra; se você comeu 3 quadradinhos, comeu 3/8. Essa ideia vale para tempo (meia hora = 1/2 hora), dinheiro, alimentos, etc.

Outra noção essencial é perceber que frações diferentes podem representar o mesmo valor, como 1/2, 2/4, 3/6. Todas indicam a metade de um todo; são as chamadas frações equivalentes. Isso será muito útil na hora de somar e subtrair.

Adição e subtração de frações com denominadores iguais

Quando as frações têm o mesmo denominador, somar ou subtrair é a parte mais tranquila: basta manter o denominador e operar apenas com os numeradores. Em outras palavras, se o “tamanho dos pedaços” é igual, você só soma ou tira a quantidade de pedaços.

Na adição, somamos os numeradores e mantemos o denominador. Por exemplo, em 3/8 + 5/8, somamos 3 + 5 = 8 e mantemos 8 embaixo, obtendo 8/8, que é igual a 1 inteiro. Assim, 3/8 de pizza mais 5/8 de pizza formam uma pizza inteira.

Na subtração com denominadores iguais, fazemos algo análogo: 5/8 − 2/8 = (5 − 2)/8 = 3/8. O tamanho do pedaço (oitavo) é o mesmo, então só tiramos a quantidade de pedaços.

Veja outro exemplo numérico: 14/3 − 5/3 = (14 − 5)/3 = 9/3. Como 9/3 = 3, obtemos um número inteiro. Essa passagem de fração imprópria (numerador maior que o denominador) para número inteiro ou misto também será importante mais adiante.

Sempre que os denominadores forem iguais, você não precisa se preocupar com MMC nem com método da borboleta, apenas com a operação entre os numeradores e, quando necessário, com a simplificação da fração resultante.

Adição de frações com denominadores diferentes

Quando os denominadores são diferentes, as coisas ficam um pouco mais trabalhosas, mas o raciocínio é o mesmo: precisamos primeiro transformar as frações para que tenham um denominador comum, isto é, para que os pedaços tenham o mesmo tamanho. Depois disso, somamos os numeradores.

Existem duas formas muito usadas para encontrar esse denominador comum: usar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores ou usar o método prático da borboleta (multiplicação cruzada). Ambas levam ao mesmo resultado, mas cada uma pode ser mais prática em situações diferentes.

Vamos começar pelo método com MMC, bastante valorizado em livros e provas. A ideia é encontrar o menor número positivo que seja múltiplo de todos os denominadores envolvidos. Esse valor será o novo denominador da soma.

Depois que o MMC é encontrado, fazemos o famoso “divide e multiplica”: dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos esse resultado pelo numerador correspondente, obtendo o novo numerador equivalente no denominador comum.

Considere o exemplo de somar 3/8 e 9/20. Os denominadores são 8 e 20. Calculamos MMC(8, 20) = 40. Em seguida, transformamos as frações para denominador 40: 3/8 = (3 × 5)/(8 × 5) = 15/40, e 9/20 = (9 × 2)/(20 × 2) = 18/40.

Com as frações equivalentes já no mesmo denominador, basta somar os numeradores: 15/40 + 18/40 = (15 + 18)/40 = 33/40. Como 33 e 40 não possuem um divisor comum maior que 1, essa fração já está na forma irredutível.

Outro exemplo importante é a soma 1/2 + 2/3. O MMC entre 2 e 3 é 6. Então transformamos: 1/2 = 3/6 (multiplicando numerador e denominador por 3) e 2/3 = 4/6 (multiplicando ambos por 2). A soma fica 3/6 + 4/6 = 7/6, que é uma fração imprópria.

Quando a resposta é uma fração imprópria, muitas vezes é pedido que se converta para fração mista. No exemplo 7/6, dividimos 7 por 6: dá 1 inteiro e sobra 1, ou seja, 1 1/6. Em contexto escolar, é comum preferir a forma mista.

Método da borboleta (método prático) para somar frações

O método da borboleta, também chamado de cruzadinha, é muito popular entre estudantes, porque visualmente é simples e funciona bem para somar duas frações. A ideia é multiplicar “em cruz” os numeradores e denominadores, formando o numerador da resposta, e multiplicar os denominadores para formar o denominador comum.

Para somar a/b + c/d usando a borboleta, fazemos: a·d + b·c no numerador e b·d no denominador. Isto é, multiplicamos o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, somamos com o produto do denominador da primeira pelo numerador da segunda, e embaixo colocamos o produto dos denominadores.

Veja um exemplo prático: 3/7 + 4/5. Pelo método da borboleta, temos (3 × 5 + 7 × 4)/(7 × 5). Isso é (15 + 28)/35 = 43/35, que é uma fração imprópria. Se quisermos, transformamos em mista dividindo 43 por 35: 1 inteiro e sobra 8, resultando em 1 8/35.

Outro exemplo numérico é 2/5 + 4/9. Pelo mesmo método, fica (2 × 9 + 5 × 4)/(5 × 9) = (18 + 20)/45 = 38/45. Verificando a possibilidade de simplificação, notamos que 38 e 45 não têm divisores comuns maiores que 1, então a fração já está simplificada.

Para somas com mais de duas frações, uma estratégia é somar duas de cada vez usando a borboleta e, em seguida, somar o resultado com a fração seguinte, repetindo o processo. Em muitos casos, porém, o MMC pode ser mais eficiente com três ou mais frações.

Subtração de frações com denominadores diferentes

A subtração de frações segue a mesma lógica da adição, mudando apenas o sinal da operação. Primeiro, igualamos os denominadores usando MMC ou borboleta; depois, subtraímos os numeradores, mantendo o denominador comum.

Usando o MMC, o procedimento é praticamente idêntico ao da soma. Por exemplo, em 3/4 − 2/3, calculamos MMC(3, 4) = 12. Reescrevemos 3/4 como 9/12 (multiplicando numerador e denominador por 3) e 2/3 como 8/12 (multiplicando ambos por 4). Assim, 3/4 − 2/3 vira 9/12 − 8/12 = 1/12.

Outro exemplo importante é 2/3 − 4/8. Primeiro notamos que 4/8 pode ser simplificado para 1/2, o que já facilita. Mas, se quisermos ir direto com MMC entre 3 e 8, obtemos 24. Reescrevemos 2/3 como 16/24 e 4/8 como 12/24. A subtração fica 16/24 − 12/24 = 4/24, que ao simplificar por 4 se torna 1/6.

Usando o método da borboleta para subtração, só trocamos o sinal do numerador. Para a/b − c/d, fazemos (a·d − b·c)/(b·d). Um exemplo: 5/7 − 3/5 = (5 × 5 − 7 × 3)/(7 × 5) = (25 − 21)/35 = 4/35.

Outro exemplo com borboleta é 3/5 − 4/9: (3 × 9 − 5 × 4)/(5 × 9) = (27 − 20)/45 = 7/45. Novamente verificamos se dá para simplificar; aqui, não há divisor comum maior que 1, então a fração está irredutível.

MMC dos denominadores e o procedimento “divide e multiplica”

O uso do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é central nas operações com frações de denominadores diferentes. Ele garante que possamos transformar todas as frações em outras equivalentes, com o mesmo denominador, sem alterar o valor representado.

Para encontrar o MMC de dois ou mais denominadores, é comum usar fatoração em primos. Por exemplo, para 3 e 8, podemos decompor: 3 é primo (3) e 8 = 2³. Assim, MMC(3, 8) = 3 × 2³ = 24. Esse será o denominador comum.

Em casos com mais de dois denominadores, o raciocínio é o mesmo. Suponha que tenhamos denominadores 5, 17 e 8. Fatorando, identificamos os primos envolvidos e multiplicamos utilizando o maior expoente de cada primo para obter o MMC. Uma vez encontrado, usamos esse número como denominador das frações equivalentes.

Depois que o MMC é encontrado, entra o processo “divide e multiplica”: dividimos o MMC pelo denominador original de cada fração e multiplicamos o resultado pelo numerador correspondente. Isso gera o novo numerador no denominador comum. Se a fração tinha sinal negativo, mantemos esse sinal.

Por exemplo, se MMC = 18 e temos denominadores 9 e 2, fazemos 18 ÷ 9 = 2; multiplicando esse 2 pelo numerador de uma fração (digamos 25), obtemos 50. Já para o denominador 2, 18 ÷ 2 = 9; multiplicando 9 pelo numerador (por exemplo, 20 ou 42), geramos os novos numeradores equivalentes.

Frações equivalentes e simplificação (frações irredutíveis)

Durante as operações, é muito comum terminar com frações que podem ser simplificadas, isto é, frações em que o numerador e o denominador têm um divisor comum maior que 1. Simplificar significa dividir ambos pelo mesmo número, reduzindo a fração à sua forma mais simples.

Se tivermos, por exemplo, 248/18, podemos dividir numerador e denominador por 2, obtendo 124/9. Caso ainda haja divisor comum, continuamos o processo; quando não for mais possível, a fração é chamada de irredutível.

A simplificação não altera o valor da fração, apenas sua forma. Assim, 6/12 é o mesmo que 1/2, apenas escrito com números menores. Em contextos escolares, respostas em frações irredutíveis geralmente são preferidas.

Frações equivalentes surgem o tempo todo quando igualamos denominadores, como vimos ao transformar 2/5 em 16/40 ou 1/8 em 5/40. Essas frações representam a mesma quantidade, mas com denominações diferentes, adequadas ao denominador comum da operação.

Adição e subtração de frações mistas

Frações mistas são aquelas que combinam uma parte inteira com uma parte fracionária, como 2 1/3 ou 4 1/2. Em muitas situações práticas, pensar em fração mista é mais natural: “4 pizzas e meia”, “2 horas e um terço”, etc.

Para somar ou subtrair frações mistas, existem duas estratégias principais. A mais direta é separar as partes inteiras das fracionárias: somar ou subtrair os inteiros e, depois, realizar a operação com as frações. Se necessário, ajustamos o resultado fracionário (fazendo empréstimo ou transformando em inteiro adicional).

Veja um exemplo de soma: 2 1/3 + 3 2/5. Primeiro, somamos as partes inteiras: 2 + 3 = 5. Depois, somamos as frações 1/3 + 2/5. Igualando denominadores (MMC(3, 5) = 15), obtemos 5/15 + 6/15 = 11/15. O resultado final é 5 11/15.

Agora um exemplo de subtração: 4 1/2 − 3 2/5. Primeiro, 4 − 3 = 1. Depois, subtraímos 1/2 − 2/5. O MMC de 2 e 5 é 10, então 1/2 = 5/10 e 2/5 = 4/10. A operação fica 5/10 − 4/10 = 1/10. Juntando, temos 1 1/10.

Outra forma possível é transformar as frações mistas em frações impróprias (por exemplo, 2 1/3 vira 7/3) e fazer a operação normalmente; ao final, se quiser, converte-se de volta para misto. Muitas vezes, isso simplifica o uso de MMC ou borboleta.

Situações do cotidiano: interpretar problemas com frações

Grande parte das questões de prova usa enunciados com histórias do dia a dia, como bolos, pizzas, barras de chocolate e ovos, justamente para treinar a interpretação de frações de forma concreta.

Considere o exemplo da barra de chocolate com 8 quadradinhos. Se alguém comeu 3 quadradinhos ontem e 2 hoje, a fração que já foi consumida é 3/8 + 2/8 = 5/8, e a fração que restou é 3/8. Em alternativas de múltipla escolha, a resposta correta seria “Comi 5/8 e sobrou 3/8”.

Outro exemplo clássico é o de um bolo dividido em 12 pedaços iguais. Se João come 3/12 e Maria 4/12, queremos saber quanto foi consumido ao todo: 3/12 + 4/12 = 7/12. Nesse caso, como os denominadores são iguais, a operação é direta.

Também é comum aparecerem problemas envolvendo ovos e receitas. Por exemplo, se Ana tem 6 ovos, usa metade para fazer um bolo (3 ovos) e um terço para fazer omelete (2 ovos), a quantidade usada é 3 + 2 = 5 ovos. Podemos pensar tudo em frações (1/2 e 1/3 do total) ou transformar em números inteiros, já que a quantidade é pequena e discreta.

Problemas com pizza, como o de Agnaldo, ajudam a fixar a subtração. Se ele tinha 2/5 de pizza e o irmão come 1/8, o que sobra é 2/5 − 1/8. Igualando denominadores (MMC(5, 8) = 40), reescrevemos 2/5 como 16/40 e 1/8 como 5/40. A diferença é 16/40 − 5/40 = 11/40 de pizza restante.

Multiplicação e divisão de frações: visão geral

Embora o foco aqui sejam somas e diferenças, entender multiplicação e divisão de frações completa o quadro das operações e ajuda quando aparecem expressões mistas com mais de uma operação.

A multiplicação de frações é direta: multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Por exemplo, (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. Depois, verificamos se a fração pode ser simplificada.

Na divisão, o truque é transformar a operação em multiplicação pelo inverso. Se queremos dividir a/b por c/d, fazemos a/b × d/c. Isto é, repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Então multiplicamos numeradores e denominadores normalmente.

Em qualquer resultado, seja de multiplicação ou divisão, a simplificação continua sendo obrigatória para chegar à forma irredutível. Isso ajuda na comparação de frações e evita respostas “gigantes” desnecessárias.

Saber todas as quatro operações com frações — adição, subtração, multiplicação e divisão — dá segurança para lidar com expressões mais complexas, em que é preciso seguir a prioridade das operações (multiplicar e dividir antes de somar e subtrair) e, às vezes, trabalhar com frações mistas e inteiros ao mesmo tempo.

Exemplos resolvidos de adição e subtração de frações

Para fixar o conteúdo, vale olhar com calma alguns exercícios comentados. Assim, fica mais fácil perceber onde costumam surgir dúvidas e como evitá-las.

Exemplo 1 – Soma com mesmo denominador Um bolo foi dividido em 12 pedaços. João comeu 3/12 e Maria 4/12. Quanto já foi consumido? Como o denominador é o mesmo (12), somamos os numeradores: 3/12 + 4/12 = 7/12. Portanto, 7/12 do bolo foi consumido.

Exemplo 2 – Subtração com denominadores diferentes Agnaldo tinha 2/5 de uma pizza, e seu irmão comeu 1/8 dessa pizza. Quanto sobrou para ele? Primeiro, igualamos denominadores: MMC(5, 8) = 40. Reescrevemos as frações: 2/5 = 16/40 e 1/8 = 5/40. Depois subtraímos: 16/40 − 5/40 = 11/40. Então Agnaldo ficou com 11/40 da pizza.

Exemplo 3 – Soma com MMC Vamos somar 2/3 + 4/8. O MMC de 3 e 8 é 24. Transformando: 2/3 = (2 × 8)/(3 × 8) = 16/24; 4/8 = (4 × 3)/(8 × 3) = 12/24. Somando: 16/24 + 12/24 = 28/24. Podemos simplificar dividindo por 4, obtendo 7/6, e, se quisermos, escrevemos como fração mista: 1 1/6.

Exemplo 4 – Subtração com borboleta Calcule 3/5 − 4/9. Pelo método da borboleta, temos (3 × 9 − 5 × 4)/(5 × 9) = (27 − 20)/45 = 7/45. Como 7 e 45 não têm divisor comum maior que 1, o resultado já está simplificado.

Dominar operações com frações — especialmente como estimar, somar e subtrair, usar MMC, método da borboleta, frações mistas e simplificação — transforma um tema que parece complicado em algo bem mais tranquilo, útil tanto para provas quanto para situações reais, como ler receitas, dividir contas ou interpretar porcentagens no dia a dia.