Como ordenar frações da menor para a maior de forma fácil

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Entender como ordenar frações da menor para a maior é uma habilidade básica de matemática que aparece o tempo todo: em provas, em concursos e até em situações do dia a dia, como comparar partes de receitas, descontos ou medidas. Mesmo quem já sabe fazer contas com frações pode ficar em dúvida na hora de colocar várias delas em ordem crescente, especialmente quando os denominadores são todos diferentes.

Neste artigo, vamos destrinchar com calma todas as ideias envolvidas em ordenar frações com numeradores e denominadores distintos, explicando o uso do mínimo múltiplo comum (MMC), mostrando exemplos detalhados passo a passo e comentando dúvidas típicas, como a relação entre frações equivalentes (por exemplo, 3/20, 6/24 e 9/54). A ideia é que você termine a leitura não só sabendo o “como fazer”, mas também o “por quê” de cada etapa, de um jeito bem natural, como se estivesse revisando com um professor particular.

O que significa ordenar frações da menor para a maior

Quando falamos em ordenar frações da menor para a maior (ordem crescente), estamos simplesmente organizando vários números fracionários em sequência, começando pela fração que representa a menor quantidade e terminando na que representa a maior parte. Apesar de parecer algo simples, a dificuldade surge porque, em geral, as frações aparecem com denominadores diferentes, o que impede uma comparação direta só “batendo o olho”.

Por exemplo, se você tem as frações 1/3, 4/9, 7/12 e 3/4, não é tão óbvio, à primeira vista, qual delas é a menor ou a maior. Sabemos que todas representam partes de um todo, mas como esses “todos” têm tamanhos diferentes (3, 9, 12 e 4), fica complicado comparar sem fazer algum tipo de transformação ou cálculo auxiliar.

Um ponto importante é lembrar que frações equivalentes representam a mesma quantidade, mesmo que numerador e denominador sejam diferentes. Por exemplo, 1/2 é igual a 2/4, 3/6, 50/100 etc. Essa ideia vai ser usada o tempo todo ao trabalhar com MMC, pois é justamente ao transformar frações em equivalentes com o mesmo denominador que conseguimos comparar os numeradores de maneira direta.

O objetivo principal da técnica com MMC é levar todas as frações a um denominador comum, ou seja, fazer com que todas “falem a mesma língua”. Depois disso, fica muito mais simples: basta olhar para os numeradores e decidir qual fração é menor ou maior. Esse processo funciona tanto para ordenar da menor para a maior (ordem crescente) quanto para ordenar da maior para a menor (ordem decrescente).

Na prática, portanto, ordenar frações nada mais é do que comparar quantidades representadas de forma diferente, usando ferramentas como frações equivalentes, MMC, e em alguns casos até conversão para decimal, quando isso for conveniente. O segredo está em aplicar o método certo, de forma organizada, para não se perder no meio dos cálculos.

Passo a passo: usando o MMC para ordenar frações

Uma das maneiras mais eficientes e ensinadas na escola para ordenar frações com denominadores diferentes é usar o MMC (mínimo múltiplo comum). A ideia é simples: você encontra um número que seja múltiplo de todos os denominadores envolvidos e transforma todas as frações para esse novo denominador. Com isso, a comparação vira algo bem mais direto.

De forma geral, o processo pode ser organizado em quatro etapas lógicas, que se repetem sempre que você tiver um conjunto de frações para ordenar:

• Primeira etapa: encontrar o MMC dos denominadores de todas as frações.
• Segunda etapa: transformar cada fração em uma fração equivalente com esse denominador comum (igual ao MMC).
• Terceira etapa: comparar os numeradores das frações equivalentes obtidas.
• Quarta etapa: reescrever a ordem, voltando às frações originais, agora já sabendo qual é menor e qual é maior.

Esses quatro momentos formam uma espécie de “roteiro padrão” que funciona para qualquer conjunto de frações com numeradores e denominadores inteiros positivos. A única diferença, de um exercício para outro, é o trabalho necessário para achar o MMC e multiplicar os numeradores e denominadores de forma correta.

É importante destacar que a etapa de transformar para denominadores iguais se baseia na noção de frações equivalentes: multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número para não alterar o valor que ela representa. Assim, garantimos que, depois da transformação, todas as frações ainda “valem” o mesmo que antes, apenas estão escritas de outra forma.

Depois que você se acostuma com esse caminho, o procedimento fica bem automático: você bate o olho nos denominadores, pensa no MMC, faz as multiplicações necessárias e parte para a comparação dos numeradores. O que dá trabalho, principalmente no início, é organizar os cálculos do MMC e ter cuidado com pequenos erros de multiplicação, mas isso melhora rápido com prática.

Exemplo completo: ordenando 4/9, 1/3, 7/12 e 3/4

Vamos detalhar um exemplo clássico que aparece com frequência em exercícios: ordenar as frações 4/9, 1/3, 7/12 e 3/4, tanto da maior para a menor (ordem decrescente) quanto da menor para a maior (ordem crescente). Esse exemplo é interessante porque tem quatro denominadores diferentes (9, 3, 12 e 4), exigindo um cuidado especial na hora de achar o MMC.

Primeiro, listamos as frações que queremos comparar:

4/9, 1/3, 7/12 e 3/4

Nosso primeiro objetivo é encontrar o MMC dos denominadores 3, 4, 9 e 12. Uma forma bastante usada é a decomposição simultânea em fatores primos, organizando os números em uma espécie de “tabela de fatoração”. Em texto, essa decomposição pode ser visualizada assim:

Começamos com os números 3, 4, 9 e 12 na mesma linha e vamos dividindo por números primos, sempre que possível:

• Dividindo por 2: 3, 4, 9, 12 → 3, 2, 9, 6
• Dividindo por 2 de novo: 3, 2, 9, 6 → 3, 1, 9, 3
• Dividindo por 3: 3, 1, 9, 3 → 1, 1, 3, 1
• Dividindo por 3 mais uma vez: 1, 1, 3, 1 → 1, 1, 1, 1

Multiplicando todos os fatores primos usados (2, 2, 3 e 3), obtemos o MMC dos denominadores:

MMC(3, 4, 9, 12) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

Agora, passamos para a etapa de transformar cada fração em uma equivalente com denominador 36. Para isso, verificamos por quanto precisamos multiplicar cada denominador original para chegar em 36 e fazemos a mesma multiplicação no numerador:

• Para a fração 4/9: 36 ÷ 9 = 4, então multiplicamos numerador e denominador por 4: 4/9 = (4 × 4) / (9 × 4) = 16/36.
• Para a fração 1/3: 36 ÷ 3 = 12, multiplicamos numerador e denominador por 12: 1/3 = (1 × 12) / (3 × 12) = 12/36.
• Para a fração 7/12: 36 ÷ 12 = 3, multiplicamos numerador e denominador por 3: 7/12 = (7 × 3) / (12 × 3) = 21/36.
• Para a fração 3/4: 36 ÷ 4 = 9, multiplicamos numerador e denominador por 9: 3/4 = (3 × 9) / (4 × 9) = 27/36.

Depois dessas transformações, temos o seguinte conjunto de frações equivalentes todas com denominador 36:

4/9 = 16/36, 1/3 = 12/36, 7/12 = 21/36, 3/4 = 27/36

Agora, comparar as frações ficou muito mais fácil, porque basta olhar para os numeradores: 12, 16, 21 e 27. Sabendo que 12 < 16 < 21 < 27, conseguimos estabelecer uma ordem direta entre as frações com denominador 36:

12/36 < 16/36 < 21/36 < 27/36

Como cada uma delas corresponde a uma fração original do exercício, podemos reescrever a ordem de forma equivalente, trocando as frações equivalentes de volta pelas frações iniciais:

1/3 < 4/9 < 7/12 < 3/4

Essa é a ordem crescente (da menor para a maior) das frações dadas. Se quisermos a ordem decrescente (do maior para o menor), é só inverter a sequência:

3/4 > 7/12 > 4/9 > 1/3

Note como o uso do MMC e de frações equivalentes simplificou o problema. No começo, comparar 4/9 com 7/12 ou 1/3 com 3/4 parecia bem mais trabalhoso, mas, depois de colocar tudo no mesmo denominador (36), bastou fazer uma comparação entre números inteiros.

Entendendo melhor o uso do MMC nos denominadores

O MMC, ou mínimo múltiplo comum, é uma ferramenta central na comparação e ordenação de frações, especialmente quando temos mais de duas frações e denominadores bem diferentes entre si. A função dele é garantir um denominador único, o menor possível, que seja múltiplo de todos os denominadores envolvidos.

Para reforçar a ideia, pense assim: quando colocamos todas as frações com denominador 36 no exemplo anterior, estamos enxergando todas como “pedaços” de um mesmo tipo de inteiro. Em vez de falar em “nove partes”, “doze partes” ou “quatro partes” diferentes, passamos a falar em “trinta e seis partes” para todas, o que torna a comparação muito mais intuitiva.

Existem outras formas de encontrar o MMC, além da fatoração simultânea. Você pode, por exemplo, decompor cada denominador separadamente em fatores primos, identificando depois quais fatores se repetem e em que potência, ou pode usar listas de múltiplos de cada número até achar um múltiplo em comum. Para problemas com números menores, essas alternativas também funcionam bem.

Independente do método escolhido para encontrar o MMC, o importante é manter a atenção na etapa seguinte: a conversão das frações para denominadores iguais. Multiplicar numerador e denominador pelo fator errado é um erro comum de quem está começando, então vale a pena revisar a conta 36 ÷ denominador sempre que tiver dúvida.

Uma vantagem adicional do uso do MMC é que a mesma ideia se aplica em outras situações, como adição e subtração de frações. Quando você estiver somando ou subtraindo frações com denominadores diferentes, o raciocínio será bem parecido: encontrar o MMC, transformar em frações equivalentes com denominador comum e, em seguida, trabalhar com os numeradores.

Conversão para frações equivalentes: por que funciona

Toda vez que multiplicamos numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número, estamos criando uma fração equivalente, ou seja, que representa a mesma quantidade que a original, só que escrita de um jeito diferente. Esse é o fundamento que garante que o processo de usar o MMC não altera o valor das frações, apenas as torna comparáveis.

Por exemplo, quando escrevemos 4/9 como 16/36, multiplicamos numerador e denominador por 4. Se você simplificar 16/36 dividindo ambos por 4, voltará para 4/9. De forma parecida, 1/3 vira 12/36 ao multiplicarmos por 12, e, ao simplificar 12/36 por 12, voltamos a 1/3. Isso mostra que a transformação de ida e volta preserva o valor da fração.

Esse conceito de equivalência também ajuda a entender por que podemos comparar só os numeradores quando todas as frações têm o mesmo denominador. Se o denominador representa em quantas partes o todo foi dividido, comparar numeradores iguais significa olhar para “quantas partes” temos em cada caso, com o mesmo tamanho de parte para todos.

Na prática, isso significa que, depois de transformar 4/9, 1/3, 7/12 e 3/4 para denominador 36, olhar para 12/36, 16/36, 21/36 e 27/36 é o mesmo que comparar 12, 16, 21 e 27 unidades de um mesmo “tamanho de fatia”. Quanto maior o numerador, maior é a fração como um todo, desde que o denominador seja igual.

É por isso que dizemos que a fração com numerador maior é a maior, depois que igualamos os denominadores. Essa regra não valeria se os denominadores fossem diferentes, mas, ao padronizar tudo com o MMC, transformamos o problema em uma simples comparação entre números inteiros.

Do maior para o menor e da menor para a maior: ligação entre as duas ordens

Muitos exercícios pedem para ordenar as frações em ordem decrescente (do maior para o menor), mas a intenção de quem está estudando é justamente saber como ordená-las da menor para a maior. Na verdade, essas duas tarefas são praticamente o mesmo problema, só que “lido ao contrário”.

Quando, no exemplo estudado, obtivemos que 3/4 > 7/12 > 4/9 > 1/3, conseguimos automaticamente também a ordem crescente, bastando inverter a sequência: 1/3 < 4/9 < 7/12 < 3/4. Isso mostra que, depois de dominar o processo, você não precisa se preocupar demais com o sentido da ordenação, pois um resultado leva diretamente ao outro.

Uma boa estratégia na hora da prova ou da lição de casa é decidir qual direção de ordenação você acha mais natural, fazer o procedimento inteiro nesse sentido e, se o enunciado tiver pedido a ordem contrária, simplesmente reescrever a sequência de trás para frente.

Também é interessante observar que o método com MMC não depende da direção da comparação. Quer você esteja pensando em “quem é menor” ou “quem é maior”, o processo de achar o MMC, criar frações equivalentes e comparar numeradores será o mesmo. Só o jeito de organizar o resultado final é que muda.

Essa flexibilidade ajuda a ganhar confiança: uma vez que você entenda bem e memorize o procedimento, qualquer solicitação de ordenação de frações, seja crescente ou decrescente, vai ser só uma variação do mesmo raciocínio.

Um caso prático: 3/20, 6/24 e 9/54

Além do exemplo com 4/9, 1/3, 7/12 e 3/4, é comum surgirem dúvidas específicas com outros conjuntos de frações. Uma situação típica é quando você percebe que duas frações têm um múltiplo comum nos denominadores, mas não enxerga tão facilmente como incluir uma terceira fração nesse mesmo raciocínio, como acontece com 3/20, 6/24 e 9/54.

Imagine que você tenha reparado que os denominadores 20 e 24 podem estar relacionados a algum múltiplo comum, como 120 (pois 120 é múltiplo de 20 e de 24), mas esteja com dificuldade para “encaixar” 54 nessa conta. A pergunta que surge é: qual seria o denominador comum adequado para comparar as três frações de forma justa?

Uma maneira organizada de resolver isso é justamente voltar ao conceito de MMC e calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores 20, 24 e 54. Em vez de tentar “adivinhar” um múltiplo na base da intuição, usamos o método sistemático de fatoração em primos para não correr o risco de escolher um número que não sirva para todos.

Para isso, decompomos os denominadores em fatores primos (apesar de os cálculos detalhados não terem sido mostrados no conteúdo original, a ideia é complementá-los aqui com o raciocínio correto):

• 20 = 2² × 5
• 24 = 2³ × 3
• 54 = 2 × 3³

O MMC é obtido tomando-se todos os fatores primos que aparecem, sempre com o maior expoente com que surgem em qualquer decomposição. Assim, precisamos de 2³ (por causa do 24), 3³ (por causa do 54) e 5¹ (por causa do 20). Multiplicando todos, temos:

MMC(20, 24, 54) = 2³ × 3³ × 5 = 8 × 27 × 5 = 1080

Isso significa que 1080 é um denominador comum que serve para as três frações 3/20, 6/24 e 9/54. A partir daqui, poderíamos transformar cada uma em uma fração equivalente com denominador 1080 e, então, comparar os numeradores para ordenar da menor para a maior, seguindo exatamente a mesma lógica usada antes.

Perceba que o “múltiplo comum 120”, citado em relação a 3/20 e 6/24, não seria suficiente para incluir 9/54, pois 120 não é múltiplo de 54. Essa é justamente a importância de usar o MMC de todos os denominadores envolvidos, garantindo que o denominador escolhido realmente sirva para todas as frações do conjunto.

Dicas práticas para não se perder ao ordenar frações

Uma vez entendido o procedimento com MMC e frações equivalentes, muitos erros que surgem na prática estão ligados à organização dos cálculos e à pressa. Algumas dicas simples podem tornar o processo mais tranquilo, diminuindo a chance de confusão.

Primeiro, liste todas as frações em uma linha ou coluna, destacando os denominadores. Isso ajuda a visualizar quais números entrarão no cálculo do MMC e evita que você esqueça alguma fração no meio do caminho.

Segundo, faça o cálculo do MMC de forma organizada, seja usando a decomposição simultânea (aquela espécie de “tabela de divisões sucessivas”) ou decompondo cada denominador individualmente. O essencial é registrar cada passo, para poder revisar se surgir alguma dúvida posteriormente.

Terceiro, ao transformar as frações para o denominador comum, sempre escreva claramente qual foi o fator pelo qual você multiplicou numerador e denominador. Por exemplo, ao passar de 1/3 para 12/36, anote que o fator utilizado foi 12. Isso diminui bastante o risco de erro por multiplicação trocada.

Quarto, depois de obter as frações equivalentes com o mesmo denominador, destaque os numeradores (pode ser sublinhando ou circulando no caderno). Isso ajuda a focar só nos números inteiros na hora da comparação, sem se confundir com o denominador que agora é igual para todos.

Por fim, não se esqueça de reescrever a resposta com as frações originais, depois de definir a ordem correta. O objetivo do exercício, na maioria das vezes, é dar a ordem usando as frações como foram apresentadas no enunciado, e não apenas as versões equivalentes utilizadas no meio do caminho.

Dominar a ordenação de frações usando MMC possibilita resolver com segurança desde questões bem básicas até problemas um pouco mais elaborados, como aqueles que misturam comparação de frações, operações e interpretação de enunciados. Com o hábito de aplicar o mesmo raciocínio passo a passo, a dificuldade tende a diminuir, e a comparação entre frações passa a ser algo bastante natural nas suas resoluções.