Como resolver problemas de propriedade distributiva com frações

Início » Ciência » Matemática » Como resolver problemas de propriedade distributiva com frações

A propriedade distributiva com frações é um daqueles assuntos de álgebra que, à primeira vista, parece confuso, mas que se torna bem tranquilo quando entendemos o que está acontecendo em cada etapa. Muita gente trava quando vê parênteses, números fracionários e letras misturados na mesma equação, principalmente porque os passos intermediários nem sempre ficam claros em calculadoras online ou aplicativos de matemática.

Neste artigo em português, vamos destrinchar com calma como aplicar a propriedade distributiva em expressões e equações que envolvem frações, mostrando o raciocínio por trás de cada passo e explicando como organizar os termos até chegar ao valor da incógnita. A ideia é unir teoria, exemplos comentados e exercícios práticos, com um tom bem direto e próximo da linguagem do dia a dia, para que você possa se sentir seguro na hora de resolver esse tipo de problema sozinho.

O que é a propriedade distributiva (inclusive com frações)?

A propriedade distributiva é a regra que liga a multiplicação com a adição e a subtração, permitindo “espalhar” um fator que está fora dos parênteses por todos os termos que estão dentro deles. Em outras palavras, quando temos um número ou uma variável multiplicando uma soma ou uma diferença, podemos multiplicar esse fator por cada termo e depois somar ou subtrair os resultados.

De forma geral, sem ainda pensar em frações, a propriedade se escreve assim: a · (b + c) = a · b + a · c e a · (b − c) = a · b − a · c. Essa mesma lógica funciona perfeitamente quando b e c são frações, números decimais ou até expressões com letras, desde que a gente respeite as operações de multiplicação e os sinais.

Quando entram frações na história, a única diferença é que as multiplicações a · b e a · c passam a ser multiplicações de frações ou de número inteiro com fração, o que exige atenção ao cálculo de numerador e denominador. Mesmo assim, a estrutura da regra distributiva permanece exatamente a mesma.

Um ponto importante é que a propriedade distributiva não serve apenas para “abrir” parênteses, mas também para organizar e simplificar expressões, fatorar termos e resolver equações em que precisamos isolar a incógnita, como veremos mais adiante.

Entendendo o exemplo: por que multiplicar a equação por 2 funciona?

Considere a equação com frações e variável n: ((1/2)n) − 3(n + 4) = 2/3, que costuma gerar muita dúvida quando algum site ou app simplesmente manda “multiplicar tudo por 2” sem explicar o porquê. O objetivo dessa etapa é se livrar do denominador 2 que está aparecendo na fração 1/2, tornando os cálculos seguintes mais simples.

Quando um passo de resolução pede para multiplicar “os dois lados da equação por 2”, isso significa aplicar a mesma operação a todos os termos da igualdade: 2 · = 2 · (2/3). Repare que o 2 multiplica o lado esquerdo inteiro (entre colchetes) e também o lado direito, preservando a igualdade.

No lado esquerdo, usamos a propriedade distributiva de novo, só que agora aplicada ao número 2 em relação a tudo o que está entre colchetes: 2 · (1/2)n − 2 · 3(n + 4). No primeiro termo, 2 · (1/2)n, o 2 “cancela” o denominador 2, e o resultado vira apenas n. No segundo termo, 2 · 3(n + 4), basta multiplicar 2 · 3 = 6, mantendo o parênteses: 6(n + 4).

Assim, o lado esquerdo da equação se transforma em n − 6(n + 4), exatamente como muitos resolutores mostram, só que agora você sabe que isso veio de aplicar a propriedade distributiva ao 2 e de simplificar a fração 2 · 1/2. Do outro lado, temos 2 · (2/3) = 4/3, porque multiplicamos o numerador da fração por 2 e mantemos o denominador 3.

Portanto, multiplicar a equação original ((1/2)n) − 3(n + 4) = 2/3 por 2 em ambos os lados resulta em n − 6(n + 4) = 4/3, sem “mágica”, apenas com uso coerente da propriedade distributiva e da multiplicação de frações.

Como multiplicar frações ao aplicar a distributiva

Para conseguir usar a propriedade distributiva com segurança em expressões com frações, é fundamental ter bem claro como funciona a multiplicação de frações e de números inteiros por frações (veja tipos, exemplos e exercícios). Quando multiplicamos uma fração por um número inteiro, é como multiplicar esse inteiro pelo numerador e manter o denominador.

Por exemplo, se temos 2 · (1/2)n, podemos enxergar essa expressão como (2 · 1/2) · n, e o produto 2 · 1/2 dá 1, pois 2/1 · 1/2 = 2/2 = 1. É exatamente isso que explica o surgimento do n “sozinho” depois da multiplicação por 2 na equação do exemplo anterior.

Já em casos como 3 · (2/3)x, temos novamente um inteiro multiplicando uma fração: 3/1 · 2/3 = 6/3, que simplificado fica 2, produzindo 2x ao final. Esse tipo de simplificação é muito útil para reduzir o número de frações dentro da equação e facilitar os próximos passos.

Quando multiplicamos duas frações propriamente ditas, como (2/3) · (4/5), basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador: 2 · 4 = 8 e 3 · 5 = 15, resultando em 8/15. Essa mesma regra é usada ao aplicar a propriedade distributiva quando o fator fora do parênteses também é uma fração.

Portanto, dominar essa mecânica básica de multiplicação de frações é um pré-requisito para não se perder nos passos da propriedade distributiva, tanto em expressões simples quanto em equações completas.

Propriedade distributiva na adição e subtração

A forma mais comum de ver a propriedade distributiva é quando temos um número multiplicando uma soma, do tipo a · (b + c), situação em que “espalhamos” o fator a por cada termo dentro do parênteses. Nesse cenário, fazemos a · b + a · c, preservando o sinal de adição entre os produtos.

Um exemplo simples, sem frações, é 3 · (4 + 5): primeiro aplicamos a distributiva, gerando 3 · 4 + 3 · 5, depois calculamos 12 + 15 para chegar a 27. É o mesmo resultado de fazer a conta direta 3 · 9, mas a distributiva ajuda muito quando os termos dentro do parênteses são expressões algébricas.

Na subtração, a lógica é quase idêntica: a · (b − c) vira a · b − a · c, ou seja, o fator a multiplica os dois termos, mas o sinal do meio permanece sendo de subtração. Exemplo numérico: 8 · (6 − 2) pode ser escrito como 8 · 6 − 8 · 2, o que produz 48 − 16 = 32, em total acordo com o cálculo direto 8 · 4.

Quando trazemos frações para a jogada, não muda nada na estrutura da propriedade, apenas os produtos a · b e a · c passam a ser multiplicações com frações, como em (1/2) · (6 − 2), (3/4) · (x + 5) ou (2/3) · (y − 1/2). O cuidado aqui é efetuar corretamente essas multiplicações fracionárias antes ou depois da distributiva, dependendo de como for mais conveniente.

Essa técnica é crucial na resolução de equações, porque nos permite eliminar parênteses e transformar uma expressão aparentemente complicada em algo linear, com vários termos somados e subtraídos, prontos para serem organizados.

Aplicando a propriedade distributiva com variáveis

Quando as expressões envolvem letras, a propriedade distributiva continua sendo exatamente a mesma, só que, em vez de lidar apenas com números, lidamos com produtos entre letras e números ou entre próprias variáveis. Um caso bem comum é x · (y − z), que podemos escrever como x · y − x · z.

Nesse tipo de situação, é importante lembrar que x, y e z representam números quaisquer, e que x · y é simplesmente o produto desses valores, frequentemente escrito como xy para simplificar a notação. Assim, x(y − z) transforma-se em xy − xz, sem perda de informação.

Um outro exemplo mais elaborado é 5a · (3b − 2c), em que aplicamos a distributiva multiplicando 5a por cada termo: 5a · 3b − 5a · 2c, resultando em 15ab − 10ac. Note que juntamos os fatores numéricos (5 · 3 = 15 e 5 · 2 = 10) e mantivemos o produto das letras na forma ab e ac.

Se incluirmos frações aqui, o procedimento continua o mesmo, só que as constantes numéricas podem virar frações, como (1/2)a(3b − 2c) = (1/2)a · 3b − (1/2)a · 2c, o que leva a (3/2)ab − ac depois de simplificar a segunda fração. Isso mostra como a distributiva é versátil, lidando com inteiros, frações, variáveis ou tudo misturado.

Dominar essa habilidade com variáveis é fundamental para a etapa de equações lineares, porque quase todas as resoluções envolvem eliminação de parênteses por meio da propriedade distributiva antes de juntar termos semelhantes.

Outras propriedades importantes da multiplicação

Além da propriedade distributiva, a multiplicação conta com outras regras que facilitam muito as manipulações algébricas: comutatividade, associatividade e o elemento neutro. Conhecer essas propriedades ajuda a reorganizar expressões para aplicar a distributiva de forma mais estratégica.

A comutatividade garante que a ordem dos fatores não muda o resultado: a · b = b · a, o que permite, por exemplo, escrever 3 · 4 tanto como 3 · 4 quanto como 4 · 3, sem alterar o produto 12. Isso é útil quando queremos colocar as letras em ordem alfabética ou agrupar números com números.

Já a associatividade diz que podemos mudar o agrupamento dos fatores sem afetar o produto: a · (b · c) = (a · b) · c. Em termos práticos, 6 · (8 · 10) pode ser reescrito como (6 · 8) · 10 ou (6 · 10) · 8, sempre com o mesmo resultado final, o que permite escolher a ordem mais conveniente para o cálculo mental.

O elemento neutro da multiplicação é o número 1, pois multiplicar qualquer número por 1 não altera seu valor: a · 1 = a. Exemplo simples: 50 · 1 = 50, informação básica, mas muito usada ao simplificar expressões algébricas, especialmente quando queremos deixar um coeficiente explícito ou implícito.

Todas essas propriedades se combinam com a distributiva na hora de resolver equações, simplificar expressões com frações ou reorganizar termos para fatorar ou desenvolver parênteses.

Resolvendo equações usando a propriedade distributiva

Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita (geralmente x, y ou z) que torna verdadeira a igualdade apresentada, e em muitos casos a propriedade distributiva aparece como um passo essencial do processo. A equação é composta por dois lados, chamados de primeiro e segundo membro, separados pelo sinal de igual.

Um procedimento padrão na resolução é reorganizar a equação de modo que todos os termos com a letra fiquem de um lado da igualdade e os números “puros”, sem letra, fiquem do outro lado. Quando um termo atravessa o sinal de igualdade, seu sinal é invertido: se era positivo vira negativo e vice-versa.

Quando a equação contém parênteses com somas ou subtrações, a propriedade distributiva entra em cena para eliminar esses parênteses e deixar os termos “espalhados” de forma linear. Só depois dessa etapa é que fica prático somar ou subtrair termos semelhantes, organizando coeficientes e constantes.

Vale notar que, em equações com frações, é comum encontrar denominadores diferentes, o que pode levar à necessidade de multiplicar todos os termos por um mesmo número (geralmente o mínimo múltiplo comum) para eliminar os denominadores por completo. Essa multiplicação geral também usa a ideia de distributiva, já que o fator comum será distribuído a cada termo da equação.

A seguir, veremos alguns exemplos de equações resolvidas passo a passo usando a propriedade distributiva, permitindo observar com detalhes a lógica de cada transformação.

Exemplo 1 de equação com distributiva

Considere a equação 2x − 3(4 − x) = 5 + 4(2x + 1), em que a primeira etapa natural é eliminar os parênteses aplicando a propriedade distributiva em ambos os lados. No lado esquerdo, temos 2x − 3(4 − x), e no direito 5 + 4(2x + 1).

No primeiro membro, −3(4 − x) resulta em −3 · 4 + (−3) · (−x), ou seja, −12 + 3x, já que o produto de sinais negativos gera um termo positivo. Assim, o lado esquerdo fica 2x − 12 + 3x, que podemos agrupar mais tarde.

No segundo membro, 4(2x + 1) vira 4 · 2x + 4 · 1, produzindo 8x + 4, de forma que a equação passa a ser 2x − 12 + 3x = 5 + 8x + 4. A partir daí, organizamos os termos com x e os termos constantes.

Reagrupando, temos 2x + 3x − 8x = 5 + 4 + 12, pois transferimos 8x para o primeiro membro, trocando o sinal, e o −12 para o segundo membro, também alterando seu sinal. Isso gera −3x = 21, que ainda tem coeficiente negativo.

Para deixar o coeficiente de x positivo, podemos multiplicar a equação inteira por (−1), o que fornece 3x = −21; dividindo ambos os lados por 3, chegamos a x = −21/3, que se simplifica para x = −7. Todo esse processo foi viabilizado pelo uso inicial da propriedade distributiva.

Exemplo 2 de equação com distributiva

Outra equação interessante é 3(x − 5) + 2(2x − 4) = x − 1, que também começa com a aplicação direta da propriedade distributiva para se livrar dos parênteses. Cada bloco com parênteses vai gerar dois novos termos.

No lado esquerdo, 3(x − 5) se transforma em 3x − 15, e 2(2x − 4) aparece como 4x − 8, graças à distributiva. Substituindo na equação, obtemos 3x − 15 + 4x − 8 = x − 1.

Em seguida, organizamos os termos semelhantes no lado esquerdo: 3x + 4x = 7x, e −15 − 8 = −23, resultando em 7x − 23 = x − 1. Agora, colocamos todos os termos com x do mesmo lado e os números constantes do outro.

Subtraindo x do lado esquerdo e adicionando 23 ao lado direito, ficamos com 7x − x = −1 + 23, então 6x = 22. Para isolar x, basta dividir por 6: x = 22/6.

Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 2, obtendo x = 11/3, que é a solução final da equação. Novamente, o passo crucial foi o uso da distributiva logo no início para transformar parênteses em termos simples.

Exemplo 3 de equação com distributiva

Na equação 2(x − 3) + 4(2x + 1) = 8 − 5(x − 4), a propriedade distributiva aparece em todos os blocos com parênteses, tanto no lado esquerdo quanto no direito. É um ótimo exemplo de como a técnica se repete várias vezes na mesma questão.

Começando pelo primeiro membro, temos 2(x − 3) = 2x − 6 e 4(2x + 1) = 8x + 4, o que nos permite reescrever essa parte da equação como 2x − 6 + 8x + 4.

No segundo membro, a expressão 8 − 5(x − 4) exige cuidado com o sinal negativo: −5(x − 4) se transforma em −5x + 20, porque −5 · (−4) dá +20. Assim, o lado direito vira 8 − 5x + 20.

A equação total fica 2x − 6 + 8x + 4 = 8 − 5x + 20; reorganizando o lado esquerdo, 2x + 8x = 10x e −6 + 4 = −2, então temos 10x − 2 = 8 − 5x + 20. Agora partimos para a etapa de isolamento da incógnita.

Somando 5x aos dois lados e somando 2 ao lado direito, obtemos 2x + 8x + 5x = 8 + 20 + 6 − 4 num arranjo equivalente, o que leva a 15x = 30. Finalmente, dividindo por 15, encontramos x = 30/15, que simplificando produz x = 2.

Exemplo 4: distributiva com colchetes e parênteses

Um exemplo mais elaborado é a equação y + + 2y = −8 − 2(y + 7), que mistura colchetes, parênteses e vários sinais, exigindo atenção redobrada na hora de aplicar a distributiva e simplificar.

Começamos trabalhando de dentro para fora: dentro dos colchetes, temos y − (2y − 3) − 5. Aplicando o sinal de menos ao parênteses, obtemos y − 2y + 3 − 5, resultando em −y − 2 após simplificação. Assim, o trecho entre colchetes vira .

Substituindo na equação, o primeiro membro fica y + + 2y, que podemos reescrever como y − y − 2 + 2y. Enquanto isso, no segundo membro, −2(y + 7) se transforma em −2y − 14, levando à expressão completa −8 − 2y − 14.

Simplificando os dois lados, obtemos y − y − 2 + 2y = −22 − 2y, porque −8 − 14 = −22. No lado esquerdo, y − y = 0, restando 2y − 2; então a equação passa a ser 2y − 2 = −22 − 2y.

Somando 2y aos dois lados e somando 2 ao lado direito, temos 2y + 2y = −22 + 2, gerando 4y = −20. Dividindo ambos os lados por 4, achamos y = −20/4, que é simplificado para y = −5.

Exercícios com propriedade distributiva e contexto prático

Para fixar a propriedade distributiva, é muito útil ver situações em que ela aparece tanto em exercícios puramente algébricos quanto em problemas do dia a dia, como cálculo de áreas ou quantidades. Isso ajuda a perceber que não se trata só de “regra de prova”, mas de uma ferramenta real de raciocínio.

Um exemplo típico de exercício algébrico é simplificar a expressão 2x · (3 + 4y) − 3x · (3 − 4y), em que temos dois blocos com parênteses e multiplicações por x. O passo principal é aplicar a propriedade distributiva em cada um deles.

No primeiro, 2x(3 + 4y) rende 2x · 3 + 2x · 4y, isto é, 6x + 8xy; no segundo, 3x(3 − 4y) gera 3x · 3 − 3x · 4y, ou 9x − 12xy. Substituindo na expressão original, ficamos com 6x + 8xy + 9x − 12xy.

A seguir, juntamos termos semelhantes: 6x + 9x = 15x e 8xy − 12xy = −4xy, resultando em 15x − 4xy como expressão simplificada. Em poucos passos, a distributiva transformou uma expressão extensa com parênteses em algo limpo e direto.

Em um contexto aplicado, imagine que Ana está reformando sua casa e precisa calcular a área total de duas paredes: a primeira com 3 metros de altura e 4 de largura, e a segunda com 3 metros de altura e 5 de largura. Em vez de calcular cada área separadamente, podemos usar a propriedade distributiva.

A área total pode ser vista como 3 · (4 + 5), já que a altura é a mesma e somamos as larguras: aplicando a distributiva, temos 3 · 4 + 3 · 5, resultando em 12 + 15, ou seja, 27 m². Assim, a propriedade nos permite enxergar a soma das áreas como um único produto distribuído.

Ver esse tipo de situação prática ajuda a consolidar a ideia de que distribuir um fator comum é uma forma de reorganizar mentalmente a conta, seja para facilitar o cálculo numérico, seja para preparar a expressão para manipulações algébricas mais avançadas.

Combinando todas essas ideias — multiplicação de frações, propriedade distributiva, organização de termos em equações e exemplos do cotidiano —, fica muito mais fácil encarar problemas como ((1/2)n) − 3(n + 4) = 2/3 ou qualquer outra equação que misture letras, parênteses e frações, entendendo cada etapa com clareza em vez de apenas seguir respostas prontas de calculadoras online.