Constante de integração: significado, cálculo e exemplos

A constante de integração é um valor agregado para o cálculo das antiderivadas ou integrais, serve para representar as soluções que compõem a primitiva de uma função. Expressa uma ambiguidade inerente em que qualquer função possui um número infinito de primitivas.

Por exemplo, se a função for aceita: f (x) = 2x + 1 e obtemos sua antiderivada:

∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Onde C é a constante de integração e representa graficamente a tradução vertical entre as infinitas possibilidades do primitivo. É correto dizer que (x 2 + x) é uma das primitivas de f (x).

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Da mesma forma, a (x 2 + x + C ) pode ser definido como o primitivo de f (x).

Propriedade inversa

Pode-se notar que, ao derivar a expressão (x 2 + x), é obtida a função f (x) = 2x + 1. Isso ocorre devido à propriedade inversa existente entre a derivação e a integração de funções. Esta propriedade permite obter fórmulas de integração a partir da diferenciação. O que permite a verificação de integrais através dos mesmos derivados.

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No entanto (x 2 + x) não é a única função cuja derivada é igual a (2x + 1).

  1. d ( x 2 + x) / dx = 2x + 1
  2. d ( x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
  3. d ( x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
  4. d ( x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
  5. d ( x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Onde 1, 2, 3 e 4 representam primitivas particulares de f (x) = 2x + 1. Enquanto 5 representa a integral indefinida ou primitiva de f (x) = 2x + 1.

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As primitivas de uma função são alcançadas através do processo de antiderivação ou integral. Onde F será uma primitiva de f se o seguinte for verdadeiro

  • y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = constante de integração
  • F ‘(x) = f (x)

Aprecia-se que uma função tenha apenas uma derivada, diferentemente de suas infinitas primitivas resultantes da integração.

A integral indefinida

∫ f (x) dx = F (x) + C

Corresponde a uma família de curvas com o mesmo padrão, que experimentam incongruência no valor das imagens de cada ponto (x, y). Cada função que atende a esse padrão será uma primitiva individual e o conjunto de todas as funções é conhecido como integral indefinido.

O valor da constante de integração será o que diferencia cada função na prática.

A constante de integração sugere uma mudança vertical em todos os gráficos que representam as primitivas de uma função. Onde o paralelismo entre eles é observado e o fato de que C é o valor do deslocamento.

De acordo com práticas comuns, a constante de integração é denotada pela letra “C” após uma soma, embora na prática seja indiferente se a constante é adicionada ou subtraída. Seu valor real pode ser encontrado de várias formas, de acordo com diferentes condições iniciais .

Outros significados da constante de integração

Já se falou de como a constante de integração é aplicada no ramo do cálculo integral ; Representando uma família de curvas que definem a integral indefinida. Mas muitas outras ciências e ramos atribuíram valores muito interessantes e práticos da constante de integração, o que facilitou o desenvolvimento de vários estudos.

Na física, a constante de integração pode assumir vários valores, dependendo da natureza dos dados. Um exemplo muito comum é conhecer a função V (t) que representa a velocidade de uma partícula versus o tempo t. Sabe-se que ao calcular uma primitiva de V ( t) é obtida a função R (t) que representa a posição da partícula versus o tempo.

A constante de integração representará o valor da posição inicial, ou seja, no tempo t = 0.

Da mesma forma, se a função A (t) que representa a aceleração da partícula versus o tempo é conhecida. A primitiva de A (t) resultará na função V (t), onde a constante de integração será o valor da velocidade inicial V .

Em economia , obtendo através da integração o primitivo de uma função de custo. A constante de integração representará os custos fixos. E tantas outras aplicações que merecem cálculo diferencial e integral.

Como é calculada a constante de integração?

Para o cálculo da constante de integração, sempre será necessário conhecer as condições iniciais . Quais são os responsáveis ​​por definir qual das primitivas possíveis é a correspondente.

Em muitas aplicações, é tratada como uma variável independente do tempo (t), onde a constante C recebe os valores que definem as condições iniciais do caso particular.

Se o exemplo inicial for tomado: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C

Uma condição inicial válida pode ser condicionar o gráfico a passar por uma coordenada específica. Por exemplo, sabe-se que o primitivo (x 2 + x + C) passa pelo ponto (1, 2)

F (x) = x 2 + x + C; esta é a solução geral

F (1) = 2

Substituímos a solução geral nessa igualdade

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

De onde é fácil deduzir que C = 0

Assim, a primitiva correspondente para este caso é F (x) = x 2 + x

Existem vários tipos de exercícios numéricos que trabalham com constantes de integração . De fato, o cálculo diferencial e integral não deixa de ser aplicado na pesquisa atual. Em diferentes níveis acadêmicos, eles podem ser encontrados; do cálculo inicial, passando pela física, química, biologia, economia, entre outros.

Também pode ser visto no estudo de equações diferenciais , onde a constante de integração pode levar valores e soluções diferentes, devido às múltiplas derivações e integrações que são feitas nesta matéria.

Exemplos

Exemplo 1

  1. Um canhão localizado a 30 metros de altura dispara um projétil verticalmente para cima. Sabe-se que a velocidade inicial do projétil é de 25 m / s. Determine:
  • A função que define a posição do projétil em relação ao tempo.
  • A hora do voo ou instante em que a partícula toca o solo.

Sabe-se que em um movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é um valor constante. É o caso do lançamento do projétil, onde a aceleração será por gravidade

g = – 10 m / s 2

Sabe-se também que a aceleração é a segunda derivada da posição, o que indica uma dupla integração na resolução do exercício, obtendo assim duas constantes de integração.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1

As condições iniciais do exercício indicam que a velocidade inicial é V = 25 m / s. Essa é a velocidade no instante do tempo t = 0. Dessa forma, é cumprido que:

V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 e C 1 = 25

A função de velocidade que está sendo definida

V (t) = -10t + 25; A semelhança com a fórmula MRUV pode ser observada (V f = V + axt)

De maneira homóloga, a função de velocidade é integrada para obter a expressão que define a posição:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2

R (t) = -5T 2 + 25t + C 2 (posição original)

A posição inicial R (0) = 30 m é conhecida. Então a primitiva particular do projétil é calculada.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . Onde C 2 = 30

A primeira seção é resolvida desde que R (t) = -5t 2 + 25t + 30 ; Esta expressão é deslocamento homóloga MRUV fórmula R (t) = R + V t – gt 2 /2

Para a segunda seção, a equação quadrática deve ser resolvida: -5t 2 + 25t + 30 = 0

Como isso condiciona a partícula para alcançar o solo (posição = 0)

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Na verdade, a equação do 2º grau nos dá 2 soluções T: {6, -1}. O valor t = -1 é ignorado porque são unidades de tempo cujo domínio não inclui números negativos.

Dessa forma, a segunda seção em que o tempo de vôo é igual a 6 segundos é resolvida.

Exemplo 2

  1. Encontre a primitiva f (x) que atende às condições iniciais:
  • f (x) = 4; f ‘(2) = 2; f (0) = 7

Com as informações da segunda derivada f ” (x) = 4, o processo de antiderivação começa

f (x) = ∫f (x) dx

∫4 dx = 4x + C 1

Então, conhecendo a condição f ‘(2) = 2, proceda:

4 (2) C + 1 = 2

C 1 = -6 e f ‘(x) = 4x – 8

Prosseguimos da mesma maneira para a segunda constante de integração

f (x) = ∫f (x) dx
∫ (4x – 8) dx = 2x 2 – 8x + C 2

A condição inicial f (0) = 7 é conhecida e prosseguimos:

2 (0) 2 – 8 (0) + C 2 = 7

C 2 = 7 ef (x) = 2x 2 – 8x + 7

  • f (x) = x 2 ; f ‘(0) = 6; f (0) = 3

De maneira semelhante ao problema anterior, definimos as primeiras derivadas e a função original a partir das condições iniciais.

f (x) = ∫f (x) dx

∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + C 1

Com a condição f ‘(0) = 6, proceda:

(0 3 /3) + C 1 = 6; Quando C 1 = 6 e F ‘(x) = (x 3 /3) + 6

Então a segunda constante de integração

f (x) = ∫f ‘(x) dx

∫ [(x 3 /3) + 6] dx = (x 4 /12) + 6x + C 2

A condição inicial f (0) = 3 é conhecida e prossiga:

[(0) 4 /12] + 6 (0) + C 2 = 3; Onde C 2 = 3

O primitivo particular é assim obtido

f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3

Exemplo 3

  1. Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:
  • dy / dx = 2x – 2 Passando pelo ponto (3, 2)

É importante lembrar que as derivadas se referem à inclinação da linha tangente à curva em um determinado ponto. Onde não é correto supor que o gráfico da derivada toque o ponto indicado, pois pertence ao gráfico da função primitiva.

Dessa maneira, expressamos a equação diferencial da seguinte maneira:

dy = ( 2x – 2) dx ; então, ao aplicar os critérios de antiderivação, você tem:

∫dy = ∫ (2x – 2) dx

y = x 2 – 2x + C

Aplicando a condição inicial:

2 = (3) 2 – 2 (3) + C

C = -1

Você obtém: f (x) = x 2 – 2x – 1

  • dy / dx = 3x 2 – 1 Que passa pelo ponto (0, 2)

Expressamos a equação diferencial da seguinte forma:

dy = ( 3x 2 – 1) dx ; então, ao aplicar os critérios de antiderivação, você tem:

∫dy = ∫ ( 3x 2 – 1) dx

y = x 3 – x + C

Aplicando a condição inicial:

2 = (0) 2 – 2 (0) + C

C = 2

Você obtém: f (x) = x 3 – x + 2

Exercícios propostos

Exercício 1

  1. Encontre a primitiva f (x) que atende às condições iniciais:
  • f (x) = x; f ‘(3) = 1; f (2) = 5
  • f (x) = x + 1; f ‘(2) = 2; f (0) = 1
  • f ” (x) = 1; f ‘(2) = 3; f (1) = 10
  • f (x) = -x; f ‘(5) = 1; f (1) = -8

Exercício 2

  1. Um balão que sobe a uma velocidade de 16 pés / s libera um saco de areia a uma altura de 64 pés acima do nível do solo.
  • Definir o tempo de vôo
  • Qual será o vetor V f quando tocar o chão?

Exercício 3

  1. A figura mostra o gráfico de aceleração – tempo de um carro se movendo na direção positiva do eixo x. O carro estava viajando a uma velocidade constante de 54 km / h quando o motorista acionou os freios para parar em 10 segundos. Determine:
  • A aceleração inicial do carro
  • A velocidade do carro em t = 5s
  • O deslocamento do carro durante a frenagem

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Exercício 4

  1. Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:
  • dy / dx = x O que acontece através do ponto (-1, 4)
  • dy / dx = -x 2 + 1 que passa pelo ponto (0, 0)
  • dy / dx = -x + 1 que passa pelo ponto (-2, 2)

Referências

  1. Cálculo integral. Integral indefinido e métodos de integração. Wilson, Velásquez Bastidas. Universidade de Magdalena 2014
  2. Stewart, J. (2001). Cálculo de uma variável. Transcendentes Antecipados México: Thomson Learning.
  3. Jiménez, R. (2011). Matemática VI. Cálculo integral. México: Pearson Education.
  4. Física I. Mc Graw Hill

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