Dados agrupados são uma forma de organizar e analisar informações estatísticas em categorias ou intervalos específicos, tornando mais fácil a interpretação e compreensão dos dados. Neste contexto, exemplos e exercícios resolvidos são ferramentas essenciais para auxiliar no entendimento e na aplicação de conceitos relacionados a dados agrupados. Através de situações práticas e resoluções passo a passo, é possível aprimorar as habilidades de análise estatística e interpretar corretamente as informações apresentadas. Neste artigo, iremos explorar alguns exemplos e exercícios resolvidos de dados agrupados, demonstrando a importância e a utilidade dessa abordagem na análise estatística.
Calculando a média de conjuntos de dados agrupados de maneira simples e eficiente.
Quando lidamos com conjuntos de dados agrupados, calcular a média pode parecer um pouco mais complicado do que quando lidamos com dados não agrupados. No entanto, existe uma maneira simples e eficiente de calcular a média de conjuntos de dados agrupados.
Para calcular a média de conjuntos de dados agrupados, primeiro precisamos identificar o número de observações em cada grupo e o valor médio de cada grupo. Em seguida, multiplicamos o número de observações em cada grupo pelo valor médio desse grupo. Finalmente, somamos todos esses produtos e dividimos pelo número total de observações em todos os grupos. Este é o método mais rápido e eficiente de calcular a média de conjuntos de dados agrupados.
Vamos considerar um exemplo prático. Digamos que temos três grupos de dados agrupados: Grupo A com 5 observações e média de 10, Grupo B com 7 observações e média de 15, e Grupo C com 4 observações e média de 12. Para calcular a média desses grupos, multiplicamos o número de observações pelo valor médio de cada grupo: 5×10 + 7×15 + 4×12. Em seguida, somamos esses produtos: 50 + 105 + 48. Por fim, dividimos a soma pelo número total de observações (5+7+4 = 16): (50 + 105 + 48) / 16 = 203 / 16 = 12,6875.
Como podemos ver, utilizando esse método simples e eficiente, podemos calcular a média de conjuntos de dados agrupados rapidamente e com precisão. Esta abordagem é especialmente útil quando lidamos com grandes conjuntos de dados agrupados, pois nos permite obter resultados de forma mais eficiente.
Valores de 65 kg, 75 kg, 80 kg e 90 kg têm qual frequência absoluta?
No contexto de dados agrupados, os valores de 65 kg, 75 kg, 80 kg e 90 kg têm diferentes frequências absolutas. A frequência absoluta de um determinado valor representa o número de vezes que esse valor ocorre em um conjunto de dados. Por exemplo, se tivermos um conjunto de dados que contenha os valores 65 kg, 75 kg, 80 kg, 90 kg, 75 kg, 80 kg e 90 kg, a frequência absoluta de 65 kg será 1, a de 75 kg será 2, a de 80 kg será 2 e a de 90 kg será 2.
Para calcular a frequência absoluta de cada valor em um conjunto de dados agrupados, basta contar quantas vezes cada valor aparece. No exemplo dado, a frequência absoluta de 65 kg é 1, a de 75 kg é 2, a de 80 kg é 2 e a de 90 kg é 2.
Entender a frequência absoluta de cada valor em um conjunto de dados é importante para analisar e interpretar as informações de forma mais precisa. Essas informações podem ser úteis em diversas áreas, como estatística, pesquisa de mercado e planejamento de recursos.
Cálculo do desvio padrão em dados agrupados: passo a passo simplificado.
Para calcular o desvio padrão em dados agrupados, é necessário seguir alguns passos simples. Primeiramente, é preciso encontrar a média dos dados. Em seguida, calcula-se a diferença entre cada valor e a média, elevando essas diferenças ao quadrado. Depois, multiplica-se esses valores obtidos pela frequência de cada classe e soma-se tudo.
Para obter o desvio padrão, basta dividir essa soma pelo total de elementos (ou pela soma das frequências, no caso de dados agrupados) e tirar a raiz quadrada do resultado. Dessa forma, obtemos o desvio padrão dos dados agrupados, que nos dá uma medida de dispersão em relação à média.
Vamos a um exemplo: suponha que temos um conjunto de dados agrupados em classes de intervalo, com suas respectivas frequências. Ao seguir os passos acima descritos, podemos calcular o desvio padrão desse conjunto de dados, o que nos permitirá ter uma noção da variabilidade dos valores em relação à média.
Com a utilização desse método, podemos analisar de forma mais precisa a dispersão dos dados agrupados e obter informações relevantes sobre a distribuição dos mesmos.
Utilização dos dados agrupados: qual sua importância e aplicabilidade na análise estatística?
A utilização dos dados agrupados é de extrema importância na análise estatística, pois permite uma melhor organização e interpretação das informações coletadas. Quando os dados estão agrupados, conseguimos identificar padrões, tendências e informações relevantes de forma mais clara e objetiva.
Na análise estatística, os dados agrupados facilitam a identificação de medidas de tendência central, como a média e a mediana, bem como a dispersão dos dados, através da variância e do desvio padrão. Além disso, a utilização de dados agrupados permite a construção de gráficos e histogramas que auxiliam na visualização e compreensão dos resultados.
Para exemplificar a importância dos dados agrupados, vamos considerar um estudo que analisa a idade dos alunos de uma escola. Se os dados estiverem agrupados por faixas etárias, como 10-15 anos, 16-20 anos, 21-25 anos, será mais fácil identificar a distribuição das idades e realizar comparações entre os grupos.
Dados agrupados: exemplos e exercícios resolvidos
Os dados agrupados são aqueles que foram classificados em categorias ou classes, tendo sua frequência como critério. Isso é feito para simplificar o tratamento de grandes quantidades de dados e estabelecer suas tendências.
Uma vez organizados nessas classes por suas frequências, os dados compõem uma distribuição de frequências, a partir da qual informações úteis são extraídas através de suas características.
A seguir, veremos um exemplo simples de dados agrupados:
Suponha que seja medida a altura de 100 estudantes do sexo feminino, selecionada em todos os cursos básicos de física de uma universidade, e que sejam obtidos os seguintes resultados:
Os resultados obtidos foram divididos em 5 classes, que aparecem na coluna da esquerda.
A primeira turma, entre 155 e 159 cm, tem 6 alunos; a segunda turma, 160 – 164 cm, 14; a terceira turma, de 165 a 169 cm, é a com maior número de membros: 47. Em seguida, segue a turma 170-174 cm com 28 alunos e finalmente 175 a 179 cm com apenas 5.
O número de membros de cada classe é precisamente a frequência absoluta ou frequência e, ao adicioná-los todos juntos, são obtidos os dados totais, que neste exemplo são 100.
Características de distribuição de frequência
Frequência
Como vimos, a frequência é o número de vezes que um dado é repetido. E para facilitar os cálculos das propriedades de distribuição, como média e variação, são definidas as seguintes quantidades:
– Frequência acumulada : é obtida adicionando a frequência de uma classe à frequência acumulada anterior. A primeira de todas as frequências corresponde à do intervalo em questão e a última é o número total de dados.
– Frequência relativa : é calculada dividindo a frequência absoluta de cada classe pelo número total de dados. E se você multiplicar por 100, terá a frequência percentual relativa.
– Frequência relativa acumulada : é a soma das frequências relativas de cada classe com a acumulada anterior. A última das frequências relativas acumuladas deve ser igual a 1.
Para o nosso exemplo, as frequências são assim:
Limites
Os valores extremos de cada classe ou intervalo são chamados limites de classe. Como podemos ver, cada classe tem um limite inferior e superior. Por exemplo, a primeira turma do estudo sobre altura tem um limite inferior de 155 cm e um limite superior de 159 cm.
Este exemplo tem limites claramente definidos, no entanto, é possível definir limites abertos: se, em vez de definir os valores exatos, fosse dito “altura menor que 160 cm”, “altura menor que 165 cm” e assim por diante.
Fronteiras
A altura é uma variável contínua, portanto, pode-se considerar que a primeira classe realmente começa em 154,5 cm, pois ao arredondar esse valor para o número inteiro mais próximo, você obtém 155 cm.
Esta classe abrange todos os valores de até 159,5 cm, pois a partir disso, as alturas são arredondadas para 160,0 cm. Uma altura de 159,7 cm já pertence à próxima aula.
Os limites reais da classe para este exemplo são, em cm:
- 154,5 – 159,5
- 159,5 – 164,5
- 164,5 – 169,5
- 169,5 – 174,5
- 174,5 – 179,5
Amplitude
A amplitude de uma classe é obtida subtraindo os limites. Para o primeiro intervalo do nosso exemplo, temos 159,5 – 154,5 cm = 5 cm.
O leitor pode ver que, para os outros intervalos no exemplo, a amplitude também é de 5 cm. No entanto, deve-se notar que distribuições com intervalos de diferentes amplitudes podem ser construídas.
Marca de classe
É o ponto médio do intervalo e é obtido pela média entre o limite superior e o limite inferior.
Para o nosso exemplo, a marca da primeira classe é (155 + 159) / 2 = 157 cm. O leitor pode verificar se as marcas de classe restantes são: 162, 167, 172 e 177 cm.
A determinação de marcas de classe é importante, pois são necessárias para encontrar a média aritmética e a variação da distribuição.
Medidas de tendência central e dispersão para dados agrupados
As medidas de tendência central mais amplamente usadas são a média, a mediana e o modo, e descrevem com precisão a tendência dos dados de agrupar-se em torno de um certo valor central.
Metade
É uma das principais medidas de tendência central. Nos dados agrupados, a média aritmética pode ser calculada usando a fórmula:
-X é a média
-f i é a frequência da classe
-m i é a marca da classe
-g é o número de classes
-n é o número total dos dados
Mediana
Para a mediana, o intervalo em que a observação n / 2 está localizada deve ser identificado. No nosso exemplo, essa observação é o número 50, porque há um total de 100 dados. Essa observação está na faixa de 165 a 169 cm.
Então você precisa interpolar para encontrar o valor numérico que corresponde a essa observação, para a qual a fórmula é usada:
Onde:
-c = largura do intervalo em que a mediana é
-B M = a borda inferior do intervalo ao qual a mediana pertence
-f m = número de observações contidas no intervalo mediano
-n / 2 = metade do total de dados
-f BM = número total de observações antes do intervalo mediano
moda
Para a moda, a classe modal é identificada, aquela que contém a maioria das observações, cuja marca de classe é conhecida.
Variação e desvio padrão
Variância e desvio padrão são medidas de dispersão. Se denotarmos a variação com s 2 e o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variação como s, para dados agrupados, teremos respectivamente:
E
Exercício resolvido
Para a distribuição proposta de alturas de estudantes universitários no início, calcule os valores de:
a) Média
b) Médio
c) Moda
d) Variância e desvio padrão.
Solução para
Vamos criar a seguinte tabela para facilitar os cálculos:
Substituindo valores e efetuando a soma diretamente:
X = (6 x 157 + 14 x 162 + 47 x 167 + 28 x 172 + 5 x 177) / 100 cm =
= 167,6 cm
Solução b
O intervalo ao qual a mediana pertence é 165-169 cm, porque é o intervalo com a frequência mais alta.
Vamos identificar cada um desses valores no exemplo, com a ajuda da tabela 2:
c = 5 cm (veja a seção de amplitude)
B M = 164,5 cm
f m = 47
n / 2 = 100/2 = 50
f BM = 20
Substituindo na fórmula:
O intervalo que contém a maioria das observações é 165-169 cm, cuja marca de classe é 167 cm.
Solução d
Expandimos a tabela anterior adicionando duas colunas adicionais:
Aplicamos a fórmula:
E desenvolvemos a soma:
s 2 = (6 x 112,36 + 14 x 31,36 + 47 x 0,36 + 28 x 19,36 + 5 x 88,36) / 99 = = 21,35 cm 2
Portanto:
s = √21,35 cm 2 = 4,6 cm
Referências
- Berenson, M. 1985. Estatística para Administração e Economia. Interamericana SA
- Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
- Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.
- Spiegel, M. 2009. Statistics. Série Schaum. 4a ta. Edição. McGraw Hill.
- Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.