Os graus de liberdade nas estatísticas são o número de componentes independentes de um vetor aleatório. Se o vetor tem n componentes e existem p equações lineares que relacionam seus componentes, o grau de liberdade é np.
O conceito de graus de liberdade também aparece na mecânica teórica, onde aproximadamente são equivalentes à dimensão do espaço onde a partícula se move, menos o número de ligaduras.
Este artigo discutirá o conceito de graus de liberdade aplicado à estatística, mas um exemplo mecânico é mais fácil de visualizar geometricamente.
Tipos de graus de liberdade
Dependendo do contexto em que é aplicada, a maneira de calcular o número de graus de liberdade pode variar, mas a ideia subjacente é sempre a mesma: dimensões gerais menos número de restrições.
Em um caso mecânico
Considere uma partícula oscilante amarrada a uma corda (um pêndulo) que se move no plano vertical xy (2 dimensões). No entanto, a partícula é forçada a se mover pela circunferência do raio igual ao comprimento da corda.
Como a partícula só pode se mover nessa curva, o número de graus de liberdade é 1. Isso pode ser visto na figura 1.
A maneira de calcular o número de graus de liberdade é tomando a diferença no número de dimensões menos o número de restrições:
graus de liberdade: = 2 (dimensões) – 1 (ligadura) = 1
Outra explicação que nos permite chegar ao resultado é a seguinte:
-Sabemos que a posição em duas dimensões é representada por um ponto de coordenada (x, y).
-Mas como o ponto deve satisfazer a equação do círculo (x 2 + y 2 = L 2 ) para um determinado valor da variável x, a variável y é determinada pela referida equação ou restrição.
Assim, apenas uma das variáveis é independente e o sistema possui um (1) grau de liberdade .
Em um conjunto de valores aleatórios
Para ilustrar o significado do conceito, suponha que o vetor
x = (x 1 , x 2 ,…, x n )
Representando a amostra de n valores aleatórios normalmente distribuídos. Nesse caso, o vetor aleatório x tem n componentes independentes e, portanto, diz-se que x tem n graus de liberdade .
Agora vamos construir o vetor r dos resíduos
r = (x 1 – <x>, x 2 – <x>,…., x n – <x>)
Onde <x> representa a média da amostra, que é calculada assim:
<x> = (x 1 + x 2 +…. + x n ) / n
Então a soma
(x 1 – <x>) + (x 2 – <x>) +…. + (x n – <x>) = (x 1 + x 2 +…. + x n ) – n <x> = 0
É uma equação que representa uma restrição (ou ligação) nos elementos do vetor r dos resíduos, uma vez que se são conhecidos componentes n-1 do vetor r , a equação da restrição determina o componente desconhecido.
Portanto, o vetor r da dimensão n com a restrição:
X (x i – <x>) = 0
Possui (n – 1) graus de liberdade .
Novamente, aplica-se que o cálculo do número de graus de liberdade é:
graus de liberdade: = n (dimensões) – 1 (restrições) = n-1
Exemplos
Variação e graus de liberdade
A variância s 2 é definida como a média do quadrado dos desvios (ou resíduos) da amostra de n dados:
s 2 = ( r • r ) / (n-1)
onde r é o vetor dos resíduos r = (x1 – <x>, x2 – <x>,…., xn – <x>) e o ponto espesso ( • ) é o operador do produto escalar . Como alternativa, a fórmula de variação pode ser escrita da seguinte maneira:
s 2 = ∑ (x i – <x>) 2 / (n-1)
De qualquer forma, deve-se notar que, ao calcular a média do quadrado dos resíduos, ele é dividido entre (n-1) e não entre n, pois, como discutido na seção anterior, o número de graus de liberdade do vetor r é ( n-1).
Se para o cálculo da variância fosse dividido por n em vez de (n-1), o resultado teria um viés muito significativo para valores de n inferiores a 50.
A fórmula de variância também aparece na literatura com o divisor n em vez de (n-1), quando se trata da variância de uma população.
Mas o conjunto da variável aleatória dos resíduos, representado pelo vetor r , embora tenha a dimensão n, possui apenas (n-1) graus de liberdade. No entanto, se o número de dados for grande o suficiente (n> 500), ambas as fórmulas convergem para o mesmo resultado.
Calculadoras e planilhas oferecem as duas versões da variação e o desvio padrão (que é a raiz quadrada da variação).
Nossa recomendação, tendo em vista a análise aqui apresentada, é sempre escolher a versão com (n-1) sempre que for necessário calcular a variância ou desvio padrão, para evitar resultados tendenciosos.
Na distribuição do quadrado do Chi
Algumas distribuições de probabilidade em variável aleatória contínua dependem de um parâmetro chamado grau de liberdade , é o caso da distribuição do quadrado do Chi (χ 2 ).
O nome desse parâmetro vem precisamente dos graus de liberdade do vetor aleatório subjacente ao qual essa distribuição é aplicada.
Suponha que você tenha g populações, das quais são retiradas amostras de tamanho n:
X 1 = (x1 1 , x1 2 ,… ..x1 n )
X 2 = (x2 1 , x2 2 ,… ..x2 n )
…
X j = (xj 1 , xj 2 ,… ..xj n )
…
Xg = (xg 1 , xg 2 ,… xx n )
Uma população j com média <Xj> e desvio padrão Sj segue a distribuição normal N ( <Xj>, Sj ).
A variável tipificada ou normalizada zj i é definida como:
zj i = (xj i – <Xj> ) / Sj .
E o vetor Zj é definido assim:
Zj = ( zj 1 , zj 2 ,…, zj i ,…, zj n ) e segue a distribuição normal normalizada N (0,1).
Então a variável:
Q = ((z1 1 ^ 2 + z2 1 ^ 2 +…. + Zg 1 ^ 2),…., (Z1 n ^ 2 + z2 n ^ 2 +…. + Zg n ^ 2))
segue a distribuição χ 2 (g) chamada distribuição qui-quadrado com grau de liberdade g.
No teste de hipótese (com exemplo resolvido)
Quando você deseja fazer um teste de hipótese com base em um determinado conjunto de dados aleatórios, precisa saber o número de graus de liberdade g para poder aplicar o teste do quadrado do Chi.
Como exemplo, analisaremos os dados coletados sobre as preferências de sorvetes de chocolate ou morango entre homens e mulheres em uma determinada sorveteria. A frequência com que homens e mulheres escolhem morango ou chocolate está resumida na figura 2.
Primeiro, é calculada a tabela de frequência esperada, que é preparada multiplicando o número total de linhas pelo número total de colunas, dividido pelo total de dados . O resultado é mostrado na figura a seguir:
Em seguida, procedemos ao cálculo do quadrado do Chi (a partir dos dados) usando a seguinte fórmula:
χ 2 = ∑ (F o – F e ) 2 / F e
Onde F o são as frequências observadas (Figura 2) e F e são as frequências esperadas (Figura 3). A soma abrange todas as linhas e colunas, que em nosso exemplo fornecem quatro termos.
Depois de fazer as operações, você obtém:
χ 2 = 0,2043.
Agora é necessário comparar com o quadrado qui teórico, que depende do número de graus de liberdade g .
No nosso caso, esse número é determinado da seguinte maneira:
g = (#rows – 1) (#columns – 1) = (2-1) (2-1) = 1 * 1 = 1.
Acontece que o número de graus de liberdade g neste exemplo é 1.
Se você deseja testar ou rejeitar a hipótese nula (H0: não há correlação entre SABOR e GÊNERO) com um nível de significância de 1%, é calculado o valor teórico do quadrado do qui com grau de liberdade g = 1.
O valor que faz a frequência acumulada é (1 – 0,01) = 0,99, ou seja, 99%, é pesquisado. Este valor (que pode ser obtido das tabelas) é 6.636.
Como o Chi teórico excede o Chi calculado, a hipótese nula é verificada.
Em outras palavras, com os dados coletados, não se observa relação entre as variáveis SABOR e GÊNERO.
Referências
- Minitab. O que são graus de liberdade? Recuperado de: support.minitab.com.
- Moore, David. (2009) Estatísticas básicas aplicadas. Editor de Antoni Bosch.
- Leigh, Jennifer. Como calcular graus de liberdade em modelos estatísticos. Recuperado de: geniolandia.com
- Wikipedia. Grau de liberdade (estatística). Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Grau de liberdade (físico). Recuperado de: es.wikipedia.com