Os axiomas da probabilidade são proposições matemáticas relativas à teoria da probabilidade, não à demonstração de mérito. Os axiomas foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) em sua teoria dos fundamentos da probabilidade e lançaram as bases para o estudo matemático da probabilidade.
Ao realizar um determinado experimento aleatório ξ, o espaço amostral E é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, também chamados de eventos . Qualquer evento é indicado como A e P (A) é a probabilidade de sua ocorrência. Kolmogorov então estabeleceu que:
– Axioma 1 (não-negatividade) : a probabilidade de qualquer evento A ocorrer é sempre positiva ou zero, P (A) ≥0. Quando a probabilidade de um evento é 0, é chamado de evento impossível.
– Axioma 2 (certeza) : sempre que qualquer evento pertencente a E, sua probabilidade de ocorrência é 1, que podemos expressar como P (E) = 1 . É o que é conhecido como um determinado evento , pois ao realizar um experimento, certamente há um resultado.
– Axiom 3 (adição) : no caso de dois ou mais de dois a dois eventos incompatíveis, chamados A 1 , A 2 , A 3 …, a probabilidade de ocorrência do evento A 1 acrescido A 2 , mais um 3 e assim por diante sucessivamente, é a soma das probabilidades de cada uma acontecer separadamente.
Isso é expresso como: P (A 1 UA 2 UA 3 U …) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + …
Exemplo
Os axiomas de probabilidade são amplamente utilizados em muitas aplicações. Por exemplo:
Uma tachinha ou tachinha é lançada ao ar e, ao cair no chão, existe a opção de cair com a ponta para cima (U) ou com a ponta para baixo (D) (não consideraremos outras possibilidades). O espaço de amostra deste experimento consiste nesses eventos e, em seguida, E = {U, D}.
Ao aplicar os axiomas, temos:
P (E) = 1 (Axioma 2)
Mas P (E) = P (U) + P (D) (Axioma 3), porque esses eventos são mutuamente incompatíveis ou desarticulados. O alfinete não cai com a ponta para cima ou para baixo ao mesmo tempo, é um ou outro, mas não ambos, pois outras possibilidades não estão sendo consideradas. Assim:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 – P (D)
Se é igualmente provável que caia com a ponta para cima ou para baixo, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). No entanto, pode ser devido à construção e design do alfinete que é mais provável que caia de uma maneira ou de outra. Por exemplo, pode ser que P (U) = ¾ enquanto P (D) = ¼ (Axioma 1).
Observe que em ambos os casos, a soma das probabilidades fornece 1. No entanto, os axiomas não indicam como atribuir as probabilidades, pelo menos não completamente. Mas eles afirmam que são números entre 0 e 1 e que, como neste caso, a soma de todos é 1.
Maneiras de atribuir probabilidade
Os axiomas de probabilidade não são um método de atribuir o valor da probabilidade. Para isso, existem três opções compatíveis com os axiomas:
Regra de Laplace
Cada evento recebe a mesma probabilidade de ocorrência, portanto, a probabilidade de ocorrência é definida como:
P (A) = número de casos favoráveis ao evento A / número de casos possíveis
Por exemplo, qual é a probabilidade de sacar um ás de um baralho de cartas francesas? O baralho tem 52 cartas, 13 de cada naipe e são 4 naipes. Cada naipe tem 1 ás, então no total existem 4 ases:
P (as) = 4/52 = 1/13
A regra de Laplace é limitada a espaços de amostra finitos, onde cada evento é igualmente provável.
Frequência relativa
Aqui o experimento deve ser repetível, pois o método se baseia na realização de um grande número de repetições.
Vamos fazer repetições do experimento ξ, das quais descobrimos que n é o número de vezes que um determinado evento A ocorre; portanto, a probabilidade de ocorrência desse evento é:
P (A) = lim i → ∞ (n / i)
Onde n / i é a frequência relativa de um evento.
Definir P (A) dessa maneira satisfaz os axiomas de Kolmogorov, mas tem a desvantagem de que muitos testes devem ser realizados para que a probabilidade seja apropriada.
Método subjetivo
Uma pessoa ou um grupo de pessoas pode concordar em atribuir a probabilidade a um evento, por meio de seus próprios julgamentos. Esse método tem a desvantagem de que pessoas diferentes podem atribuir probabilidades diferentes ao mesmo evento.
Exercício resolvido
No experimento de jogar simultaneamente três moedas honradas, obtenha as probabilidades dos eventos descritos:
a) 2 faces e uma cruz.
b) 1 face e duas cruzes
c) 3 cruzamentos.
d) Pelo menos 1 face.
Solução para
As faces são indicadas por C e as cruzes por X. Mas existem várias maneiras de obter duas faces e uma cruz. Por exemplo, as duas primeiras moedas podem cair com cara e a terceira com coroa. Ou o primeiro pode cair de cabeça, a segunda cruz e a terceira face. E, finalmente, o primeiro pode ser cruzado e as faces restantes.
Para responder às perguntas, é necessário conhecer todas as possibilidades descritas em uma ferramenta chamada diagrama em árvore ou árvore de probabilidade :
A probabilidade de qualquer moeda sair cara é ½, o mesmo vale para cruzamentos, já que a moeda é honesta. Na coluna da direita estão listadas todas as possibilidades que o lançamento possui, ou seja, o espaço de amostra.
No espaço de amostra, são escolhidas as combinações que respondem ao evento solicitado, pois a ordem na qual as faces aparecem não é importante. Existem três eventos favoráveis: CCX, CXC e XCC. A probabilidade de cada evento acontecer é:
P (CCX) = ½. ½ ½ = 1/8
O mesmo acontece para os eventos CXC e XCC, cada um com probabilidade de 1/8 de acontecer. Portanto, a probabilidade de obter exatamente 2 cabeças é a soma das probabilidades de todos os eventos favoráveis:
P (frente e verso) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Solução b
Encontrar a probabilidade de exatamente duas cruzes ocorrerem é um problema análogo ao anterior, também existem três eventos favoráveis retirados do espaço da amostra: CXX, XCX e XXC. Portanto:
P (2 cruzamentos) = 3/8 = 0,375
Solução c
Intuitivamente, sabemos que a probabilidade de obter 3 cruzamentos (ou 3 cabeças) é menor. Nesse caso, o evento pesquisado é XXX, no final da coluna da direita, cuja probabilidade é:
P (XXX) = ½. ½ 1/2 = 1/8 = 0,125.
Solução d
É necessário obter pelo menos um lado, o que significa que podem sair 3 lados, 2 lados ou 1 lado. O único evento incompatível com isso é aquele em que três cruzamentos saem, cuja probabilidade é 0,125. Portanto, a probabilidade procurada é:
P (pelo menos um lado) = 1 – 0,125 = 0,875.
Referências
- Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
- Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.