A expectativa matemática ou o valor esperado da variável aleatória X, é indicado como E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório e o valor do referido evento.
Em forma matemática, é expresso da seguinte forma:
μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …
Onde x i é o valor do evento e P (x i ) sua probabilidade de ocorrência. A soma está espalhada por todos os valores que X admite. E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, a variável simplesmente não tem valor esperado.
Quando se trata de uma variável contínua x , a variável pode ter valores infinitos e integrais substituem somatórios:
Aqui f (x) representa a função de densidade de probabilidade .
Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média ou média aritmética, a menos que sejam distribuições discretas nas quais cada evento é igualmente provável . Então, e somente então:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ x i
Onde n é o número de valores possíveis.
O conceito é muito útil nos mercados financeiros e nas companhias de seguros, onde muitas vezes faltam certezas, mas as probabilidades são altas.
Propriedades da esperança matemática
Entre as propriedades mais importantes da esperança matemática, destacam-se:
– Sinal: se X é positivo, então E (X) também será positivo.
– Valor esperado de uma constante : o valor esperado de uma constante real k é a constante.
E (k) = k
– Linearidade na soma: a esperança de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis X e Y é a soma das esperanças.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
– Multiplicação por uma constante : se a variável aleatória tem a forma kX , onde k é uma constante (um número real), fica fora do valor esperado.
E (kX) = k E (X)
– Valor esperado do produto e independência entre variáveis : se uma variável aleatória é o produto das variáveis aleatórias X e Y, que são independentes , então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.
E (XY) = E (X) .E (Y)
– Variável aleatória da forma Y = aX + b : é encontrada aplicando as propriedades acima.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Em geral, se Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x i ). P [g (x i )]
– Ordem no valor esperado: se X ≤ Y, então:
E (X) ≤ E (Y)
Uma vez que existem os valores esperados de cada um deles.
A esperança matemática nas apostas
Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando o céu, dedicou-se a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade em jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em seu trabalho de 1656, intitulado: Raciocínio sobre o jogo .
Huygens descobriu que as apostas poderiam ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:
-Jogos com uma vantagem: E (X)> 0
– Apostas justas: E (X) = 0
-Jogo Derrotivo: E (X) <0
O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.
Vamos tentar com uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de US $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?
Bem, a probabilidade de que as cabeças sejam ½ é a mesma que uma cruz. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é indicado com um sinal de + e a perda com um sinal de -.
Organizamos as informações em uma tabela:
Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e, finalmente, os resultados são somados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual os participantes não devem ganhar nem perder.
A roleta francesa e a loteria são jogos desfavorecidos nos quais a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.
Exemplos
Aqui estão alguns exemplos simples em que o conceito de esperança matemática é intuitivo e esclarece o conceito:
Exemplo 1
Começaremos lançando dados honestos. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado é honesto e tem 6 cabeças, a probabilidade de que qualquer valor (X = 1, 2, 3 … 6) saia é 1/6, assim:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
O valor esperado nesse caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, pois nenhuma face vale 3,5. Isto é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.
Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.
Exemplo 2
Duas moedas honestas são lançadas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de cabeças obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:
-Nenhum rosto sai: 0 rostos iguais a 2 cruzamentos.
-Há uma face e um selo ou cruz.
-Dois rostos saem.
Seja C uma face e T um selo, o espaço de amostra que descreve esses eventos é o seguinte:
S m = {Selo-Selo; Cara de Foca; Face-Seal; Face-face} = {TT, TC, CT, CC}
As chances de eventos acontecerem são:
P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T) .P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼
A tabela é construída com os valores obtidos:
De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:
μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …
Substituindo valores:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tiver tempo suficiente para fazer muitas experiências jogando as duas moedas, espera-se que ela fique de cara em cada flip.
No entanto, sabemos que lançamentos com 2 selos são perfeitamente possíveis.
Exercício resolvido
No sorteio de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se duas caras saírem, você ganha $ 3, se um lado sai, você ganha $ 1, mas se dois selos saem, você deve pagar $ 5. Calcule o lucro esperado da aposta.
Solução
A variável aleatória X são os valores que o dinheiro recebe na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior; portanto, a tabela da aposta é:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Uma vez que o valor esperado é 0, este é um jogo justo, pelo que se espera que o apostador não ganhe e também não perca. No entanto, os valores da aposta podem ser alterados para transformar a aposta em um jogo vantajoso ou em um jogo desfavorecido.
Referências
- Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
- Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
- Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Addison Wesley.
- Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para ciências e engenharia. 8th. Edição. Pearson Education.