Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício

Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício

A expectativa matemática ou o valor esperado da variável aleatória X, é indicado como E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório e o valor do referido evento.

Em forma matemática, é expresso da seguinte forma:

μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …

Onde x i é o valor do evento e P (x i ) sua probabilidade de ocorrência. A soma está espalhada por todos os valores que X admite.  E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, a variável simplesmente não tem valor esperado.

Quando se trata de uma variável contínua x , a variável pode ter valores infinitos e integrais substituem somatórios:

Aqui f (x) representa a função de densidade de probabilidade .

Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média ou média aritmética, a menos que sejam distribuições discretas nas quais cada evento é igualmente provável . Então, e somente então:

μ = E (X) = (1 / n) ∑ x i

Onde n é o número de valores possíveis.

O conceito é muito útil nos mercados financeiros e nas companhias de seguros, onde muitas vezes faltam certezas, mas as probabilidades são altas.

Propriedades da esperança matemática

Entre as propriedades mais importantes da esperança matemática, destacam-se:

 – Sinal: se X é positivo, então E (X) também será positivo.

 – Valor esperado de uma constante : o valor esperado de uma constante real k é a constante.

E (k) = k

– Linearidade na soma: a esperança de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis ​​X e Y é a soma das esperanças.

 E (X + Y) = E (X) + E (Y)

– Multiplicação por uma constante : se a variável aleatória tem a forma kX , onde k é uma constante (um número real), fica fora do valor esperado.

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E (kX) = k E (X)

– Valor esperado do produto e independência entre variáveis : se uma variável aleatória é o produto das variáveis ​​aleatórias X e Y, que são independentes , então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.

E (XY) = E (X) .E (Y)

 – Variável aleatória da forma Y = aX + b : é encontrada aplicando as propriedades acima.

E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b

Em geral, se Y = g (X):

E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x i ). P [g (x i )]

– Ordem no valor esperado: se X ≤ Y, então:

E (X) ≤ E (Y)

Uma vez que existem os valores esperados de cada um deles.

A esperança matemática nas apostas

Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando o céu, dedicou-se a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade em jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em seu trabalho de 1656, intitulado:  Raciocínio sobre o jogo .

Huygens descobriu que as apostas poderiam ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:

-Jogos com uma vantagem: E (X)> 0

– Apostas justas: E (X) = 0

-Jogo Derrotivo: E (X) <0

O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.

Vamos tentar com uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de US $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?

Bem, a probabilidade de que as cabeças sejam ½ é a mesma que uma cruz. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é indicado com um sinal de + e a perda com um sinal de -.

Organizamos as informações em uma tabela:

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Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e, finalmente, os resultados são somados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual os participantes não devem ganhar nem perder.

A roleta francesa e a loteria são jogos desfavorecidos nos quais a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos 

Aqui estão alguns exemplos simples em que o conceito de esperança matemática é intuitivo e esclarece o conceito:

Exemplo 1

Começaremos lançando dados honestos. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado é honesto e tem 6 cabeças, a probabilidade de que qualquer valor (X = 1, 2, 3 … 6) saia é 1/6, assim:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

O valor esperado nesse caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, pois nenhuma face vale 3,5. Isto é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.

Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.

Exemplo 2

Duas moedas honestas são lançadas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de cabeças obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:

-Nenhum rosto sai: 0 rostos iguais a 2 cruzamentos.

-Há uma face e um selo ou cruz.

-Dois rostos saem.

Seja C uma face e T um selo, o espaço de amostra que descreve esses eventos é o seguinte:

S m = {Selo-Selo; Cara de Foca; Face-Seal; Face-face} = {TT, TC, CT, CC}

As chances de eventos acontecerem são:

P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T) .P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½

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P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼

A tabela é construída com os valores obtidos:

De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:

μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …

Substituindo valores:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tiver tempo suficiente para fazer muitas experiências jogando as duas moedas, espera-se que ela fique de cara em cada flip.

No entanto, sabemos que lançamentos com 2 selos são perfeitamente possíveis.

Exercício resolvido

No sorteio de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se duas caras saírem, você ganha $ 3, se um lado sai, você ganha $ 1, mas se dois selos saem, você deve pagar $ 5. Calcule o lucro esperado da aposta.

Solução

A variável aleatória X são os valores que o dinheiro recebe na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior; portanto, a tabela da aposta é:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Uma vez que o valor esperado é 0, este é um jogo justo, pelo que se espera que o apostador não ganhe e também não perca. No entanto, os valores da aposta podem ser alterados para transformar a aposta em um jogo vantajoso ou em um jogo desfavorecido.

Referências

  1. Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
  2. Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
  3. Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis ​​aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
  4. Triola, M. 2010. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Addison Wesley.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para ciências e engenharia. 8th. Edição. Pearson Education.

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