Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício

A esperança matemática é um conceito fundamental em probabilidade e estatística que representa o valor médio de uma variável aleatória. Neste contexto, a esperança matemática é calculada como a média ponderada de todos os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir, sendo ponderada pelas probabilidades associadas a cada valor.

Neste artigo, vamos explorar a fórmula da esperança matemática, suas propriedades, exemplos de cálculos e um exercício para praticar o seu entendimento. A esperança matemática é uma ferramenta poderosa que nos permite fazer previsões e inferências com base em dados probabilísticos, sendo amplamente utilizada em diversas áreas da ciência e da engenharia. Vamos explorar mais sobre esse conceito e como ele pode ser aplicado em diferentes contextos.

Como determinar a média de um conjunto de valores usando a matemática.

Para determinar a média de um conjunto de valores usando a matemática, basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo número total de valores. Essa operação é conhecida como média aritmética e é uma forma simples e eficaz de resumir um conjunto de dados em um único valor representativo.

A fórmula para calcular a média de um conjunto de valores é:

Média = (valor1 + valor2 + valor3 + … + valorN) / N

Onde N representa o número total de valores no conjunto. Para encontrar a média, basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo número total de valores.

A média possui algumas propriedades interessantes, como a propriedade de ser afetada por valores extremos. Um valor muito grande ou muito pequeno pode distorcer a média, tornando-a menos representativa do conjunto de dados.

Para exemplificar, vamos calcular a média de um conjunto de valores: 10, 15, 20 e 25.

Média = (10 + 15 + 20 + 25) / 4 = 70 / 4 = 17,5

Portanto, a média desse conjunto de valores é 17,5.

Um exercício simples para praticar o cálculo da média é determinar a média dos valores: 5, 7, 9, 11 e 13.

Média = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 45 / 5 = 9

Assim, a média desses valores é 9.

Significado da esperança matemática: conceito essencial na probabilidade e estatística.

A esperança matemática é um conceito fundamental na probabilidade e estatística, que representa o valor médio de uma variável aleatória. Em outras palavras, é a média ponderada dos possíveis resultados de um experimento, levando em consideração a probabilidade de cada resultado ocorrer.

A fórmula da esperança matemática, denotada por E(X), é calculada multiplicando cada valor possível da variável pela sua probabilidade e somando todos esses produtos. Matematicamente, podemos expressar a esperança matemática da seguinte forma:

E(X) = Σ x * P(x)

onde x representa cada valor possível da variável e P(x) é a probabilidade associada a esse valor.

Algumas propriedades importantes da esperança matemática incluem a linearidade, a independência e a invariância. A linearidade da esperança matemática significa que a esperança da soma de duas variáveis é igual à soma das esperanças individuais. A independência implica que a esperança de um produto de variáveis independentes é o produto das esperanças individuais. E a invariância significa que a esperança de uma constante multiplicada por uma variável é igual à constante multiplicada pela esperança da variável.

Para ilustrar melhor o conceito, vamos ver um exemplo simples. Suponha que lançamos um dado honesto de seis lados e queremos calcular a esperança matemática do resultado. Neste caso, temos seis possíveis resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6) e cada um tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é 1/6. Portanto, a esperança matemática seria:

E(X) = (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5

Assim, a esperança matemática do resultado do lançamento de um dado honesto é 3.5. Este valor representa o valor médio que esperamos obter ao lançar o dado várias vezes.

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Para praticar o cálculo da esperança matemática, você pode tentar resolver o seguinte exercício: calcular a esperança matemática de uma moeda justa, onde cara tem probabilidade 1/2 e coroa tem probabilidade 1/2.

Valor esperado: entenda como calcular esse importante indicador estatístico de forma simples.

Valor esperado é um importante indicador estatístico que representa a média ponderada de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, levando em consideração a probabilidade de cada resultado ocorrer. Para calcular o valor esperado, basta multiplicar cada resultado possível pela sua probabilidade de ocorrência e somar todos esses produtos.

A fórmula para calcular o valor esperado de uma variável aleatória X é dada por:

E(X) = Σ(x * P(x))

Onde E(X) representa o valor esperado de X, x é o resultado possível, e P(x) é a probabilidade desse resultado ocorrer.

O valor esperado possui algumas propriedades importantes, como a linearidade, ou seja, a soma de duas variáveis aleatórias tem como valor esperado a soma dos valores esperados de cada uma delas. Além disso, o valor esperado é um indicador de tendência central que pode ajudar a prever o resultado médio de um experimento em múltiplas repetições.

Um exemplo simples de cálculo do valor esperado é o lançamento de um dado honesto de seis faces. Os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, cada um com probabilidade de ocorrência de 1/6. Portanto, o valor esperado desse experimento é:

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5

Para praticar o cálculo do valor esperado, um exercício simples seria calcular o valor esperado de uma moeda justa, onde os resultados possíveis são cara e coroa, cada um com probabilidade de 1/2. Faça os cálculos e verifique se você obteve o valor esperado correto.

Como fazer o cálculo de XY de forma simples e eficiente.

Para calcular a esperança matemática de uma variável aleatória XY, é necessário utilizar a fórmula E(XY) = E(X) * E(Y), onde E representa a esperança matemática. Esta fórmula é baseada na propriedade da multiplicação de variáveis aleatórias independentes.

Para calcular a esperança matemática de XY, primeiro é preciso calcular a esperança matemática de X e de Y separadamente. Em seguida, multiplica-se os valores obtidos para encontrar o resultado final.

Vamos a um exemplo para ilustrar melhor o cálculo da esperança matemática de XY. Suponhamos que E(X) = 3 e E(Y) = 5. Para encontrar E(XY), basta multiplicar os valores encontrados: E(XY) = 3 * 5 = 15.

Para fixar o conceito, vamos resolver um exercício: Seja X uma variável aleatória com E(X) = 2 e Y uma variável aleatória com E(Y) = 4. Calcule E(XY).

Utilizando a fórmula E(XY) = E(X) * E(Y), temos E(XY) = 2 * 4 = 8. Portanto, a esperança matemática de XY neste caso é 8.

Como podemos ver, o cálculo da esperança matemática de XY é simples e eficiente, bastando aplicar a fórmula corretamente e multiplicar os valores das variáveis aleatórias. É importante lembrar que esta fórmula só é válida para variáveis aleatórias independentes.

Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício

Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício

A expectativa matemática ou o valor esperado da variável aleatória X, é indicado como E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório e o valor do referido evento.

Em forma matemática, é expresso da seguinte forma:

μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …

Onde x i é o valor do evento e P (x i ) sua probabilidade de ocorrência. A soma está espalhada por todos os valores que X admite.  E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, a variável simplesmente não tem valor esperado.

Quando se trata de uma variável contínua x , a variável pode ter valores infinitos e integrais substituem somatórios:

Aqui f (x) representa a função de densidade de probabilidade .

Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média ou média aritmética, a menos que sejam distribuições discretas nas quais cada evento é igualmente provável . Então, e somente então:

μ = E (X) = (1 / n) ∑ x i

Onde n é o número de valores possíveis.

O conceito é muito útil nos mercados financeiros e nas companhias de seguros, onde muitas vezes faltam certezas, mas as probabilidades são altas.

Propriedades da esperança matemática

Entre as propriedades mais importantes da esperança matemática, destacam-se:

 – Sinal: se X é positivo, então E (X) também será positivo.

 – Valor esperado de uma constante : o valor esperado de uma constante real k é a constante.

E (k) = k

– Linearidade na soma: a esperança de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis ​​X e Y é a soma das esperanças.

 E (X + Y) = E (X) + E (Y)

– Multiplicação por uma constante : se a variável aleatória tem a forma kX , onde k é uma constante (um número real), fica fora do valor esperado.

E (kX) = k E (X)

– Valor esperado do produto e independência entre variáveis : se uma variável aleatória é o produto das variáveis ​​aleatórias X e Y, que são independentes , então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.

E (XY) = E (X) .E (Y)

 – Variável aleatória da forma Y = aX + b : é encontrada aplicando as propriedades acima.

E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b

Em geral, se Y = g (X):

E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x i ). P [g (x i )]

– Ordem no valor esperado: se X ≤ Y, então:

E (X) ≤ E (Y)

Uma vez que existem os valores esperados de cada um deles.

A esperança matemática nas apostas

Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando o céu, dedicou-se a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade em jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em seu trabalho de 1656, intitulado:  Raciocínio sobre o jogo .

Huygens descobriu que as apostas poderiam ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:

-Jogos com uma vantagem: E (X)> 0

– Apostas justas: E (X) = 0

-Jogo Derrotivo: E (X) <0

O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.

Vamos tentar com uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de US $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?

Bem, a probabilidade de que as cabeças sejam ½ é a mesma que uma cruz. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é indicado com um sinal de + e a perda com um sinal de -.

Organizamos as informações em uma tabela:

Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e, finalmente, os resultados são somados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual os participantes não devem ganhar nem perder.

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A roleta francesa e a loteria são jogos desfavorecidos nos quais a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos 

Aqui estão alguns exemplos simples em que o conceito de esperança matemática é intuitivo e esclarece o conceito:

Exemplo 1

Começaremos lançando dados honestos. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado é honesto e tem 6 cabeças, a probabilidade de que qualquer valor (X = 1, 2, 3 … 6) saia é 1/6, assim:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

O valor esperado nesse caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, pois nenhuma face vale 3,5. Isto é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.

Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.

Exemplo 2

Duas moedas honestas são lançadas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de cabeças obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:

-Nenhum rosto sai: 0 rostos iguais a 2 cruzamentos.

-Há uma face e um selo ou cruz.

-Dois rostos saem.

Seja C uma face e T um selo, o espaço de amostra que descreve esses eventos é o seguinte:

S m = {Selo-Selo; Cara de Foca; Face-Seal; Face-face} = {TT, TC, CT, CC}

As chances de eventos acontecerem são:

P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T) .P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼

A tabela é construída com os valores obtidos:

De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:

μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …

Substituindo valores:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tiver tempo suficiente para fazer muitas experiências jogando as duas moedas, espera-se que ela fique de cara em cada flip.

No entanto, sabemos que lançamentos com 2 selos são perfeitamente possíveis.

Exercício resolvido

No sorteio de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se duas caras saírem, você ganha $ 3, se um lado sai, você ganha $ 1, mas se dois selos saem, você deve pagar $ 5. Calcule o lucro esperado da aposta.

Solução

A variável aleatória X são os valores que o dinheiro recebe na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior; portanto, a tabela da aposta é:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Uma vez que o valor esperado é 0, este é um jogo justo, pelo que se espera que o apostador não ganhe e também não perca. No entanto, os valores da aposta podem ser alterados para transformar a aposta em um jogo vantajoso ou em um jogo desfavorecido.

Referências

  1. Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
  2. Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
  3. Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis ​​aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
  4. Triola, M. 2010. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Addison Wesley.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para ciências e engenharia. 8th. Edição. Pearson Education.

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