A esperança matemática é um conceito fundamental em probabilidade e estatística que representa o valor médio de uma variável aleatória. Neste contexto, a esperança matemática é calculada como a média ponderada de todos os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir, sendo ponderada pelas probabilidades associadas a cada valor.
Neste artigo, vamos explorar a fórmula da esperança matemática, suas propriedades, exemplos de cálculos e um exercício para praticar o seu entendimento. A esperança matemática é uma ferramenta poderosa que nos permite fazer previsões e inferências com base em dados probabilísticos, sendo amplamente utilizada em diversas áreas da ciência e da engenharia. Vamos explorar mais sobre esse conceito e como ele pode ser aplicado em diferentes contextos.
Como determinar a média de um conjunto de valores usando a matemática.
Para determinar a média de um conjunto de valores usando a matemática, basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo número total de valores. Essa operação é conhecida como média aritmética e é uma forma simples e eficaz de resumir um conjunto de dados em um único valor representativo.
A fórmula para calcular a média de um conjunto de valores é:
Média = (valor1 + valor2 + valor3 + … + valorN) / N
Onde N representa o número total de valores no conjunto. Para encontrar a média, basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo número total de valores.
A média possui algumas propriedades interessantes, como a propriedade de ser afetada por valores extremos. Um valor muito grande ou muito pequeno pode distorcer a média, tornando-a menos representativa do conjunto de dados.
Para exemplificar, vamos calcular a média de um conjunto de valores: 10, 15, 20 e 25.
Média = (10 + 15 + 20 + 25) / 4 = 70 / 4 = 17,5
Portanto, a média desse conjunto de valores é 17,5.
Um exercício simples para praticar o cálculo da média é determinar a média dos valores: 5, 7, 9, 11 e 13.
Média = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 45 / 5 = 9
Assim, a média desses valores é 9.
Significado da esperança matemática: conceito essencial na probabilidade e estatística.
A esperança matemática é um conceito fundamental na probabilidade e estatística, que representa o valor médio de uma variável aleatória. Em outras palavras, é a média ponderada dos possíveis resultados de um experimento, levando em consideração a probabilidade de cada resultado ocorrer.
A fórmula da esperança matemática, denotada por E(X), é calculada multiplicando cada valor possível da variável pela sua probabilidade e somando todos esses produtos. Matematicamente, podemos expressar a esperança matemática da seguinte forma:
E(X) = Σ x * P(x)
onde x representa cada valor possível da variável e P(x) é a probabilidade associada a esse valor.
Algumas propriedades importantes da esperança matemática incluem a linearidade, a independência e a invariância. A linearidade da esperança matemática significa que a esperança da soma de duas variáveis é igual à soma das esperanças individuais. A independência implica que a esperança de um produto de variáveis independentes é o produto das esperanças individuais. E a invariância significa que a esperança de uma constante multiplicada por uma variável é igual à constante multiplicada pela esperança da variável.
Para ilustrar melhor o conceito, vamos ver um exemplo simples. Suponha que lançamos um dado honesto de seis lados e queremos calcular a esperança matemática do resultado. Neste caso, temos seis possíveis resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6) e cada um tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é 1/6. Portanto, a esperança matemática seria:
E(X) = (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5
Assim, a esperança matemática do resultado do lançamento de um dado honesto é 3.5. Este valor representa o valor médio que esperamos obter ao lançar o dado várias vezes.
Para praticar o cálculo da esperança matemática, você pode tentar resolver o seguinte exercício: calcular a esperança matemática de uma moeda justa, onde cara tem probabilidade 1/2 e coroa tem probabilidade 1/2.
Valor esperado: entenda como calcular esse importante indicador estatístico de forma simples.
Valor esperado é um importante indicador estatístico que representa a média ponderada de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, levando em consideração a probabilidade de cada resultado ocorrer. Para calcular o valor esperado, basta multiplicar cada resultado possível pela sua probabilidade de ocorrência e somar todos esses produtos.
A fórmula para calcular o valor esperado de uma variável aleatória X é dada por:
E(X) = Σ(x * P(x))
Onde E(X) representa o valor esperado de X, x é o resultado possível, e P(x) é a probabilidade desse resultado ocorrer.
O valor esperado possui algumas propriedades importantes, como a linearidade, ou seja, a soma de duas variáveis aleatórias tem como valor esperado a soma dos valores esperados de cada uma delas. Além disso, o valor esperado é um indicador de tendência central que pode ajudar a prever o resultado médio de um experimento em múltiplas repetições.
Um exemplo simples de cálculo do valor esperado é o lançamento de um dado honesto de seis faces. Os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, cada um com probabilidade de ocorrência de 1/6. Portanto, o valor esperado desse experimento é:
E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5
Para praticar o cálculo do valor esperado, um exercício simples seria calcular o valor esperado de uma moeda justa, onde os resultados possíveis são cara e coroa, cada um com probabilidade de 1/2. Faça os cálculos e verifique se você obteve o valor esperado correto.
Como fazer o cálculo de XY de forma simples e eficiente.
Para calcular a esperança matemática de uma variável aleatória XY, é necessário utilizar a fórmula E(XY) = E(X) * E(Y), onde E representa a esperança matemática. Esta fórmula é baseada na propriedade da multiplicação de variáveis aleatórias independentes.
Para calcular a esperança matemática de XY, primeiro é preciso calcular a esperança matemática de X e de Y separadamente. Em seguida, multiplica-se os valores obtidos para encontrar o resultado final.
Vamos a um exemplo para ilustrar melhor o cálculo da esperança matemática de XY. Suponhamos que E(X) = 3 e E(Y) = 5. Para encontrar E(XY), basta multiplicar os valores encontrados: E(XY) = 3 * 5 = 15.
Para fixar o conceito, vamos resolver um exercício: Seja X uma variável aleatória com E(X) = 2 e Y uma variável aleatória com E(Y) = 4. Calcule E(XY).
Utilizando a fórmula E(XY) = E(X) * E(Y), temos E(XY) = 2 * 4 = 8. Portanto, a esperança matemática de XY neste caso é 8.
Como podemos ver, o cálculo da esperança matemática de XY é simples e eficiente, bastando aplicar a fórmula corretamente e multiplicar os valores das variáveis aleatórias. É importante lembrar que esta fórmula só é válida para variáveis aleatórias independentes.
Esperança matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício
A expectativa matemática ou o valor esperado da variável aleatória X, é indicado como E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório e o valor do referido evento.
Em forma matemática, é expresso da seguinte forma:
μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …
Onde x i é o valor do evento e P (x i ) sua probabilidade de ocorrência. A soma está espalhada por todos os valores que X admite. E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, a variável simplesmente não tem valor esperado.
Quando se trata de uma variável contínua x , a variável pode ter valores infinitos e integrais substituem somatórios:
Aqui f (x) representa a função de densidade de probabilidade .
Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média ou média aritmética, a menos que sejam distribuições discretas nas quais cada evento é igualmente provável . Então, e somente então:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ x i
Onde n é o número de valores possíveis.
O conceito é muito útil nos mercados financeiros e nas companhias de seguros, onde muitas vezes faltam certezas, mas as probabilidades são altas.
Propriedades da esperança matemática
Entre as propriedades mais importantes da esperança matemática, destacam-se:
– Sinal: se X é positivo, então E (X) também será positivo.
– Valor esperado de uma constante : o valor esperado de uma constante real k é a constante.
E (k) = k
– Linearidade na soma: a esperança de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis X e Y é a soma das esperanças.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
– Multiplicação por uma constante : se a variável aleatória tem a forma kX , onde k é uma constante (um número real), fica fora do valor esperado.
E (kX) = k E (X)
– Valor esperado do produto e independência entre variáveis : se uma variável aleatória é o produto das variáveis aleatórias X e Y, que são independentes , então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.
E (XY) = E (X) .E (Y)
– Variável aleatória da forma Y = aX + b : é encontrada aplicando as propriedades acima.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Em geral, se Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x i ). P [g (x i )]
– Ordem no valor esperado: se X ≤ Y, então:
E (X) ≤ E (Y)
Uma vez que existem os valores esperados de cada um deles.
A esperança matemática nas apostas
Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando o céu, dedicou-se a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade em jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em seu trabalho de 1656, intitulado: Raciocínio sobre o jogo .
Huygens descobriu que as apostas poderiam ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:
-Jogos com uma vantagem: E (X)> 0
– Apostas justas: E (X) = 0
-Jogo Derrotivo: E (X) <0
O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.
Vamos tentar com uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de US $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?
Bem, a probabilidade de que as cabeças sejam ½ é a mesma que uma cruz. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é indicado com um sinal de + e a perda com um sinal de -.
Organizamos as informações em uma tabela:
Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e, finalmente, os resultados são somados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual os participantes não devem ganhar nem perder.
A roleta francesa e a loteria são jogos desfavorecidos nos quais a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.
Exemplos
Aqui estão alguns exemplos simples em que o conceito de esperança matemática é intuitivo e esclarece o conceito:
Exemplo 1
Começaremos lançando dados honestos. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado é honesto e tem 6 cabeças, a probabilidade de que qualquer valor (X = 1, 2, 3 … 6) saia é 1/6, assim:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
O valor esperado nesse caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, pois nenhuma face vale 3,5. Isto é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.
Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.
Exemplo 2
Duas moedas honestas são lançadas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de cabeças obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:
-Nenhum rosto sai: 0 rostos iguais a 2 cruzamentos.
-Há uma face e um selo ou cruz.
-Dois rostos saem.
Seja C uma face e T um selo, o espaço de amostra que descreve esses eventos é o seguinte:
S m = {Selo-Selo; Cara de Foca; Face-Seal; Face-face} = {TT, TC, CT, CC}
As chances de eventos acontecerem são:
P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T) .P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼
A tabela é construída com os valores obtidos:
De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:
μ = E (X) = x Σ i . P (x i ) = x 1 .P (x 1 ) + x 2 .P (x 2 ) + x 3 .P (x 3 ) + …
Substituindo valores:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tiver tempo suficiente para fazer muitas experiências jogando as duas moedas, espera-se que ela fique de cara em cada flip.
No entanto, sabemos que lançamentos com 2 selos são perfeitamente possíveis.
Exercício resolvido
No sorteio de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se duas caras saírem, você ganha $ 3, se um lado sai, você ganha $ 1, mas se dois selos saem, você deve pagar $ 5. Calcule o lucro esperado da aposta.
Solução
A variável aleatória X são os valores que o dinheiro recebe na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior; portanto, a tabela da aposta é:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Uma vez que o valor esperado é 0, este é um jogo justo, pelo que se espera que o apostador não ganhe e também não perca. No entanto, os valores da aposta podem ser alterados para transformar a aposta em um jogo vantajoso ou em um jogo desfavorecido.
Referências
- Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
- Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
- Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Addison Wesley.
- Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para ciências e engenharia. 8th. Edição. Pearson Education.