Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos

Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos

A probabilidade condicional é a possibilidade de ocorrência de um determinado evento, dado que a mesma situação que uma condição. Essas informações adicionais podem modificar (ou talvez não) a percepção de que algo vai acontecer.

Por exemplo, podemos nos perguntar: “Qual é a probabilidade de chover hoje, já que não chove há dois dias?” O evento para o qual queremos saber a probabilidade é que chova hoje e a informação adicional que condicionaria a resposta é que “não chove há dois dias”.

Seja um espaço probabilístico composto por Ω (espaço da amostra), ℬ (os eventos aleatórios) e P (a probabilidade de cada evento), mais os eventos A e B que pertencem a ℬ.

A probabilidade condicional de A ocorrer, desde que B ocorreu, que é denotada como P (A│B), é definida como:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B)

Onde: P (A) é a probabilidade de ocorrência de A, P (B) é a probabilidade do evento B e é diferente de 0, e P (A∩B) é a probabilidade da interseção entre A e B, ou seja, , a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem (probabilidade conjunta).

Esta é uma expressão para o teorema de Bayes aplicado a dois eventos, proposto em 1763 pelo teólogo e matemático inglês Thomas Bayes.

Propriedades

-Toda probabilidade condicional está entre 0 e 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-A probabilidade de o evento A ocorrer, dado que o referido evento ocorre, é obviamente 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Se dois eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, eventos que não podem ocorrer simultaneamente, a probabilidade condicional de que um deles ocorra é 0, pois a interseção é nula:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Se B é um subconjunto de A, então a probabilidade condicional também é 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Importante

P (A│B) geralmente não é igual a P (B│A), portanto, deve-se tomar cuidado para não trocar eventos ao encontrar probabilidade condicional.

Regra geral de multiplicação

Muitas vezes você deseja encontrar a probabilidade conjunta P (A∩B), em vez da probabilidade condicional. Então, usando o seguinte teorema, temos:

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P (A∩B) = P (A e B) = P (A│B). P (B)

O teorema pode ser estendido para três eventos A, B e C:

P (A∩B∩C) = P (A e B e C) = P (A) · P (B│A) · P (C│A∩B)

E também para vários eventos, como A 1 , A 2 , A 3 e mais, pode ser expressa da seguinte forma:

P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n ) = P (A 1 ). P (A 2 │A 1 ). P (A 3 │A 1 ∩ A 2 )… P (A n ││A 1 ∩ A 2 ∩… A n-1 )

Quando é o caso de eventos que ocorrem em sequência e em diferentes estágios, é conveniente organizar os dados em um diagrama ou tabela. Isso facilita a visualização das opções para atingir a probabilidade solicitada.

Exemplos disso são o diagrama em árvore e a tabela de contingência . De um deles, o outro pode ser construído.

Exemplos de probabilidade condicional

Vejamos algumas situações em que as probabilidades de um evento são alteradas pela ocorrência de outro:

– Exemplo 1

Dois tipos de bolos são vendidos em uma loja de doces: morango e chocolate. Ao registrar as preferências de 50 clientes de ambos os sexos, foram determinados os seguintes valores:

-27 mulheres, das quais 11 preferem bolo de morango e 16 de chocolate.

-23 homens: 15 escolhem chocolate e 8 morangos.

A probabilidade de um cliente escolher um bolo de chocolate pode ser determinada aplicando a regra de Laplace, segundo a qual a probabilidade de qualquer evento é:

P = número de eventos favoráveis ​​/ número total de eventos

Nesse caso, de 50 clientes, um total de 31 prefere chocolate, então a probabilidade seria P = 31/50 = 0,62. Em outras palavras, 62% dos clientes preferem bolo de chocolate.

Mas seria diferente se o cliente fosse uma mulher? Este é um caso de probabilidade condicional.

Tabela de contingência

Usando uma tabela de contingência como esta, os totais são facilmente visualizados:

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Depois, examinamos os casos favoráveis ​​e aplicamos a regra de Laplace, mas primeiro definimos os eventos:

-B é o evento “cliente do sexo feminino”.

-A é o evento “prefiro bolo de chocolate” ser mulher.

Vamos para a coluna “mulheres” e lá vemos que o total é 27.

Em seguida, procure o caso favorável na linha “chocolate”. Existem 16 desses eventos, portanto, a probabilidade procurada é diretamente:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% das clientes do sexo feminino preferem bolo de chocolate.

Este valor coincide quando o contrastamos com a definição inicialmente dada de probabilidade condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Garantimos o uso da regra de Laplace e dos valores na tabela:

P (B) = 27/50

P (A e B) = 16/50

Onde P (A e B) é a probabilidade de o cliente preferir chocolate e ser do sexo feminino. Agora os valores são substituídos:

P (A│B) = P (A e B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

E está provado que o resultado é o mesmo.

– exemplo 2

A regra de multiplicação se aplica neste exemplo. Suponha que uma vitrine de loja possua calças em três tamanhos: pequeno, médio e grande.

Em um total de 24 calças, das quais 8 de cada tamanho e todas misturadas, qual seria a probabilidade de remover duas delas e que as duas eram pequenas?

É claro que a probabilidade de extrair as calças de um menino na primeira tentativa é 8/24 = 1/3. Agora, a segunda extração está condicionada ao primeiro evento, pois ao remover um par de calças, não há mais 24, mas 23. E se um par pequeno for removido, haverá 7 em vez de 8.

O Evento A está tirando uma calça pequena, depois de outra na primeira tentativa. E o evento B é o primeiro da calça pequena. Portanto:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 24/7

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Por fim, usando a regra de multiplicação:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Exercício resolvido

Em um estudo de pontualidade em voos comerciais, os seguintes dados estão disponíveis:

-P (B) = 0,83, é a probabilidade de um avião decolar a tempo.

-P (A) = 0,81, é a probabilidade de aterrissagem no horário.

-P (B∩A) = 0,78 é a probabilidade de o voo chegar na hora de decolar na hora certa.

Você é solicitado a calcular:

a) Qual é a probabilidade de o avião pousar a tempo, desde que decolou a tempo?

b) A probabilidade acima é igual à probabilidade de você chegar a tempo se conseguiu chegar a tempo?

c) E finalmente: qual é a probabilidade de chegar a tempo, dado que não saiu a tempo?

Solução para

A definição de probabilidade condicional é usada para responder à pergunta:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Solução b

Nesse caso, os eventos na definição são trocados:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A e B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Observe que essa probabilidade é um pouco diferente da anterior, como apontamos anteriormente.

Solução c

A probabilidade de não sair no horário é 1 – P (B) = 1 – 0,83 = 0,17, o chamaremos de P (B C ), porque é o evento complementar para decolar no horário. A probabilidade condicional procurada é:

P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A e B C ) / P (B C )

Por outro lado:

P (A∩B C ) = P (aterrissagem no horário) – P (aterrissagem no horário e decolagem no tempo) = 0,81-0,78 = 0,03

Nesse caso, a probabilidade condicional procurada é:

P (A│B C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referências

  1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
  3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
  4. Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.
  6. Wikipedia. Probabilidade condicionada. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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