Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos

Probabilidade condicional é um conceito fundamental na teoria das probabilidades que descreve a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. A fórmula da probabilidade condicional é dada por P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), onde P(A|B) é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu, P(A ∩ B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem e P(B) é a probabilidade de B ocorrer.

As propriedades da probabilidade condicional incluem a regra do produto, a regra da soma e a regra de Bayes, que são importantes para calcular a probabilidade de eventos condicionados.

Para ilustrar o conceito, um exemplo comum de probabilidade condicional é o lançamento de dois dados. Se sabemos que um dos dados é par, a probabilidade de obter um número par no outro dado é um exemplo de probabilidade condicional.

Exemplos de probabilidade condicional: entenda como funciona esse conceito matemático fundamental.

A probabilidade condicional é um conceito matemático fundamental que surge quando a probabilidade de um evento depende da ocorrência de outro evento. Em outras palavras, a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento B já ocorreu, é chamada de probabilidade condicional.

A fórmula para calcular a probabilidade condicional é dada por:

P(A|B) = P(A e B) / P(B)

onde P(A|B) é a probabilidade condicional de A dado B, P(A e B) é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem e P(B) é a probabilidade de B ocorrer.

Uma propriedade importante da probabilidade condicional é a multiplicação de probabilidades. Se os eventos A e B são independentes, então a probabilidade de ambos ocorrerem é simplesmente o produto das probabilidades de cada evento individualmente.

Para ilustrar melhor, vamos ver alguns exemplos de probabilidade condicional:

Exemplo 1: Suponha que em uma urna há 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Se você retirar uma bola aleatoriamente, qual é a probabilidade de ser vermelha, dado que a bola é azul? Neste caso, P(A|B) = P(vermelha|azul) = 0,

Exemplo 2: Se em uma sala há 30 alunos, sendo 15 meninas e 15 meninos, qual é a probabilidade de escolher aleatoriamente um menino, dado que a pessoa escolhida é uma menina? Neste caso, P(A|B) = P(menino|menina) = 0,5.

Esses exemplos ajudam a entender como a probabilidade condicional funciona e como podemos calcular a probabilidade de um evento, levando em consideração a ocorrência de outro evento. É um conceito essencial em Estatística e Probabilidade, sendo amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.

Descubra as propriedades fundamentais da probabilidade em apenas alguns passos simples.

A probabilidade condicional é uma parte importante da teoria da probabilidade que envolve calcular a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. Para entender melhor esse conceito, vamos explorar suas propriedades fundamentais em apenas alguns passos simples.

Uma das propriedades mais importantes da probabilidade condicional é a fórmula que a define. A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B é representada por P(A|B) e é calculada pela fórmula:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Essa fórmula nos permite determinar a probabilidade de um evento A ocorrer, considerando que o evento B já ocorreu. É essencial lembrar que a probabilidade condicional só é definida quando P(B) > 0.

Além disso, a probabilidade condicional possui algumas propriedades importantes, como a regra do produto e a regra da probabilidade total. A regra do produto é representada pela fórmula:

P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B)

Essa regra nos permite calcular a probabilidade da interseção de dois eventos, levando em consideração a probabilidade condicional de um deles dado o outro. Já a regra da probabilidade total nos auxilia a calcular a probabilidade de um evento A levando em consideração todos os eventos mutuamente exclusivos que o compõem:

P(A) = Σ P(A|B) * P(B)

Para ilustrar melhor esses conceitos, vamos analisar um exemplo simples. Suponha que temos duas urnas, uma com 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, e outra com 2 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. Se retirarmos uma bola aleatoriamente de uma das urnas e ela for azul, qual a probabilidade de ter sido retirada da primeira urna?

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Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da probabilidade condicional:

P(Urna 1|Azul) = P(Azul|Urna 1) * P(Urna 1) / P(Azul)

Substituindo os valores, temos:

P(Urna 1|Azul) = (2/5 * 1/2) / ((2/5 * 1/2) + (4/6 * 1/2)) = 1/3

Portanto, a probabilidade de ter sido retirada da primeira urna é de 1/3. Esse é apenas um exemplo simples que demonstra como a probabilidade condicional pode ser aplicada na prática.

Como determinar a probabilidade condicional em um experimento estatístico de maneira simples e eficaz.

A probabilidade condicional é uma medida de probabilidade que leva em consideração a ocorrência de um evento em relação a outro evento já ocorrido. Para determinar a probabilidade condicional em um experimento estatístico, utilizamos a fórmula que relaciona a probabilidade do evento A dado o evento B, representada por P(A|B).

A fórmula da probabilidade condicional é dada por:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Onde P(A ∩ B) representa a probabilidade da interseção dos eventos A e B, e P(B) é a probabilidade do evento B. Com essa fórmula, podemos calcular a probabilidade condicional de forma simples e eficaz.

Além disso, a probabilidade condicional possui algumas propriedades importantes, como a regra do produto e a regra da probabilidade total, que facilitam o cálculo em diferentes situações.

Para entender melhor como funciona a probabilidade condicional, vejamos um exemplo prático:

Suponha que em um jogo de cartas, temos um baralho com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe. Se retirarmos uma carta aleatoriamente, qual a probabilidade de ser um ás, sabendo que é uma carta de ouros?

Neste caso, temos que calcular a probabilidade de ser um ás (evento A) dado que é uma carta de ouros (evento B). Utilizando a fórmula da probabilidade condicional, temos:

P(Ás|Ouros) = P(Ás ∩ Ouros) / P(Ouros)

Como há apenas um ás de ouros no baralho, a probabilidade de ser um ás de ouros é 1/52. Já a probabilidade de ser uma carta de ouros é 13/52. Portanto, a probabilidade condicional de ser um ás dado que é uma carta de ouros é 1/13.

Dessa forma, ao aplicar a fórmula da probabilidade condicional e utilizar as propriedades adequadas, podemos determinar a probabilidade de eventos em um experimento estatístico de maneira clara e eficaz.

Entendendo a probabilidade através de exemplos práticos e simples de compreender.

Probabilidade condicional é um conceito importante na teoria das probabilidades que descreve a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. Para entender melhor esse conceito, vamos analisar a fórmula e equações envolvidas, suas propriedades e alguns exemplos práticos.

A fórmula da probabilidade condicional é dada por P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), onde P(A|B) representa a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B já ocorreu. A interseção entre A e B é representada por A ∩ B e P(B) é a probabilidade do evento B ocorrer.

Uma propriedade importante da probabilidade condicional é a regra da multiplicação, que afirma que P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B). Isso significa que a probabilidade de dois eventos ocorrerem juntos é igual à probabilidade do primeiro evento ocorrer, dado que o segundo evento já ocorreu, multiplicada pela probabilidade do segundo evento ocorrer.

Vamos agora analisar um exemplo prático para ilustrar a probabilidade condicional. Suponha que temos uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Se retirarmos uma bola aleatoriamente, qual a probabilidade de ser uma bola azul, dado que a bola retirada é vermelha? Podemos calcular isso utilizando a fórmula da probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Neste caso, A representa o evento de retirar uma bola azul e B representa o evento de retirar uma bola vermelha. Portanto, P(A|B) = 0 / 5 = 0.

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Compreender a probabilidade condicional é essencial para tomar decisões informadas em diversas áreas, como estatística, ciência de dados e engenharia. Ao dominar esse conceito e suas aplicações, você estará mais preparado para analisar e interpretar dados de forma eficiente e precisa.

Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos

Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos

A probabilidade condicional é a possibilidade de ocorrência de um determinado evento, dado que a mesma situação que uma condição. Essas informações adicionais podem modificar (ou talvez não) a percepção de que algo vai acontecer.

Por exemplo, podemos nos perguntar: “Qual é a probabilidade de chover hoje, já que não chove há dois dias?” O evento para o qual queremos saber a probabilidade é que chova hoje e a informação adicional que condicionaria a resposta é que “não chove há dois dias”.

Seja um espaço probabilístico composto por Ω (espaço da amostra), ℬ (os eventos aleatórios) e P (a probabilidade de cada evento), mais os eventos A e B que pertencem a ℬ.

A probabilidade condicional de A ocorrer, desde que B ocorreu, que é denotada como P (A│B), é definida como:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B)

Onde: P (A) é a probabilidade de ocorrência de A, P (B) é a probabilidade do evento B e é diferente de 0, e P (A∩B) é a probabilidade da interseção entre A e B, ou seja, , a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem (probabilidade conjunta).

Esta é uma expressão para o teorema de Bayes aplicado a dois eventos, proposto em 1763 pelo teólogo e matemático inglês Thomas Bayes.

Propriedades

-Toda probabilidade condicional está entre 0 e 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-A probabilidade de o evento A ocorrer, dado que o referido evento ocorre, é obviamente 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Se dois eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, eventos que não podem ocorrer simultaneamente, a probabilidade condicional de que um deles ocorra é 0, pois a interseção é nula:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Se B é um subconjunto de A, então a probabilidade condicional também é 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Importante

P (A│B) geralmente não é igual a P (B│A), portanto, deve-se tomar cuidado para não trocar eventos ao encontrar probabilidade condicional.

Regra geral de multiplicação

Muitas vezes você deseja encontrar a probabilidade conjunta P (A∩B), em vez da probabilidade condicional. Então, usando o seguinte teorema, temos:

P (A∩B) = P (A e B) = P (A│B). P (B)

O teorema pode ser estendido para três eventos A, B e C:

P (A∩B∩C) = P (A e B e C) = P (A) · P (B│A) · P (C│A∩B)

E também para vários eventos, como A 1 , A 2 , A 3 e mais, pode ser expressa da seguinte forma:

P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n ) = P (A 1 ). P (A 2 │A 1 ). P (A 3 │A 1 ∩ A 2 )… P (A n ││A 1 ∩ A 2 ∩… A n-1 )

Quando é o caso de eventos que ocorrem em sequência e em diferentes estágios, é conveniente organizar os dados em um diagrama ou tabela. Isso facilita a visualização das opções para atingir a probabilidade solicitada.

Exemplos disso são o diagrama em árvore e a tabela de contingência . De um deles, o outro pode ser construído.

Exemplos de probabilidade condicional

Vejamos algumas situações em que as probabilidades de um evento são alteradas pela ocorrência de outro:

– Exemplo 1

Dois tipos de bolos são vendidos em uma loja de doces: morango e chocolate. Ao registrar as preferências de 50 clientes de ambos os sexos, foram determinados os seguintes valores:

-27 mulheres, das quais 11 preferem bolo de morango e 16 de chocolate.

-23 homens: 15 escolhem chocolate e 8 morangos.

A probabilidade de um cliente escolher um bolo de chocolate pode ser determinada aplicando a regra de Laplace, segundo a qual a probabilidade de qualquer evento é:

P = número de eventos favoráveis ​​/ número total de eventos

Nesse caso, de 50 clientes, um total de 31 prefere chocolate, então a probabilidade seria P = 31/50 = 0,62. Em outras palavras, 62% dos clientes preferem bolo de chocolate.

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Mas seria diferente se o cliente fosse uma mulher? Este é um caso de probabilidade condicional.

Tabela de contingência

Usando uma tabela de contingência como esta, os totais são facilmente visualizados:

Depois, examinamos os casos favoráveis ​​e aplicamos a regra de Laplace, mas primeiro definimos os eventos:

-B é o evento “cliente do sexo feminino”.

-A é o evento “prefiro bolo de chocolate” ser mulher.

Vamos para a coluna “mulheres” e lá vemos que o total é 27.

Em seguida, procure o caso favorável na linha “chocolate”. Existem 16 desses eventos, portanto, a probabilidade procurada é diretamente:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% das clientes do sexo feminino preferem bolo de chocolate.

Este valor coincide quando o contrastamos com a definição inicialmente dada de probabilidade condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Garantimos o uso da regra de Laplace e dos valores na tabela:

P (B) = 27/50

P (A e B) = 16/50

Onde P (A e B) é a probabilidade de o cliente preferir chocolate e ser do sexo feminino. Agora os valores são substituídos:

P (A│B) = P (A e B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

E está provado que o resultado é o mesmo.

– exemplo 2

A regra de multiplicação se aplica neste exemplo. Suponha que uma vitrine de loja possua calças em três tamanhos: pequeno, médio e grande.

Em um total de 24 calças, das quais 8 de cada tamanho e todas misturadas, qual seria a probabilidade de remover duas delas e que as duas eram pequenas?

É claro que a probabilidade de extrair as calças de um menino na primeira tentativa é 8/24 = 1/3. Agora, a segunda extração está condicionada ao primeiro evento, pois ao remover um par de calças, não há mais 24, mas 23. E se um par pequeno for removido, haverá 7 em vez de 8.

O Evento A está tirando uma calça pequena, depois de outra na primeira tentativa. E o evento B é o primeiro da calça pequena. Portanto:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 24/7

Por fim, usando a regra de multiplicação:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Exercício resolvido

Em um estudo de pontualidade em voos comerciais, os seguintes dados estão disponíveis:

-P (B) = 0,83, é a probabilidade de um avião decolar a tempo.

-P (A) = 0,81, é a probabilidade de aterrissagem no horário.

-P (B∩A) = 0,78 é a probabilidade de o voo chegar na hora de decolar na hora certa.

Você é solicitado a calcular:

a) Qual é a probabilidade de o avião pousar a tempo, desde que decolou a tempo?

b) A probabilidade acima é igual à probabilidade de você chegar a tempo se conseguiu chegar a tempo?

c) E finalmente: qual é a probabilidade de chegar a tempo, dado que não saiu a tempo?

Solução para

A definição de probabilidade condicional é usada para responder à pergunta:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Solução b

Nesse caso, os eventos na definição são trocados:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A e B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Observe que essa probabilidade é um pouco diferente da anterior, como apontamos anteriormente.

Solução c

A probabilidade de não sair no horário é 1 – P (B) = 1 – 0,83 = 0,17, o chamaremos de P (B C ), porque é o evento complementar para decolar no horário. A probabilidade condicional procurada é:

P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A e B C ) / P (B C )

Por outro lado:

P (A∩B C ) = P (aterrissagem no horário) – P (aterrissagem no horário e decolagem no tempo) = 0,81-0,78 = 0,03

Nesse caso, a probabilidade condicional procurada é:

P (A│B C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referências

  1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
  3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
  4. Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.
  6. Wikipedia. Probabilidade condicionada. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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