Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo

A curtose é um conceito estatístico que mede o grau de “pico” ou “achatamento” de uma distribuição de dados em relação à distribuição normal. Ela é frequentemente utilizada para avaliar a forma da distribuição de uma variável aleatória.

Existem diferentes tipos de curtose, sendo os mais comuns a curtose leptocúrtica (pico mais alto e caudas mais pesadas do que a distribuição normal), a curtose mesocúrtica (similar à distribuição normal) e a curtose platicúrtica (pico mais baixo e caudas mais leves do que a distribuição normal).

A curtose pode ser calculada utilizando diferentes fórmulas, sendo uma das mais comuns a fórmula de Pearson, que leva em consideração os momentos de quarta ordem da distribuição.

A função da curtose é fornecer informações sobre a forma da distribuição dos dados, auxiliando na identificação de possíveis assimetrias ou excessos de valores extremos.

Um exemplo prático de aplicação da curtose seria em estudos financeiros, onde a análise da distribuição dos retornos de um ativo pode indicar se há uma maior concentração de valores próximos à média ou se há uma dispersão maior de retornos extremos.

Conheça os diferentes tipos de curtose e suas características estatísticas.

A curtose é uma medida estatística que descreve a forma da distribuição de dados em relação à sua concentração em torno da média. Ela indica o grau de concentração dos dados na região central da distribuição em relação às caudas da mesma. Existem diferentes tipos de curtose que podem ser utilizados para analisar a forma de uma distribuição.

Os principais tipos de curtose são a curtose mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica. A curtose mesocúrtica é quando a distribuição dos dados é semelhante à distribuição normal, com uma concentração moderada dos dados em torno da média. A curtose leptocúrtica indica uma distribuição mais concentrada em torno da média, com caudas mais pesadas e picos mais altos. Já a curtose platicúrtica é quando a distribuição dos dados é mais achatada em relação à distribuição normal, com caudas mais leves e picos mais baixos.

Para calcular a curtose, é possível utilizar fórmulas específicas, como a fórmula de Pearson ou a fórmula de Fisher. A curtose pode ser usada para identificar distribuições simétricas, assimétricas, com caudas pesadas ou leves, o que auxilia na compreensão da forma dos dados e na tomada de decisões estatísticas.

Um exemplo de aplicação da curtose é na análise de séries temporais financeiras. Ao analisar a curtose dos retornos de um ativo financeiro, é possível identificar a concentração dos dados em torno da média e avaliar o risco associado ao investimento.

Entendendo a curtose: saiba mais sobre essa medida estatística importante na análise de dados.

A curtose é uma medida estatística que descreve a forma da distribuição dos dados em relação à sua concentração em torno da média. Ela é essencial para entender a forma da distribuição dos dados e identificar possíveis outliers. Neste artigo, vamos explorar a definição, os tipos, as fórmulas e a importância da curtose na análise de dados, além de apresentar um exemplo prático para ilustrar seu uso.

Curtose: definição

A curtose é uma medida de forma que descreve o pico e a cauda da distribuição dos dados em relação à distribuição normal. Ela indica o quão pontiaguda ou achatada é a distribuição em comparação com uma distribuição normal. Em outras palavras, a curtose mede a presença e a extensão de caudas pesadas em uma distribuição de dados.

Tipos de curtose

Existem dois tipos principais de curtose: a curtose excessiva (leptocurtose) e a curtose insuficiente (platicurtose). A leptocurtose ocorre quando a distribuição dos dados é mais pontiaguda do que a distribuição normal, enquanto a platicurtose ocorre quando a distribuição dos dados é mais achatada do que a distribuição normal.

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Fórmulas da curtose

Existem várias fórmulas para calcular a curtose, sendo a fórmula de Pearson a mais comum. A fórmula de Pearson para calcular a curtose é:

K = (M4) / (M2^2) – 3

Onde:

  • K é a curtose.
  • M4 é o quarto momento central.
  • M2 é o segundo momento central.

Para que serve a curtose?

A curtose é importante na análise de dados porque fornece informações sobre a forma da distribuição dos dados. Ela ajuda a identificar se a distribuição dos dados é simétrica, pontiaguda, achatada ou possui caudas pesadas. Com a curtose, é possível detectar a presença de outliers e avaliar a robustez das conclusões estatísticas.

Exemplo de curtose

Para ilustrar o uso da curtose, vamos supor que temos um conjunto de dados que representam a altura de uma amostra de pessoas. Ao calcular a curtose desses dados, podemos determinar se a distribuição das alturas é mais pontiaguda, mais achatada ou similar à distribuição normal. Com essa informação, podemos fazer inferências estatísticas mais precisas e identificar possíveis padrões nos dados.

Entendendo a curtose: o que é e como interpretar esse indicador estatístico.

Entendendo a curtose: o que é e como interpretar esse indicador estatístico.

A curtose é um indicador estatístico que mede o pico e o achatamento de uma distribuição de dados em relação à distribuição normal. Em outras palavras, a curtose nos ajuda a entender o quão concentrados ou dispersos os dados estão em torno da média.

Existem diferentes tipos de curtose, sendo eles a curtose leptocúrtica (quando a distribuição dos dados é mais alta e concentrada que a distribuição normal), a curtose mesocúrtica (quando a distribuição dos dados é similar à distribuição normal) e a curtose platicúrtica (quando a distribuição dos dados é mais baixa e dispersa que a distribuição normal).

A fórmula para calcular a curtose é:

[ text{Curtose} = frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} sum_{i=1}^{n} left(frac{(x_i – bar{x})}{s}right)^4 – frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} ]

A curtose é útil para identificar a presença de outliers em um conjunto de dados, pois valores extremos podem afetar significativamente a forma da distribuição. Além disso, a curtose pode nos ajudar a tomar decisões sobre qual método estatístico utilizar em uma determinada análise de dados.

Um exemplo de interpretação da curtose seria se tivéssemos duas distribuições de dados com a mesma média e variância, mas uma fosse leptocúrtica e a outra platicúrtica. Isso indicaria que os dados têm comportamentos diferentes, apesar das estatísticas descritivas básicas serem semelhantes.

Portanto, a curtose é uma ferramenta importante na análise estatística, pois nos ajuda a compreender a forma da distribuição dos dados e a detectar possíveis irregularidades que podem influenciar nossas análises.

Descubra a maneira de calcular o coeficiente de curtose em sua análise estatística.

Curtose: é uma medida estatística que descreve a forma da distribuição de dados em relação à sua cauda e pico. Em outras palavras, a curtose nos ajuda a entender o quão “achatada” ou “pontiaguda” é a distribuição de dados em relação a uma distribuição normal.

Tipos de curtose: Existem três tipos principais de curtose: curtose leptocúrtica (pontiaguda), curtose mesocúrtica (normal) e curtose platicúrtica (achatada).

Fórmulas: Existem várias fórmulas para calcular a curtose, sendo a mais comum a fórmula de Pearson, que é dada por: curtose = (média das diferenças quadradas da variável ao quadrado) / (desvio padrão da variável ao quadrado)^4.

Para que serve: A curtose é útil para identificar outliers, avaliar a simetria dos dados e determinar a robustez de testes estatísticos.

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Exemplo: Suponha que estamos analisando a distribuição de alturas de uma população. Se a curtose for positiva, significa que a distribuição é pontiaguda, com valores extremos mais concentrados do que o esperado em uma distribuição normal. Por outro lado, se a curtose for negativa, a distribuição é achatada, com valores extremos menos concentrados.

Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo

Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo

A curtose ou curtose é um parâmetro estatístico que serve para caracterizar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, indicando o grau de concentração dos valores em torno da medida central. Isso também é conhecido como “grau de pico”.

O termo vem do grego “kurtos”, que significa arqueado; portanto, a curtose indica o grau de apontamento ou achatamento da distribuição, como pode ser visto na figura a seguir:

Quase todos os valores de uma variável aleatória tendem a se agrupar em torno de um valor central, como a média. Mas em algumas distribuições, os valores são mais dispersos do que em outras, resultando em curvas mais planas ou mais finas.

Definição

Curtose é um valor numérico de cada distribuição de frequência, que de acordo com a concentração de valores em torno da média, são classificados em três grupos:

Leptocúrtica: na qual os valores estão muito agrupados em torno da média, pelo que a distribuição parece bastante pontiaguda e esbelta (figura 1, à esquerda).

Mesocúrtica: possui uma concentração moderada de valores em torno da média (figura 1 no centro).

Platicúrtica: essa distribuição tem uma forma mais ampla, pois os valores tendem a ser mais dispersos (figura 1 à direita).

Fórmulas e equações

A curtose pode ter qualquer valor, sem limitações. Seu cálculo é realizado dependendo da maneira como os dados são entregues. A notação usada em cada caso é a seguinte:

-Coeficiente de curtose: g 2

– Média aritmética: X boi com barra

-Um i-ésimo valor: x i

Desvio padrão: σ

-Número de dados: N

-A frequência do i-ésimo valor: f i

-Classe de marca: m x i

Com esta notação, apresentamos algumas das fórmulas mais usadas para encontrar curtose:

– Curtose de acordo com a apresentação dos dados

Dados não agrupados ou agrupados por frequência

Dados agrupados em intervalos

Excesso de curtose

Também chamado de coeficiente de Fisher ou medida de Fisher , é usado para comparar a distribuição em estudo com a distribuição normal.

Quando o excesso de curtose vale 0, estamos na presença de uma distribuição normal ou sino gaussiano. Dessa forma, sempre que o excesso de curtose de uma distribuição é calculado, na verdade estamos comparando-o com a distribuição normal.

Para dados não agrupados e agrupados, o coeficiente de objetivo de Fisher, indicado por K, é:

K = g – 3

Agora, pode-se mostrar que a curtose da distribuição normal é 3, portanto, se o coeficiente de Fisher for 0 ou próximo de 0 e tivermos uma distribuição mesocúrtica. Se K> 0, a distribuição é leptocúrtica e, se K <0, é platicórica.

Para que serve a curtose?

A curtose é uma medida de variabilidade usada para caracterizar a morfologia de uma distribuição. Dessa forma, as distribuições simétricas podem ser comparadas com a mesma média e a mesma dispersão (dada pelo desvio padrão).

Ter medidas de variabilidade garante que as médias sejam confiáveis ​​e ajuda a controlar variações na distribuição. Como exemplo, vamos analisar essas duas situações.

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Os salários de 3 departamentos

Suponha que o gráfico a seguir mostre as distribuições no salário de 3 departamentos da mesma empresa:

A curva A é a mais fina de todas, e sua forma mostra que a maioria dos salários desse departamento está muito próxima da média, de modo que a maioria dos funcionários recebe remuneração semelhante.

Por outro lado, no departamento B, a curva salarial segue uma distribuição normal, uma vez que a curva é mesocúrtica, na qual assumimos que os salários foram distribuídos aleatoriamente.

E, finalmente, temos a curva C, que é muito plana, um sinal de que nesse departamento a faixa salarial é muito maior do que nos outros.

Os resultados de um exame

Agora, suponha que as três curvas da Figura 2 representem os resultados de um exame aplicado a três grupos de estudantes na mesma matéria.

O grupo cujos escores são representados pela curva leptocúrtica A é bastante homogêneo, a maioria obteve escore médio ou próximo.

Também é possível que o resultado tenha sido porque as perguntas do exame apresentavam mais ou menos o mesmo grau de dificuldade.

Por outro lado, os resultados do grupo C indicam uma maior heterogeneidade no grupo, que provavelmente contém alunos médios, alguns mais favorecidos e, certamente, os mesmos menos atentos.

Ou pode significar que as perguntas do teste têm graus de dificuldade muito diferentes.

A curva B é mesocúrtica, indicativa de que os resultados do teste seguiram uma distribuição normal. Este é geralmente o caso mais frequente.

Exemplo resolvido de curtose

Encontre o coeficiente de objetivo de Fisher para as seguintes notas, obtidas em um exame de física para um grupo de estudantes, em uma escala de 1 a 10:

5, 5, 4, 7, 7,7, 9, 8, 9, 4, 3

Solução

A expressão a seguir será usada para dados não agrupados, fornecidos nas seções anteriores:

K = g 2 – 3

Este valor permite conhecer o tipo de distribuição.

Para calcular g 2,  é conveniente fazê-lo de maneira ordenada, passo a passo, uma vez que várias operações aritméticas precisam ser resolvidas.

Passo 1

Primeiro, a média da nota é calculada. Existem N = 11 dados.

X = (5 + 5 + 4 + 7 + 7 + 7 + 9 + 8 + 9 + 4 + 3) / 11 = 6.182

Passo 2

O desvio padrão é encontrado, para o qual esta equação é usada:

σ = 1.992

Ou você também pode criar uma tabela, que também é necessária para a próxima etapa e na qual cada termo dos somatórios necessários será escrito, começando com (x i – X) e depois (x i – X) e então (x i – X) :

etapa 3

Faça a soma indicada no numerador da fórmula para g 2 . Para isso, é utilizado o resultado da coluna da direita da tabela anterior:

∑ ( x i – X) 4 = 290,15

Portanto:

g 2 = (1/11) x 290,15 / 1.992 4 = 1.675

O coeficiente de indicação de Fisher é:

K = g 2 – 3 = 1.675 – 3 = -1.325

O interessante é o sinal do resultado, que, sendo negativo, corresponde a uma distribuição platicórica, que pode ser interpretada como no exemplo anterior: possivelmente é um curso heterogêneo com alunos de diferentes graus de interesse ou as perguntas do exame foram de diferentes níveis de dificuldade.

O uso de uma planilha como o Excel facilita muito a resolução desses tipos de problemas e também oferece a opção de representar graficamente a distribuição.

Referências

  1. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.
  2. Marco, F. Curtosis. Recuperado de: economipedia.com.
  3. Oliva, J. Assimetria e curtose. Recuperado de: Estadisticaucv.files.wordpress.com.
  4. Spurr, W. 1982. Tomada de Decisão em Administração. Limusa.
  5. Wikipedia. Curtose. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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