Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo

Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo

A curtose ou curtose é um parâmetro estatístico que serve para caracterizar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, indicando o grau de concentração dos valores em torno da medida central. Isso também é conhecido como “grau de pico”.

O termo vem do grego “kurtos”, que significa arqueado; portanto, a curtose indica o grau de apontamento ou achatamento da distribuição, como pode ser visto na figura a seguir:

Quase todos os valores de uma variável aleatória tendem a se agrupar em torno de um valor central, como a média. Mas em algumas distribuições, os valores são mais dispersos do que em outras, resultando em curvas mais planas ou mais finas.

Definição

Curtose é um valor numérico de cada distribuição de frequência, que de acordo com a concentração de valores em torno da média, são classificados em três grupos:

Leptocúrtica: na qual os valores estão muito agrupados em torno da média, pelo que a distribuição parece bastante pontiaguda e esbelta (figura 1, à esquerda).

Mesocúrtica: possui uma concentração moderada de valores em torno da média (figura 1 no centro).

Platicúrtica: essa distribuição tem uma forma mais ampla, pois os valores tendem a ser mais dispersos (figura 1 à direita).

Fórmulas e equações

A curtose pode ter qualquer valor, sem limitações. Seu cálculo é realizado dependendo da maneira como os dados são entregues. A notação usada em cada caso é a seguinte:

-Coeficiente de curtose: g 2

– Média aritmética: X boi com barra

-Um i-ésimo valor: x i

Desvio padrão: σ

-Número de dados: N

-A frequência do i-ésimo valor: f i

-Classe de marca: m x i

Com esta notação, apresentamos algumas das fórmulas mais usadas para encontrar curtose:

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– Curtose de acordo com a apresentação dos dados

Dados não agrupados ou agrupados por frequência

Dados agrupados em intervalos

Excesso de curtose

Também chamado de coeficiente de Fisher ou medida de Fisher , é usado para comparar a distribuição em estudo com a distribuição normal.

Quando o excesso de curtose vale 0, estamos na presença de uma distribuição normal ou sino gaussiano. Dessa forma, sempre que o excesso de curtose de uma distribuição é calculado, na verdade estamos comparando-o com a distribuição normal.

Para dados não agrupados e agrupados, o coeficiente de objetivo de Fisher, indicado por K, é:

K = g – 3

Agora, pode-se mostrar que a curtose da distribuição normal é 3, portanto, se o coeficiente de Fisher for 0 ou próximo de 0 e tivermos uma distribuição mesocúrtica. Se K> 0, a distribuição é leptocúrtica e, se K <0, é platicórica.

Para que serve a curtose?

A curtose é uma medida de variabilidade usada para caracterizar a morfologia de uma distribuição. Dessa forma, as distribuições simétricas podem ser comparadas com a mesma média e a mesma dispersão (dada pelo desvio padrão).

Ter medidas de variabilidade garante que as médias sejam confiáveis ​​e ajuda a controlar variações na distribuição. Como exemplo, vamos analisar essas duas situações.

Os salários de 3 departamentos

Suponha que o gráfico a seguir mostre as distribuições no salário de 3 departamentos da mesma empresa:

A curva A é a mais fina de todas, e sua forma mostra que a maioria dos salários desse departamento está muito próxima da média, de modo que a maioria dos funcionários recebe remuneração semelhante.

Por outro lado, no departamento B, a curva salarial segue uma distribuição normal, uma vez que a curva é mesocúrtica, na qual assumimos que os salários foram distribuídos aleatoriamente.

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E, finalmente, temos a curva C, que é muito plana, um sinal de que nesse departamento a faixa salarial é muito maior do que nos outros.

Os resultados de um exame

Agora, suponha que as três curvas da Figura 2 representem os resultados de um exame aplicado a três grupos de estudantes na mesma matéria.

O grupo cujos escores são representados pela curva leptocúrtica A é bastante homogêneo, a maioria obteve escore médio ou próximo.

Também é possível que o resultado tenha sido porque as perguntas do exame apresentavam mais ou menos o mesmo grau de dificuldade.

Por outro lado, os resultados do grupo C indicam uma maior heterogeneidade no grupo, que provavelmente contém alunos médios, alguns mais favorecidos e, certamente, os mesmos menos atentos.

Ou pode significar que as perguntas do teste têm graus de dificuldade muito diferentes.

A curva B é mesocúrtica, indicativa de que os resultados do teste seguiram uma distribuição normal. Este é geralmente o caso mais frequente.

Exemplo resolvido de curtose

Encontre o coeficiente de objetivo de Fisher para as seguintes notas, obtidas em um exame de física para um grupo de estudantes, em uma escala de 1 a 10:

5, 5, 4, 7, 7,7, 9, 8, 9, 4, 3

Solução

A expressão a seguir será usada para dados não agrupados, fornecidos nas seções anteriores:

K = g 2 – 3

Este valor permite conhecer o tipo de distribuição.

Para calcular g 2,  é conveniente fazê-lo de maneira ordenada, passo a passo, uma vez que várias operações aritméticas precisam ser resolvidas.

Passo 1

Primeiro, a média da nota é calculada. Existem N = 11 dados.

X = (5 + 5 + 4 + 7 + 7 + 7 + 9 + 8 + 9 + 4 + 3) / 11 = 6.182

Passo 2

O desvio padrão é encontrado, para o qual esta equação é usada:

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σ = 1.992

Ou você também pode criar uma tabela, que também é necessária para a próxima etapa e na qual cada termo dos somatórios necessários será escrito, começando com (x i – X) e depois (x i – X) e então (x i – X) :

etapa 3

Faça a soma indicada no numerador da fórmula para g 2 . Para isso, é utilizado o resultado da coluna da direita da tabela anterior:

∑ ( x i – X) 4 = 290,15

Portanto:

g 2 = (1/11) x 290,15 / 1.992 4 = 1.675

O coeficiente de indicação de Fisher é:

K = g 2 – 3 = 1.675 – 3 = -1.325

O interessante é o sinal do resultado, que, sendo negativo, corresponde a uma distribuição platicórica, que pode ser interpretada como no exemplo anterior: possivelmente é um curso heterogêneo com alunos de diferentes graus de interesse ou as perguntas do exame foram de diferentes níveis de dificuldade.

O uso de uma planilha como o Excel facilita muito a resolução desses tipos de problemas e também oferece a opção de representar graficamente a distribuição.

Referências

  1. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.
  2. Marco, F. Curtosis. Recuperado de: economipedia.com.
  3. Oliva, J. Assimetria e curtose. Recuperado de: Estadisticaucv.files.wordpress.com.
  4. Spurr, W. 1982. Tomada de Decisão em Administração. Limusa.
  5. Wikipedia. Curtose. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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