Probabilidade teórica: como obtê-lo, exemplos, exercícios

Probabilidade teórica: como obtê-lo, exemplos, exercícios

A probabilidade teórica (ou Laplace) de um evento E ocorrer pertencente a um espaço amostral S, no qual todos os eventos têm probabilidade igual de ocorrência, é definida na notação matemática como: P (E) = n (E) / N (S)

Onde P (E) é a probabilidade, dada como quociente entre o número total de possíveis resultados do evento E, que chamamos de n (E), dividido pelo número total N (S) de possíveis resultados no espaço amostral S.

A probabilidade teórica é um número real entre 0 e 1, mas é frequentemente expressa como uma porcentagem; nesse caso, a probabilidade será um valor entre 0% e 100%.

O cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento é muito importante em muitos campos, como atividade comercial, companhias de seguros, jogos de azar e muito mais.

Como obter a probabilidade teórica?

Um caso ilustrativo é o caso de sorteios ou loterias. Suponha que 1.000 tickets sejam emitidos para sortear um smartphone . Como o sorteio é realizado aleatoriamente, ambos os ingressos têm chances iguais de serem vencedores. 

Para descobrir a probabilidade de uma pessoa que comprar uma passagem com o número 81 ser a vencedora, é feito o seguinte cálculo de probabilidade teórica :

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

O resultado anterior é interpretado da seguinte forma: se o sorteio fosse repetido infinitamente, a cada 1.000 vezes o ticket 81 seria selecionado, em média, uma vez.

Se, por algum motivo, alguém comprar todos os ingressos, certamente ganhará o prêmio. A probabilidade de ganhar o prêmio se você tiver todos os ingressos é calculada assim:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Ou seja, a probabilidade 1 ou 100% significa que é totalmente certo que esse resultado ocorrerá.

Se alguém possui 500 bilhetes, as chances de ganhar ou perder são as mesmas. A probabilidade teórica de ganhar o prêmio neste caso é calculada da seguinte forma:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Quem não compra nenhum ingresso não tem chance de ganhar e sua probabilidade teórica é determinada assim:

 P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Exemplos

Exemplo 1

Você tem uma moeda com uma face de um lado e um escudo  ou selo do outro. Quando a moeda é lançada, qual é a probabilidade teórica de sair cara?

P ( face ) = n ( face ) / N ( face + escudo ) = ½ = 0,5 = 50%

O resultado é interpretado da seguinte maneira: se um número enorme de arremessos fosse feito, em média, a cada 2 arremessos, um deles seria caro.

Em termos percentuais, a interpretação do resultado é que, fazendo um número infinitamente grande de lançamentos, em média a cada 100 deles, 50 resultariam em cabeças.

Exemplo 2

Em uma caixa existem 3 bolinhas azuis, 2 bolinhas vermelhas e 1 verde. Qual é a probabilidade teórica de que, quando você tira um mármore da caixa, ele fica vermelho?

A probabilidade de ficar vermelho é:

P (vermelho) = Número de casos favoráveis ​​/ Número de casos possíveis

Quer dizer:

P (vermelho) = Número de bolas vermelhas / Número total de bolas vermelhas

Finalmente, temos que a probabilidade de que um mármore vermelho seja extraído é:

P (vermelho) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Embora a probabilidade de extrair um mármore verde seja:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Finalmente, a probabilidade teórica de obter um mármore azul em uma extração cega é: 

P (azul) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Ou seja, de cada 2 tentativas o resultado será azul em uma delas e outra cor em outra tentativa, sob a premissa de que o mármore extraído é substituído e que o número de tentativas é muito, muito grande.

Exercícios

Exercício 1

Determine a probabilidade de que, ao rolar um dado, seja obtido um valor menor ou igual a 4.

Solução

Para calcular a probabilidade desse evento ocorrer, será aplicada a definição de probabilidade teórica:

P (≤4) = Número de casos favoráveis ​​/ Número de casos possíveis

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Exercício 2

Encontre a probabilidade de que, em dois lançamentos consecutivos de um dado de seis lados normal, ele role 5 2 vezes.

Solução

Para responder a este exercício, é aconselhável fazer uma tabela para mostrar todas as possibilidades. A primeira figura indica o resultado do primeiro dado e o segundo número o resultado do outro.

Para calcular a probabilidade teórica, precisamos conhecer o número total de casos possíveis, neste caso, como pode ser visto na tabela anterior, existem 36 possibilidades.

Observando também a tabela, segue-se que o número de casos favoráveis ​​ao evento que sai nos dois lançamentos consecutivos 5 é apenas 1, destacado em cores, portanto a probabilidade de ocorrência desse evento é:

P (5 x 5) = 1/36.

Esse resultado também poderia ter sido alcançado usando uma das propriedades da probabilidade teórica, que afirma que a probabilidade combinada de dois eventos independentes é o produto de suas probabilidades individuais.

Nesse caso, a probabilidade de 5 serem rolados no primeiro arremesso é ⅙. O segundo arremesso é completamente independente do primeiro, então a probabilidade de 5 sair no segundo também é ⅙. Portanto, a probabilidade combinada é:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Exercício 3

Encontre a probabilidade de que um número menor que 2 apareça na primeira jogada e um número maior que 2 apareça na segunda jogada. 

Solução

Mais uma vez, uma tabela de eventos possíveis deve ser construída, destacando aqueles em que o primeiro lançamento foi menor que 2 e o segundo maior que 2.

No total, existem 4 possibilidades de um total de 36. Em outras palavras, a probabilidade deste evento é:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Usando o teorema da probabilidade que afirma:

A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades individuais.

O mesmo resultado é obtido:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

O valor obtido com este procedimento coincide com o resultado anterior, através da definição teórica ou clássica de probabilidade.

Exercício 4

Qual é a probabilidade de que, ao rolar dois dados, a soma dos valores seja 7.

Solução

Para encontrar a solução nesse caso, foi elaborada uma tabela de possibilidades em que  os casos que atendem à condição de que a soma dos valores seja 7 são indicados em cores .

Olhando para a tabela, 6 casos possíveis podem ser contados, portanto a probabilidade é:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referências

  1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
  3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
  4. Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.

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