Quasivariância: fórmula e equações, exemplos, exercício

Quasivariância: fórmula e equações, exemplos, exercício

quasivariance , variância ou quase variância imparcial é uma medida estatística da dispersão dos dados em uma amostra a partir da média. A amostra, por sua vez, consiste em uma série de dados extraídos de um universo maior, chamado população .

É indicado de várias maneiras, aqui s c 2 foi escolhido e para calculá-lo, segue a seguinte fórmula:

Onde:

-s c 2 = quasivariância ou variação da amostra (variação da amostra)

-x i = cada um dos dados de amostra

-n = número de observações

-X = média da amostra

Como a unidade da quasivariância da amostra é o quadrado da unidade em que a amostra vem, ao interpretar os resultados, é preferível trabalhar com o quase desvio padrão ou desvio padrão da amostra.

Isso é denotado como s c e é obtido extraindo a raiz quadrada da quase-variância:

s c = √ s c 2  

A quase-variância é semelhante à variância s 2 , com a única diferença de que no denominador da variância é n-1 , enquanto na variância é dividida apenas por n . É evidente que quando n é muito grande, os valores de ambos tendem a ser os mesmos.

Quando o valor da quase-variância é conhecido, o valor da variância pode ser conhecido imediatamente.

Exemplos de quasivariância

Muitas vezes, você deseja conhecer as características de qualquer população: pessoas, animais, plantas e, em geral, qualquer tipo de objeto. Mas analisar toda a população pode não ser uma tarefa fácil, especialmente se o número de elementos for muito grande.

As amostras são então colhidas, na esperança de que seu comportamento reflita o da população e, assim, faça inferências sobre o assunto, graças à otimização dos recursos. Isso é conhecido como inferência estatística .

Aqui estão alguns exemplos em que a quase-variância e o desvio quase-padrão associado servem como um indicador estatístico, apontando que os resultados obtidos estão tão longe da média.

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1.- O diretor de marketing de uma empresa que fabrica baterias de automóveis precisa estimar, em meses, a duração média de uma bateria.

Para fazer isso, ele seleciona aleatoriamente uma amostra de 100 baterias daquela marca comprada. A empresa mantém um registro dos dados dos compradores e pode entrevistá-los para descobrir quanto tempo duram as baterias.

2.- A administração acadêmica de uma instituição universitária precisa estimar a matrícula para o ano seguinte, analisando o número de alunos que devem passar nas disciplinas que estão estudando atualmente.

Por exemplo, em cada uma das seções que atualmente estudam Física I, a gerência pode selecionar uma amostra de estudantes e analisar seu desempenho nessa cadeira. Dessa forma, você pode deduzir quantos alunos estudarão Física II no próximo período.

3.- Um grupo de astrônomos concentra sua atenção em uma parte do céu, onde um certo número de estrelas com certas características é observado: tamanho, massa e temperatura, por exemplo.

É de se perguntar se as estrelas em outra região similar terão as mesmas características, mesmo estrelas em outras galáxias, como as vizinhas Nuvens de Magalhães ou Andrômeda.

Por que dividir por n-1?

Na quase-variância, ele é dividido por n-1 em vez de por n e é porque a quase-variância é um estimador imparcial , como foi dito no início.

Acontece que da mesma população é possível extrair muitas amostras. A variação de cada uma dessas amostras também pode ser calculada em média, mas a média dessas variações não é igual à variação da população.

De fato, a variação média da amostra tende a subestimar a variação populacional, a menos que n-1 seja usado no denominador. Pode-se verificar que o valor esperado da quasivariância E (s c 2 ) é precisamente s 2 .

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Portanto, diz-se que a quase-variância é imparcial e é um melhor estimador da variância da população s 2 .

Maneira alternativa de calcular a quasivariância

É facilmente demonstrado que a quasivariância também pode ser calculada da seguinte maneira:

s c 2 = [∑x 2 / (n-1)] – [∑nX 2 / (n-1)]

A pontuação padrão

Tendo o desvio amostral, podemos saber quantos desvios padrão um determinado valor x possui, acima ou abaixo da média.

Para isso, a seguinte expressão sem dimensão é usada:

Escore padrão = (x – X) / s c

Exercício resolvido

Calcule a quase variação e o desvio quase padrão dos dados a seguir, consistindo em pagamentos mensais em $ feitos por uma companhia de seguros a uma clínica privada.

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Use a definição de quasivariância dada no início e verifique também o resultado usando o formulário alternativo fornecido na seção anterior.

b) Calcule a pontuação padrão dos segundos dados, lendo de cima para baixo.

Solução para

O problema pode ser resolvido manualmente com a ajuda de uma calculadora simples ou científica, para a qual você deve proceder em ordem. E, para isso, nada melhor do que organizar os dados em uma tabela como a mostrada abaixo:

Graças à tabela, as informações são organizadas e as quantidades necessárias nas fórmulas estão no final das respectivas colunas, prontas para uso imediato. As somatórias são indicadas em negrito.

A coluna da média é sempre repetida, mas vale a pena porque é conveniente ter o valor em exibição para preencher cada linha da tabela.

Finalmente, aplica-se a equação da quasivariância dada no início, apenas os valores são substituídos e, quanto à soma, já a temos calculada:

s c 2 = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2

Esse é o valor da quase-variância e suas unidades são “dólares ao quadrado”, o que não faz muito sentido prático; portanto, o desvio quase-padrão da amostra é calculado, que nada mais é do que a raiz quadrada da quase-variância:

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s c = ( 144.888,2) $ = $ 380,64

É imediatamente corroborado que esse valor também é obtido com a forma alternativa de quase-variância. A soma necessária está no final da última coluna à esquerda:

s c 2 = [Σx 2 / (n-)] – [ΣnX 2 / (n-1)] = [23496182/11] – [12 x 1351 2 /11]

= 2.136.016,55 – 1.991.128,36 = $ 144.888 ao quadrado

É o mesmo valor obtido com a fórmula dada no início.

Solução b

O segundo valor de cima para baixo é 903, sua pontuação padrão é

Escore padrão de 903 = (x – X) / s c = (903 – 1351) /380,64 = -1.177

Referências

  1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
  3. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.
  4. Medidas de dispersão. Recuperado de: thales.cica.es.
  5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Pearson.

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