Elipsóide: características e exemplos

Elipsóide: características e exemplos

O elipsóide é uma superfície no espaço que pertence ao grupo de superfícies quadráticas e cuja equação geral é da forma:

Ax 2 + Por 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

É o equivalente tridimensional de uma elipse, caracterizada por possuir traços elípticos e circulares em alguns casos especiais. Traços são as curvas obtidas pela interseção do elipsóide com um plano.

Além do elipsóide, existem mais cinco quadríticos: hiperbolóide de uma e duas folhas, dois tipos de parabolóide (hiperbólico e elíptico) e o cone elíptico. Seus traços também são cônicos.

O elipsóide também pode ser expresso usando a equação padrão em coordenadas cartesianas. Um elipsóide centrado na origem (0,0,0) e expresso dessa maneira lembra a elipse, mas com um termo adicional:

Valores a , b, e c são números reais maiores que 0 e representam os três meias eixos do elipsóide.

Características do elipsóide

– Equação padrão 

A equação padrão em coordenadas cartesianas para a elipse centrada no ponto (h, k, m) é:

– Equações paramétricas do elipsóide

Nas coordenadas esféricas, o elipsóide pode ser descrito da seguinte maneira:

x = um pecado θ. porque

y = b sen θ. sen φ

z = c cos θ

Os semi-eixos do elipsóide ainda são a, bec, enquanto os parâmetros são os ângulos θ e φ da figura a seguir:

– Traços do elipsóide

A equação geral para uma superfície no espaço é F (x, y, z) = 0 e os traços da superfície são as curvas:

– x = c; F (c, y, z) = 0

– y = c; F (x, c, z) = 0

– z = c; F (x, y, c) = 0

No caso de um elipsóide, essas curvas são elipses e, às vezes, circunferências.

– Volume

O volume V do elipsóide é dado por (4/3) π vezes o produto de seus três semi-eixos:

V = (4/3) π. abc

Casos Especiais Ellipsoid

-Um elipsóide se torna uma esfera quando todos os semi-eixos são do mesmo tamanho: a = b = c ≠ 0. Isso faz sentido, uma vez que o elipsóide é como uma esfera que foi esticada diferentemente ao longo de cada eixo.

-O esferóide é um elipsóide no qual dois dos semi-eixos são idênticos e o terceiro é diferente, por exemplo, poderia ser a = b ≠ c.

O esferóide também é chamado de elipsóide da revolução, porque pode ser gerado pela rotação de elipses em torno de um eixo.

Se o eixo de rotação coincide com o eixo principal, o esferóide é prolato , mas se coincide com o eixo menor, é oblato :

A medição do achatamento do esferóide (elipticidade) é dada pela diferença de comprimento entre os dois semi-eixos, expressa de maneira fracionada, ou seja, é o achatamento da unidade, dado por:

f = (a – b) / a

Nesta equação, a representa o eixo semi-maior eb, o eixo semi-menor, lembre-se de que o terceiro eixo é igual a um desses para um esferóide. O valor de f está entre 0 e 1 e, para um esferóide, deve ser maior que 0 (se fosse igual a 0, teríamos simplesmente uma esfera).

O elipsóide de referência

Os planetas e geralmente as estrelas geralmente não são esferas perfeitas, porque o movimento rotacional em torno de seus eixos achatam o corpo nos pólos e aumentam o volume no equador.

É por isso que a Terra se parece com um esferóide oblato, embora não seja tão exagerado quanto o da figura anterior, e por sua vez, o gigante gasoso Saturno é o mais plano dos planetas do sistema solar .

Portanto, uma maneira mais realista de representar os planetas é assumir que eles são como um esferóide ou elipsóide de revolução, cujo eixo semi-maior é o raio equatorial e o semi-eixo menor é o raio polar.

Medidas cuidadosas feitas no globo tornaram possível construir  o elipsóide de referência da Terra como sua maneira mais precisa de trabalhar matematicamente.

As estrelas também têm movimentos rotacionais que lhes dão formas mais ou menos achatadas. A rápida estrela Achernar, a oitava estrela mais brilhante no céu noturno, na constelação do sul, Eridanus é notavelmente elíptica quando comparada à maioria. São 144 anos-luz de nós.

No outro extremo, há alguns anos os cientistas encontraram o objeto mais esférico encontrado até agora: a estrela Kepler 11145123, a 5000 anos-luz de distância, duas vezes o tamanho do nosso Sol e uma diferença entre os semi-eixos de apenas 3 km. Como esperado, ele também gira mais devagar.

Quanto à Terra, também não é um esferóide perfeito por causa de sua superfície acidentada e variações locais na gravidade. Portanto, há mais de um esferóide de referência disponível e o mais adequado para a geografia local é escolhido em cada local.

A ajuda dos satélites é inestimável na criação de modelos cada vez mais precisos da forma da Terra, graças a eles, sabe-se, por exemplo, que o polo sul está mais próximo do equador do que o polo norte.

Exemplo numérico

Devido à rotação da Terra, é gerada uma força centrífuga que lhe dá a forma de um elipsóide oblongo, em vez de uma esfera. O raio equatorial da Terra é conhecido por 3963 milhas e o raio polar é 3942 milhas.

Encontre a equação do traço equatorial, a do elipsóide e a medida de sua planicidade. Compare também com a elipticidade de Saturno, com os dados fornecidos abaixo:

Raio -Equatorial de Saturno: 60 268 km

Raio polar de Saturno: 54.364 km

Solução

É necessário um sistema de coordenadas, que assumiremos centrado na origem (centro da Terra). Assumiremos que o eixo z vertical e o traço que corresponde ao equador estão no plano xy, equivalente ao plano z = 0.

No plano equatorial, os semi-eixos aeb são iguais, portanto a = b = 3963 milhas, enquanto c = 3942 milhas. Este é um caso especial: um esferóide centrado no ponto (0,0,0), como indicado acima.

O traço equatorial é uma circunferência do raio R = 3963 milhas, centralizada na origem. É calculado fazendo z = 0 na equação padrão:

E a equação padrão do elipsóide terrestre é:

f)  Terra = (a – b) / a = (3963-3942) milhas / 3963 milhas = 0,0053

f Saturno = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Observe que a elipticidade f é uma quantidade adimensional.

Referências

  1. ArcGIS para Desktop. Esferóides e esferas. Recuperado de: desktop.arcgis.com.
  2. BBC World. O mistério do objeto mais esférico já descoberto no Universo. Recuperado de: bbc.com.
  3. Larson, R. Cálculo e Geometria Analítica. Sexta edição. Volume 2. McGraw Hill.
  4. Wikipedia. Elipsóide. Recuperado de: en.wikipedia.org.
  5. Wikipedia. Esferóide. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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