Identidades trigonométricas (exemplos e exercícios)

As identidades trigonométricas são relações entre relações trigonométricas, verdadeiras para qualquer valor da variável. Por exemplo:

tan θ = sin θ / cos θ

É uma identidade trigonométrica que relaciona três proporções do ângulo θ, a tangente, o seno e o cosseno do referido ângulo.

Essa identidade é verdadeira para todos os valores, exceto aqueles que tornam 0 o denominador. O cos θ é 0 para θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 … Outro exemplo de identidade trigonométrica é:

sin x. seg x. ctg x = 1

Demonstração

Existem duas maneiras básicas de demonstrar que uma identidade trigonométrica é verdadeira:

1- Transformar um dos membros da igualdade no outro, através de convenientes manipulações algébricas.

2- Desenvolver ambos os membros da igualdade separadamente, até que as respectivas expressões finais de cada um sejam exatamente as mesmas.

Na identidade proposta, vamos transformar o lado esquerdo da igualdade, para o qual expressamos ctg x e ​​sec x em termos de seno e cosseno da seguinte maneira:

ctg x = cos x / sen x

sec x = 1 / cos x

Substituímos esta expressão no lado esquerdo da identidade e simplificamos:

sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1

E a veracidade da identidade já foi verificada.

Tipos de identidades trigonométricas

Existem vários tipos de identidades trigonométricas. Abaixo descreveremos brevemente os principais:

– Identidades trigonométricas fundamentais

Distinguimos dois tipos de identidades fundamentais:

I) Aqueles que são expressos pelas razões básicas seno, cosseno e tangente:

• sec x = 1 / cos x
• cosec x / 1 / sin x
• ctg x = 1 / tg x
• tg x = sin x / cos x
• ctg x = cos x / sen x

II) Os derivados da paridade. Sabemos pelo gráfico que sin x é uma função ímpar, o que significa que:

sin (-x) = – sin x

Por seu lado, cos x é uma função par, portanto:

cos (-x) = cos x

Assim:

tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

Igualmente:

• cotg (-x) = -ctg x
• seg (-x) = seg x
• cosec (-x) = – cosec x

– identidades pitagóricas

São aqueles que são obtidos a partir da aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo das pernas aeb hipotenusa c. Vamos ver:

O teorema de Pitágoras afirma que:

c ² = a ² + b ²

Dividindo tudo por c ² :

c ² / c ² = (a ² / c ² ) + (b ² / c ² )

O termo à esquerda é 1 e lembrando que o seno e o cosseno do ângulo agudo α são definidos como:

sen α = a / c

cos α = b / c

Resultado:

1 = (sen α) ² + (cos α) ²

Essa identidade é conhecida como identidade fundamental .

O procedimento pode ser realizado dividindo-se entre a ² eb ² , o que dá origem a mais duas identidades:

sec ² α = 1 + tg ² α

cosec ² α = 1 + ctg ² α

– Fórmulas para cosseno e seno de adição / subtração de ângulos

As principais identidades trigonométricas para cosseno, seno e tangente de adição e subtração são as seguintes:

Demonstração de pecado (α + β) e cos (α + β)

Essas identidades podem ser demonstradas geometricamente ou também por meio da fórmula de Euler:

e ^iα = cos α + i sen α

Vamos ver o que acontece com a fórmula substituindo a soma dos dois ângulos α e β:

e ^{i (α + β )} = cos (α + β) + i sen (α + β)

Essa expressão é complexa, sua parte real é cos (α + β) e sua parte imaginária é i sin (α + β). Guardamos esse resultado para uso posterior e focamos no desenvolvimento da parte exponencial:

e ^{i (α + β )} = e ^iα ⋅ e ^iβ = (cos α + i sen α). (cos β + i sen β) =

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β – sin α⋅sen β

A parte real dessa expressão é a que não é multiplicada pela unidade imaginária “i”:

cos α⋅cos β – sin α. sin β

A parte imaginária é, portanto:

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)

Para que duas expressões complexas sejam iguais, a parte real de uma deve ser igual à parte real da outra. O mesmo vale para as partes imaginárias.

Pegamos o resultado salvo e o comparamos com:

cos α. cos β – sen α. sen β = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sen (α + β)

sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)

– Fórmulas para ângulo duplo

Nas fórmulas anteriores, tomamos β = α e desenvolvemos:

sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α – sen α⋅sen α = cos ² α – sin ² α

tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg ² α

Se substituirmos cos ² α = 1 – sin ² α na segunda expressão , obtemos:

cos 2 α = cos ² α – (1- cos ² α) = 2 cos ² α -1

– Fórmulas para o meio ângulo

Nesta última expressão, substituímos α por α / 2, o seguinte permanece:

cos α = 2 cos  ² (α / 2) -1

Compensação:

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Mostre que:

Trabalharemos o termo esquerdo algebricamente para torná-lo o direito. Como sin x aparece no termo certo, o primeiro passo é expressar cos ² x em termos de sin x, para que tudo permaneça em termos da mesma razão trigonométrica:

Então 1 – sin ² x é fatorado porque é uma diferença de quadrados perfeitos. Para fazer isso, ele é removido da identidade fundamental:

cos ² x = 1 – sen ² x

1 – sen ² x = (1-sin x) (1 + sinx)

E a fatoração na expressão original é substituída:

O termo (1-sinx) é simplificado e permanece uma igualdade:

1 + sin x = 1 + sinx

– Exercício 2

Resolva a seguinte equação trigonométrica e dê a solução para valores entre 0 e 360º:

tg x + s ² x = 3

Solução

No termo à esquerda, existem duas relações trigonométricas, portanto, tudo deve ser reduzido a uma, para poder limpar o desconhecido. O termo sec ² x é expresso por meio de uma das identidades pitagóricas:

sec ² α = 1 + tg ² α

Ao substituir na equação, é:

tg x + 1 + tg ² x = 3

Reordenando os termos:

tg ² x + tg x + 1 = 3

Esta equação é resolvida fazendo a alteração da variável:

tg x = u

u ² + u + 1 – 3 = 0 → u ² + u – 2 = 0

Esta equação quadrática é facilmente resolvida fatorando:

(u +2) (u-1) = 0

Portanto, u ₁ = -2 e u ₂ = 1, que é equivalente a:

tg x ₁ = -2

tg x ₂ = 1

Finalmente:

x ₁ = arctg (-2) = 296,6º

x ₂  = arctg (1) = 45º

Referências

1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
2. Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
3. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Identidades e fórmulas de trigonometria. Recuperado de: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. 4 maneiras de resolver uma equação quadrática. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com.
7. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.