As identidades trigonométricas são relações entre relações trigonométricas, verdadeiras para qualquer valor da variável. Por exemplo:
tan θ = sin θ / cos θ
É uma identidade trigonométrica que relaciona três proporções do ângulo θ, a tangente, o seno e o cosseno do referido ângulo.
Essa identidade é verdadeira para todos os valores, exceto aqueles que tornam 0 o denominador. O cos θ é 0 para θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 … Outro exemplo de identidade trigonométrica é:
sin x. seg x. ctg x = 1
Demonstração
Existem duas maneiras básicas de demonstrar que uma identidade trigonométrica é verdadeira:
1- Transformar um dos membros da igualdade no outro, através de convenientes manipulações algébricas.
2- Desenvolver ambos os membros da igualdade separadamente, até que as respectivas expressões finais de cada um sejam exatamente as mesmas.
Na identidade proposta, vamos transformar o lado esquerdo da igualdade, para o qual expressamos ctg x e sec x em termos de seno e cosseno da seguinte maneira:
ctg x = cos x / sen x
sec x = 1 / cos x
Substituímos esta expressão no lado esquerdo da identidade e simplificamos:
sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1
E a veracidade da identidade já foi verificada.
Tipos de identidades trigonométricas
Existem vários tipos de identidades trigonométricas. Abaixo descreveremos brevemente os principais:
– Identidades trigonométricas fundamentais
Distinguimos dois tipos de identidades fundamentais:
I) Aqueles que são expressos pelas razões básicas seno, cosseno e tangente:
- sec x = 1 / cos x
- cosec x / 1 / sin x
- ctg x = 1 / tg x
- tg x = sin x / cos x
- ctg x = cos x / sen x
II) Os derivados da paridade. Sabemos pelo gráfico que sin x é uma função ímpar, o que significa que:
sin (-x) = – sin x
Por seu lado, cos x é uma função par, portanto:
cos (-x) = cos x
Assim:
tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x
Igualmente:
- cotg (-x) = -ctg x
- seg (-x) = seg x
- cosec (-x) = – cosec x
– identidades pitagóricas
São aqueles que são obtidos a partir da aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo das pernas aeb hipotenusa c. Vamos ver:
O teorema de Pitágoras afirma que:
c 2 = a 2 + b 2
Dividindo tudo por c 2 :
c 2 / c 2 = (a 2 / c 2 ) + (b 2 / c 2 )
O termo à esquerda é 1 e lembrando que o seno e o cosseno do ângulo agudo α são definidos como:
sen α = a / c
cos α = b / c
Resultado:
1 = (sen α) 2 + (cos α) 2
Essa identidade é conhecida como identidade fundamental .
O procedimento pode ser realizado dividindo-se entre a 2 eb 2 , o que dá origem a mais duas identidades:
sec 2 α = 1 + tg 2 α
cosec 2 α = 1 + ctg 2 α
– Fórmulas para cosseno e seno de adição / subtração de ângulos
As principais identidades trigonométricas para cosseno, seno e tangente de adição e subtração são as seguintes:
Demonstração de pecado (α + β) e cos (α + β)
Essas identidades podem ser demonstradas geometricamente ou também por meio da fórmula de Euler:
e iα = cos α + i sen α
Vamos ver o que acontece com a fórmula substituindo a soma dos dois ângulos α e β:
e i (α + β ) = cos (α + β) + i sen (α + β)
Essa expressão é complexa, sua parte real é cos (α + β) e sua parte imaginária é i sin (α + β). Guardamos esse resultado para uso posterior e focamos no desenvolvimento da parte exponencial:
e i (α + β ) = e iα ⋅ e iβ = (cos α + i sen α). (cos β + i sen β) =
= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β – sin α⋅sen β
A parte real dessa expressão é a que não é multiplicada pela unidade imaginária “i”:
cos α⋅cos β – sin α. sin β
A parte imaginária é, portanto:
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)
Para que duas expressões complexas sejam iguais, a parte real de uma deve ser igual à parte real da outra. O mesmo vale para as partes imaginárias.
Pegamos o resultado salvo e o comparamos com:
cos α. cos β – sen α. sen β = cos (α + β)
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sen (α + β)
sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)
– Fórmulas para ângulo duplo
Nas fórmulas anteriores, tomamos β = α e desenvolvemos:
sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α
cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α – sen α⋅sen α = cos 2 α – sin 2 α
tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg 2 α
Se substituirmos cos 2 α = 1 – sin 2 α na segunda expressão , obtemos:
cos 2 α = cos 2 α – (1- cos 2 α) = 2 cos 2 α -1
– Fórmulas para o meio ângulo
Nesta última expressão, substituímos α por α / 2, o seguinte permanece:
cos α = 2 cos 2 (α / 2) -1
Compensação:
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
Mostre que:
Trabalharemos o termo esquerdo algebricamente para torná-lo o direito. Como sin x aparece no termo certo, o primeiro passo é expressar cos 2 x em termos de sin x, para que tudo permaneça em termos da mesma razão trigonométrica:
Então 1 – sin 2 x é fatorado porque é uma diferença de quadrados perfeitos. Para fazer isso, ele é removido da identidade fundamental:
cos 2 x = 1 – sen 2 x
1 – sen 2 x = (1-sin x) (1 + sinx)
E a fatoração na expressão original é substituída:
O termo (1-sinx) é simplificado e permanece uma igualdade:
1 + sin x = 1 + sinx
– Exercício 2
Resolva a seguinte equação trigonométrica e dê a solução para valores entre 0 e 360º:
tg x + s 2 x = 3
Solução
No termo à esquerda, existem duas relações trigonométricas, portanto, tudo deve ser reduzido a uma, para poder limpar o desconhecido. O termo sec 2 x é expresso por meio de uma das identidades pitagóricas:
sec 2 α = 1 + tg 2 α
Ao substituir na equação, é:
tg x + 1 + tg 2 x = 3
Reordenando os termos:
tg 2 x + tg x + 1 = 3
Esta equação é resolvida fazendo a alteração da variável:
tg x = u
u 2 + u + 1 – 3 = 0 → u 2 + u – 2 = 0
Esta equação quadrática é facilmente resolvida fatorando:
(u +2) (u-1) = 0
Portanto, u 1 = -2 e u 2 = 1, que é equivalente a:
tg x 1 = -2
tg x 2 = 1
Finalmente:
x 1 = arctg (-2) = 296,6º
x 2 = arctg (1) = 45º
Referências
- Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
- Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
- Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Wikipedia. Identidades e fórmulas de trigonometria. Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zapata, F. 4 maneiras de resolver uma equação quadrática. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.