Indução magnética: fórmulas, como é calculada e exemplos

A indução magnética ou densidade de fluxo magnético é uma alteração do meio ambiente causados pela presença de correntes eléctricas. Eles modificam a natureza do espaço circundante, criando um campo vetorial.

O vetor de indução magnética, densidade de fluxo magnético ou simplesmente campo magnético B, tem três características distintivas: uma intensidade expressa por um valor numérico, uma direção e também uma direção dada em cada ponto do espaço. É destacado em negrito para diferenciá-lo de quantidades puramente numéricas ou escalares.

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Regra do polegar direito para determinar a direção e a direção do vetor de indução magnética. Fonte: Jfmelero [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]

A régua de polegar direita é usada para encontrar a direção e a direção do campo magnético causada por um fio transportador de corrente, conforme mostrado na figura acima.

O polegar da mão direita deve apontar na direção da corrente. Então a rotação dos quatro dedos restantes indica a forma de B , que na figura é representada por círculos concêntricos de cor vermelha.

Nesse caso, a direção de B é tangencial à circunferência concêntrica com o fio e a direção é no sentido anti-horário.

A indução magnética B no Sistema Internacional é medida Tesla (T), porém é mais frequente medi-la em outra unidade chamada Gauss (G). Ambas as unidades foram nomeadas, respectivamente, em homenagem a Nikola Tesla (1856-1943) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) por suas extraordinárias contribuições à ciência da eletricidade e do magnetismo.

Quais são as propriedades da indução magnética ou densidade do fluxo magnético?

Um compasso é colocado perto da corrente de arame está sempre alinhada com B . O físico dinamarquês Hans Christian Oersted (1777-1851) foi o primeiro a perceber esse fenômeno no início do século XIX.

E quando a corrente cessa, a bússola aponta novamente para o norte geográfico, como sempre. Alterando cuidadosamente a posição da bússola, é obtido um mapa da forma do campo magnético.

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Esse mapa sempre tem a forma de círculos concêntricos em relação ao fio, como descrito no início. Dessa forma, você pode exibir B.

Mesmo que o fio não seja reto, o vetor B formará círculos concêntricos ao redor dele. Para determinar qual a forma do campo, basta imaginar segmentos muito pequenos de arame, tão pequenos que parecem retilíneos e cercados por circunferências concêntricas.

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Linhas de campo magnético produzidas por um laço de fio que transporta corrente. Fonte: Pixabay.com

Isso indica uma propriedade importante das linhas de campo magnético B : elas não têm começo nem fim, são sempre curvas acentuadas.

Lei de Biot-Savart

O século XIX determinou o início da era da eletricidade e do magnetismo na ciência. Circa 1820 físicos franceses Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841) descobriu a lei que leva seu nome e que calcula o vector B .

Eles fizeram as seguintes observações sobre a contribuição para o campo magnético produzido por um segmento de fio de comprimento diferencial dl que transporta uma corrente elétrica I :

  • A magnitude de B diminui com o quadrado inverso da distância do fio (isso faz sentido: longe do fio, a intensidade de B deve ser menor do que em pontos próximos).
  • A magnitude de B é proporcional à intensidade da corrente que passa através do fio.
  • A direção de B é tangencial à circunferência do raio r centralizada no fio e a direção de B é dada, como dissemos, pela regra do polegar direito.

O produto vetorial ou produto cruzado é a ferramenta matemática apropriada para expressar o último ponto. São necessários dois vetores para estabelecer um produto vetorial, definido da seguinte forma:

  • d l é o vetor cuja magnitude é o comprimento do segmento diferencial dl
  • r é o vetor que vai do fio até o ponto em que você deseja encontrar o campo
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Fórmulas

Tudo isso pode ser combinado em uma expressão matemática:

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A constante de proporcionalidade necessária para estabelecer a igualdade é a permeabilidade magnética do espaço livre μ o = 4π.10 -7 Tm / A

Essa expressão é a lei de Biot e Savart, que permite calcular o campo magnético de um segmento atual.

Esse segmento, por sua vez, deve fazer parte de um circuito maior e mais fechado: uma distribuição de corrente.

A condição de fechamento do circuito é necessária para que a corrente elétrica flua. A corrente elétrica não pode fluir em circuitos abertos.

Finalmente, para encontrar o campo magnético total da referida distribuição de corrente, todas as contribuições de cada segmento diferencial dl são adicionadas . Isso equivale a integrar toda a distribuição:

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Para aplicar a lei de Biot-Savart e calcular o vetor de indução magnética, é necessário considerar alguns pontos importantes muito importantes:

  • O produto vetorial entre dois vetores sempre resulta em outro vetor.
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  • É conveniente encontrar o produto vetorial antes de passar para a resolução da integral, então a integral de cada um dos componentes obtidos separadamente é resolvida.
  • É necessário desenhar uma imagem da situação e estabelecer um sistema de coordenadas apropriado.
  • Sempre que a existência de qualquer simetria for observada, ela deve ser usada para economizar tempo de cálculo.
  • Quando existem triângulos, o teorema de Pitágoras e o cosseno são de grande ajuda para estabelecer a relação geométrica entre as variáveis.

Como é calculado?

Com um exemplo prático do cálculo de B para um fio retilíneo, essas recomendações se aplicam.

Exemplo

Calcule o vetor do campo magnético que um fio retilíneo muito longo produz em um ponto P no espaço, de acordo com a figura mostrada.

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Geometria necessária para calcular o campo magnético no ponto P, de um fio de corrente infinitamente longo. Fonte: elaboração própria.

A partir da figura, você deve:

  • O fio é direcionado na direção vertical, com a corrente I fluindo para cima. Este endereço é + e no sistema de coordenadas, cuja origem está no ponto O.
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  • Nesse caso, de acordo com a regra do polegar direito , B no ponto P é direcionado para o papel, de modo que é indicado com um pequeno círculo e um “x” na figura. Este endereço será tomado como -z.
  • O triângulo cujas pernas são e e R , ambas as variáveis relacionadas de acordo com o teorema de Pitágoras: r 2 = R 2 + y 2

Tudo isso é substituído na integral. O vetor ou produto cruzado é indicado por sua magnitude mais sua direção e seu significado:

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A integral proposta é procurada em uma tabela de integrais ou é resolvida por uma substituição trigonométrica apropriada (o leitor pode verificar o resultado usando y = Rtg θ) :

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O resultado é consistente com o esperado: a magnitude do campo diminui com a distância R e aumenta proporcionalmente com a intensidade da corrente I.

Embora um fio infinitamente longo seja uma idealização, a expressão obtida é uma aproximação muito boa para o campo de um fio longo.

Com a lei de Biot e Savart, é possível encontrar o campo magnético de outras distribuições de alta simetria, como um loop circular que transporta corrente ou fios dobrados combinando segmentos retilíneos e curvilíneos.

Obviamente, para resolver analiticamente a integral proposta, o problema deve ter um alto grau de simetria. Caso contrário, a alternativa é resolver numericamente a integral.

Referências

  1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 2 . México Cengage Learning Publishers. 367-372.

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