A interpolação linear é um método utilizado para estimar valores intermediários entre dois pontos conhecidos. Neste método, considera-se uma relação linear entre os pontos conhecidos para determinar o valor de interesse. Este processo é amplamente utilizado em diversas áreas, como a matemática, estatística, engenharia, entre outras.
Neste artigo, abordaremos o método da interpolação linear, explicando passo a passo como realizar este tipo de cálculo. Além disso, apresentaremos exemplos de exercícios resolvidos para facilitar a compreensão e aplicação prática deste método. Com isso, esperamos contribuir para o entendimento e uso eficiente da interpolação linear em diferentes contextos.
Passo a passo para realizar um cálculo de interpolação de forma eficiente.
Para realizar um cálculo de interpolação de forma eficiente, siga os passos a seguir:
Passo 1: Coletar os dados necessários para o problema de interpolação. Isso inclui os valores conhecidos dos pontos de referência e o valor de x para o qual você deseja interpolar.
Passo 2: Calcular a diferença entre os valores de x conhecidos mais próximos ao valor de x desejado. Isso ajudará a determinar o intervalo de interpolação.
Passo 3: Calcular a diferença entre os valores de y correspondentes aos pontos de referência mais próximos. Isso determinará a variação de y no intervalo de interpolação.
Passo 4: Utilizando a fórmula da interpolação linear, calcule o valor de y para o valor de x desejado. A fórmula é dada por:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Passo 5: Substitua os valores conhecidos na fórmula e resolva para obter o valor de y correspondente ao valor de x desejado.
Seguindo esses passos, você conseguirá realizar um cálculo de interpolação de forma eficiente e obter resultados precisos para o problema em questão.
Quando é adequado utilizar a interpolação linear em análises ou modelagens matemáticas.
Interpolação linear é um método utilizado em análises ou modelagens matemáticas quando se deseja estimar valores intermediários a partir de valores conhecidos. Este método é adequado quando os dados estão distribuídos de forma linear e contínua.
Por exemplo, quando temos uma tabela com valores de uma função em pontos discretos e desejamos estimar o valor da função para um ponto intermediário, a interpolação linear pode ser uma boa escolha. Ela consiste em traçar uma reta entre dois pontos conhecidos e utilizar essa reta para estimar o valor desejado.
É importante ressaltar que a interpolação linear pode não ser adequada em casos onde os dados apresentam comportamentos não lineares, como curvas ou oscilações. Nesses casos, outros métodos de interpolação mais complexos podem ser mais apropriados.
Como preencher lacunas em uma tabela com valores intermediários de forma eficiente.
A interpolação linear é um método utilizado para preencher lacunas em uma tabela com valores intermediários de forma eficiente. Este método consiste em calcular os valores que faltam com base nos valores conhecidos da tabela, utilizando uma fórmula simples.
Para aplicar a interpolação linear, é necessário ter pelo menos dois pontos conhecidos na tabela. A partir desses pontos, é possível calcular os valores intermediários através da seguinte fórmula:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Onde Y é o valor intermediário que queremos encontrar, Y1 e Y2 são os valores conhecidos da tabela, X1 e X2 são os correspondentes valores de X e X é o valor de X para o qual queremos encontrar o valor intermediário Y.
Para exemplificar, vamos resolver um exercício prático utilizando a interpolação linear. Suponha que temos a seguinte tabela:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Agora, vamos utilizar a fórmula da interpolação linear para encontrar o valor de Y quando X é igual a 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Portanto, o valor de Y quando X é igual a 2 é 5.
Como podemos ver, a interpolação linear é um método simples e eficiente para preencher lacunas em uma tabela com valores intermediários. Com a utilização dessa técnica, podemos obter resultados precisos de forma rápida e fácil.
Guia prático para realizar interpolação quadrática de forma eficiente.
Para realizar interpolação quadrática de forma eficiente, é importante seguir alguns passos simples. Primeiramente, é necessário ter em mãos os pontos conhecidos que serão utilizados para realizar a interpolação. Em seguida, é preciso calcular os coeficientes da função quadrática que passa por esses pontos.
Para calcular os coeficientes da função quadrática, podemos utilizar o método dos mínimos quadrados. Este método consiste em encontrar a função quadrática que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores calculados e os valores reais dos pontos conhecidos.
Uma vez calculados os coeficientes da função quadrática, podemos utilizá-la para interpolar valores entre os pontos conhecidos. Para isso, basta substituir o valor desejado na função quadrática e obter o valor interpolado correspondente.
É importante ressaltar que a interpolação quadrática é mais precisa do que a interpolação linear, pois leva em consideração a curvatura dos dados. No entanto, é importante ressaltar que a interpolação quadrática pode levar a resultados menos precisos em regiões distantes dos pontos conhecidos.
Portanto, ao realizar a interpolação quadrática, é fundamental garantir que os pontos conhecidos estejam bem distribuídos e que a função quadrática seja calculada de forma correta. Dessa forma, é possível obter resultados mais precisos e confiáveis na interpolação de valores.
Interpolação Linear: Método, Exercícios Resolvidos
A interpolação linear é um método que é originado a partir da interpolação geral Newton e aproximação para determinar para um valor desconhecido que se encontra entre dois números; isto é, um valor intermediário é encontrado. Também é aplicado a funções aproximadas, onde os valores f (a) ef (b) são conhecidos e você deseja conhecer o intermediário de f (x) .
Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrático, cúbico e de maior grau, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto nas aproximações por meio de funções de nível superior.
Definição de
A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico linear.
Por exemplo, se se sabe que 3 litros de leite valem US $ 4 e 5 litros valem US $ 7, mas você deseja saber qual é o valor de 4 litros de leite, ele é interpolado para determinar esse valor intermediário.
Método
Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f (x) é aproximada por meio da linha r (x) , o que significa que a função varia linearmente com «x» para uma seção «x = a» e «x = b »; isto é, para um valor “x” no intervalo (x 0 , x 1 ) y (y 0 , y 1 ), o valor de “y” é dado pela linha entre os pontos e expresso pela seguinte relação:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Para que uma interpolação seja linear, é necessário que o polinômio de interpolação seja de grau um (n = 1), para que se ajuste aos valores de x 0 e x 1.
A interpolação linear é baseada na semelhança de triângulos, de modo que, derivando geometricamente da expressão anterior, é possível obter o valor de «y», que representa o valor desconhecido para «x».
Dessa forma, você deve:
a = tan Ɵ = (perna oposta 1 ÷ perna adjacente 1 ) = (perna oposta 2 ÷ perna adjacente 2 )
Expressado de outra maneira, é:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Limpando “e” das expressões, você tem:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Assim, a equação geral para interpolação linear é obtida:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro sobre o valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo se comparado ao número intuitivo de um número próximo ao encontrado.
Este erro ocorre ao tentar aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; nesses casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a aproximação mais precisa.
Para obter melhores resultados com relação à aproximação, é aconselhável usar funções de graus 2, 3 ou até graus mais altos para realizar a interpolação. Para esses casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume de bactérias pelo período de 3,5 horas.
Solução
A tabela de referência não estabelece um valor que indica a quantidade de bactérias por um período de 3,5 horas, mas existem valores mais altos e mais baixos correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:
x 0 = 3 e 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Assim, obtém-se que, por um período de 3,5 horas, a quantidade de bactérias é 113, o que representa um nível intermediário entre o volume de bactérias existentes nos tempos de 3 e 4 horas.
Exercício 2
Luis tem uma fábrica de sorvetes e quer fazer um estudo para determinar a renda que teve em agosto a partir das despesas feitas. O administrador da empresa faz um gráfico que expressa esse relacionamento, mas Luis quer saber:
Quais são as receitas de agosto, se uma despesa de US $ 55.000 foi feita?
Solução
Um gráfico com valores de receitas e despesas é fornecido. Luis quer saber qual é a receita de agosto se a fábrica tiver uma despesa de US $ 55.000. Esse valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores são mais altos e mais baixos que isso.
Primeiro, é feita uma tabela para relacionar facilmente os valores:
Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Se uma despesa de US $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de US $ 68.936.
Referências
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Tópicos na Teoria de Grupos Geométricos. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolação linear », Enciclopédia de Matemática.
- JM (1998). Elementos de métodos numéricos para engenharia. UASLP.
- E. (2002). Uma cronologia da interpolação: da astronomia antiga ao processamento moderno de sinais e imagens. Anais do IEEE.
- numérico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.