Paralelepípedo: características, tipos, área, volume

Um paralelepípedo é um corpo geométrico formado por seis faces, cuja principal característica é que todas as faces são paralelogramos e também as faces opostas são paralelas uma à outra.É um poliedro comum em nossas vidas diárias, pois podemos encontrá-lo em caixas de sapatos, na forma de um tijolo, na forma de um microondas, etc.

Sendo um poliedro, o paralelepípedo inclui um volume finito e todas as suas faces são planas. Faz parte do grupo de prismas, que são os poliedros em que todos os seus vértices estão contidos em dois planos paralelos.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 1

Elementos do paralelepípedo

Faces

São cada uma das regiões formadas por paralelogramos que limitam o paralelepípedo. Um paralelepípedo tem seis faces, em que cada face tem quatro faces adjacentes e uma oposta. Além disso, cada face é paralela ao seu oposto.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 2

Bordas

Eles são o lado comum de duas faces. No total, um paralelepípedo tem doze arestas.

Vertex

É o ponto comum de três faces que são adjacentes umas às outras duas a duas. Um paralelepípedo tem oito vértices.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 3

Diagonal

Dadas duas faces de um paralelepípedo opostas uma à outra, podemos desenhar um segmento de linha que vai do vértice de uma face ao vértice oposto da outra.

Esse segmento é conhecido como diagonal de paralelepípedo. Cada paralelepípedo possui quatro diagonais.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 4

Centro

É o ponto no qual todas as diagonais se cruzam.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 5

Características do Parallelepiped

Como já mencionado, esse corpo geométrico possui doze arestas, seis faces e oito vértices.

Em um paralelepípedo, podem ser identificados três conjuntos constituídos por quatro arestas, paralelas entre si. Além disso, as bordas desses conjuntos também cumprem a propriedade de ter o mesmo comprimento.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 6

Outra propriedade que os paralelepípedos possuem é que são convexos, ou seja, se pegarmos dois pontos pertencentes ao interior do paralelepípedo, o segmento determinado por esse par de pontos também estará dentro do paralelepípedo.

Além disso, os paralelepípedos sendo poliedros convexos estão de acordo com o teorema de Euler para poliedros, o que nos dá uma relação entre o número de faces, o número de arestas e o número de vértices. Essa relação é dada na forma da seguinte equação:

C + V = A + 2

Esse recurso é conhecido como recurso e Euler.

Onde C é o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.

Tipos

Podemos classificar paralelepípedos com base em suas faces, nos seguintes tipos:

Ortopédico

Eles são os paralelepípedos onde seus rostos são formados por seis retângulos. Cada retângulo é perpendicular àqueles que compartilham arestas. Eles são os mais comuns em nossa vida diária, sendo essa a forma usual de caixas de sapatos e tijolos.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 7

Cubo regular ou hexaedro

Este é um caso particular do anterior, onde cada uma das faces é um quadrado.

Relacionado:  Integral indefinido: propriedades, aplicações, cálculo (exemplos)

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 8

O cubo também faz parte dos corpos geométricos chamados sólidos platônicos. Um sólido platônico é um poliedro convexo, de modo que suas faces e ângulos internos são iguais entre si.

Rhombohedron

É um paralelepípedo que se parece com diamantes. Esses losangos são todos iguais, uma vez que compartilham arestas.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 9

Rhombohedron

Suas seis faces são romboides. Lembre-se de que um romboide é um polígono com quatro lados e quatro ângulos iguais a dois ou dois. Romboides são paralelogramos que não são quadrados, retângulos ou losangos.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 10

Por outro lado, os paralelepípedos oblíquos são aqueles em que pelo menos uma altura não corresponde à sua aresta. Nesta classificação, podemos incluir rhombohedra e rhombohedra.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 11

Cálculo diagonal

Para calcular a diagonal de um ortopédico, podemos usar o teorema de Pitágoras para R 3 .

Lembre-se de que um ortopedista tem a característica de que cada lado é perpendicular aos lados compartilhados pela borda. Deste fato, podemos deduzir que cada aresta é perpendicular àquelas que compartilham um vértice.

Para calcular o comprimento de uma diagonal de um ortopédico, procedemos da seguinte forma:

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 12

1. Calculamos a diagonal de uma das faces, que colocaremos por base. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Vamos nomear essa diagonal d b .

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 13

2. Então, com d b , podemos formar um novo triângulo retângulo, de modo que a hipotenusa desse triângulo seja a diagonal D procurada.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 14

3. Usamos o teorema de Pitágoras novamente e temos que o comprimento do viés diagonal é:

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 15

Outra maneira de calcular diagonais de uma maneira mais gráfica é com a soma de vetores livres.

Lembre-se de que dois vetores livres A e B são adicionados colocando a cauda do vetor B com a ponta do vetor A.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 16

O vetor (A + B) é aquele que começa na cauda de A e termina na ponta de B.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 17

Considere um paralelepípedo para o qual queremos calcular uma diagonal.

Identificamos as arestas com vetores convenientemente orientados.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 18

Em seguida, adicionamos esses vetores e o vetor resultante será a diagonal do paralelepípedo.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 19

Area

A área de um paralelepípedo é dada pela soma de cada uma das áreas de suas faces.

Se determinarmos um dos lados como base,

A L + 2A B = Área Total

Onde A L é igual à soma das áreas de todos os lados adjacentes à base, denominada área lateral e A B é a área da base.

Dependendo do tipo de paralelepípedo com o qual estamos trabalhando, podemos reescrever essa fórmula.

Área ortopédica

É dado pela fórmula

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplo 1

Dado o seguinte ortoedro, com lados a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcule a área do paralelepípedo e o comprimento de sua diagonal.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 20

Usando a fórmula para a área de um ortoedro, temos que

A = 2 [(6) (8) + ( 8) (10) + (10) (6) ] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 centímetros 2 .

Observe que, como é ortopédica, o comprimento de qualquer uma das quatro diagonais é o mesmo.

Relacionado:  Interpolação Linear: Método, Exercícios Resolvidos

Usando o teorema de Pitágoras para o espaço, temos que

D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Área do cubo

Como cada aresta tem o mesmo comprimento, temos que a = bya = c. Substituindo na fórmula anterior, temos

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a 2 ) = 6a 2

A = 6a 2

Exemplo 2

A caixa de um console de jogos tem a forma de um cubo. Se quisermos embrulhar esta caixa com papel de presente, quanto papel gastaríamos sabendo que o comprimento das bordas do cubo é de 45 cm?

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 21

Usando a fórmula da área do cubo, obtemos esse

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm 2 ) = 12150 cm 2

Área de um romboedro

Como todos os seus rostos são iguais, apenas calcule a área de um deles e multiplique por seis.

Temos que calcular a área de um losango por meio de suas diagonais com a seguinte fórmula

Um de R = (Dd) / 2

Usando esta fórmula, segue-se que a área total do romboedro é

Um T = 6 (Dd) / 2 = 3DD.

Exemplo 3

As faces do seguinte romboedro são formadas por um losango cujas diagonais são D = 7 cm ed = 4 cm. Sua área será

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 22

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 centímetros 2 .

Área de um romboedro

Para calcular a área de um romboedro, devemos calcular a área dos romboides que o compõem. Como os paralelepípedos atendem à propriedade de que lados opostos têm a mesma área, podemos associar os lados em três pares.

Desta forma, temos que sua área será

Um T = 2b 1 h 1 + 2b 2 h 2 + 2b 3 h 3

Onde b i são as bases ligadas aos lados e h i altura relativa correspondentes a ditas bases.

Exemplo 4

Considere o seguinte paralelepípedo,

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 23

onde o lado A e o lado A ‘(seu lado oposto) são baseados em b = 10 e altura h = 6. A área marcada terá um valor de

A 1 = 2 (10) (6) = 120

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 24

B e B ‘têm b = 4 e h = 6, então

A 2 = 2 (4) (6) = 48

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 25

YC e C ‘têm b = 10 eh = 5, então

A 3 = 2 (10) (5) = 100

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 26

Finalmente, a área do romboedro é

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume de um paralelepípedo

A fórmula que nos dá o volume de um paralelepípedo é o produto da área de uma de suas faces pela altura correspondente a essa face.

V = A C h C

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 27

Dependendo do tipo de paralelepípedo, esta fórmula pode ser simplificada.

Assim, temos, por exemplo, que o volume de um ortopédico seria dado por

V = abc.

Onde a, bec representam o comprimento das arestas ortopédicas.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 28

E no caso particular do cubo é

V = a 3

Exemplo 1

Você tem três modelos diferentes para caixas de biscoitos e deseja saber em qual desses modelos pode armazenar mais cookies, ou seja, qual das caixas tem mais volume.

O primeiro é um cubo cuja borda tem um comprimento de a = 10 cm

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 29

Seu volume será V = 1000 cm 3

O segundo tem arestas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 30

E, portanto, seu volume é V = 765 cm 3

E o terceiro tem e = 9 cm, f = 9 cm eg = 13 cm

Relacionado:  Função de injeção: o que é, para que serve e exemplos

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 31

E seu volume é V = 1053 cm 3

Portanto, a caixa com o maior volume é a terceira.

Outro método para obter o volume de um paralelepípedo é usar álgebra vetorial. Em particular, o produto escalar triplo.

Uma das interpretações geométricas que o produto escalar triplo tem é o do volume do paralelepípedo, cujas arestas são três vetores que compartilham o mesmo vértice como ponto de partida.

Assim, se temos um paralelepípedo e quer para saber o que o seu volume de, simplesmente representar um sistema de coordenadas em R 3 , combinando um de seus vértices com a fonte.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 32

Em seguida, representamos as arestas que coincidem na origem com vetores, como mostrado na figura.

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 33

E, dessa maneira, temos que o volume desse paralelepípedo é dado por

V = | AxB ∙ C |

Ou, equivalentemente, o volume é o determinante da matriz 3 × 3, formada pelos componentes dos vetores de borda.

Exemplo 2

Ao representar o seguinte paralelepípedo em R 3 , podemos ver que os vetores que o determinam são os seguintes

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 34

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ew = (-0,25, -4, 4)

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 35

Usando o produto escalar triplo, temos

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, – 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, – 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = – 60

A partir disso, concluímos que V = 60

Considere agora o seguinte paralelepípedo em R3, cujas arestas são determinadas por vetores

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 36

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 37

O uso de determinantes nos dá que

Paralelepípedo: características, tipos, área, volume 38

Assim, temos que o volume do referido paralelepípedo é 112.

Ambas são formas equivalentes de calcular o volume.

Paralelepípedo perfeito

É conhecido como tijolo de Euler (ou bloco de Euler) para um ortoedro que atende à propriedade de que tanto o comprimento de suas bordas quanto o comprimento das diagonais de cada uma de suas faces são números inteiros.

Embora Euler não tenha sido o primeiro cientista a estudar os orthedra que cumprem essa propriedade, ele encontrou resultados interessantes sobre eles.

O menor tijolo de Euler foi descoberto por Paul Halcke e os comprimentos de suas bordas são a = 44, b = 117 ec = 240.

Um problema em aberto na teoria dos números é o seguinte

Existem ortopédicos perfeitos?

No momento, essa pergunta não foi respondida, pois não foi possível provar que não existem tais órgãos, mas nenhum deles foi encontrado.

O que foi demonstrado até agora é que existem paralelepípedos perfeitos. O primeiro a ser descoberto tem o comprimento de suas arestas como valores 103, 106 e 271.

Bibliografia

  1. Guy, R. (1981). Problemas não resolvidos na teoria dos números. Springer
  2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria Progresso
  3. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
  4. Rendon, A. (2004). Desenho técnico: Livro de atividades 3 2º bacharelado. Tebar
  5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. México: Continental.

Deixe um comentário