O paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional que possui seis faces retangulares, sendo que as faces opostas são paralelas entre si. Suas arestas são perpendiculares entre si, o que confere ao paralelepípedo características únicas. Este sólido pode ser classificado em três tipos: retângulo, quadrado e cubo, dependendo das medidas de suas arestas. A área de um paralelepípedo pode ser calculada somando a área de todas as suas faces, enquanto o volume é obtido multiplicando a área da base pela altura do sólido. O paralelepípedo é uma figura importante na geometria espacial e possui diversas aplicações práticas em diversas áreas do conhecimento.
Descubra a medida da superfície do paralelepípedo de forma simples e rápida!
Para calcular a medida da superfície de um paralelepípedo, você precisa primeiro identificar as medidas de suas três faces: comprimento, largura e altura. Em seguida, utilize a fórmula matemática para encontrar a área total da superfície.
A fórmula para calcular a área da superfície de um paralelepípedo é: 2 x (comprimento x largura + largura x altura + comprimento x altura).
Por exemplo, se as medidas do paralelepípedo forem: comprimento = 5 cm, largura = 3 cm e altura = 4 cm, então a área da superfície será: 2 x (5 x 3 + 3 x 4 + 5 x 4) = 2 x (15 + 12 + 20) = 2 x 47 = 94 cm².
Portanto, a medida da superfície do paralelepípedo neste caso é de 94 cm².
Calculando a área da superfície de um paralelepípedo pode ser feito de forma simples e rápida, desde que você tenha as medidas corretas das faces e utilize a fórmula correta. Agora você pode aplicar esse conhecimento para resolver problemas de geometria relacionados a paralelepípedos.
Descubra o volume de todos os paralelepípedos apresentados nesta questão matemática.
Os paralelepípedos são figuras geométricas tridimensionais que possuem seis faces retangulares, onde as faces opostas são iguais e paralelas. Eles são caracterizados por possuírem três pares de arestas paralelas entre si. Além disso, os paralelepípedos possuem características como comprimento, largura e altura, que são importantes para o cálculo de sua área e volume.
Para encontrar o volume de um paralelepípedo, basta multiplicar suas três dimensões: comprimento, largura e altura. A fórmula matemática para calcular o volume de um paralelepípedo é: volume = comprimento x largura x altura.
Na questão matemática apresentada, é necessário descobrir o volume de todos os paralelepípedos mostrados. Para isso, basta aplicar a fórmula do volume a cada um dos paralelepípedos, multiplicando seus respectivos comprimentos, larguras e alturas.
É importante lembrar que o volume é uma medida tridimensional que expressa o espaço ocupado por um objeto. Portanto, ao calcular o volume de um paralelepípedo, estamos determinando a quantidade de espaço que ele ocupa no espaço tridimensional.
Em resumo, para descobrir o volume de todos os paralelepípedos apresentados nesta questão matemática, basta multiplicar as dimensões de cada paralelepípedo e somar os resultados. Assim, será possível encontrar o volume total dos paralelepípedos em questão.
Tipos de formas geométricas: conheça as principais figuras geométricas e suas características.
As formas geométricas são figuras que possuem características específicas e podem ser classificadas de acordo com suas propriedades. Entre as principais figuras geométricas estão o quadrado, o retângulo, o triângulo, o círculo e o paralelepípedo.
O paralelepípedo é um sólido geométrico formado por seis faces retangulares, sendo três pares de faces paralelas entre si. Ele possui 8 vértices e 12 arestas. Os tipos de paralelepípedo mais comuns são o cubo, que possui todas as faces congruentes, e o retângulo, que possui bases retangulares e faces laterais retangulares ou quadradas.
A área de um paralelepípedo é a soma das áreas de suas faces. Para calcular a área de um paralelepípedo, basta multiplicar o perímetro da base pela altura. Já o volume de um paralelepípedo é calculado multiplicando-se o comprimento, a largura e a altura do sólido.
Em resumo, o paralelepípedo é uma figura geométrica tridimensional que possui seis faces retangulares, três pares de faces paralelas, 8 vértices e 12 arestas. Existem diferentes tipos de paralelepípedo, como o cubo e o retângulo, cada um com suas características específicas. Para calcular a área de um paralelepípedo, basta multiplicar o perímetro da base pela altura, enquanto o volume é calculado multiplicando-se o comprimento, a largura e a altura do sólido.
Quantos quadrados podem ser formados em um paralelepípedo?
O paralelepípedo é um sólido geométrico formado por seis faces retangulares, onde as faces opostas são paralelas e congruentes. Suas principais características são a presença de três pares de faces paralelas e ângulos retos em todas as interseções das faces.
Para calcular quantos quadrados podem ser formados em um paralelepípedo, é importante lembrar que um quadrado é um polígono de quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Como o paralelepípedo possui faces retangulares, é possível que alguns desses quadrados sejam formados em suas faces.
Para determinar o número de quadrados em um paralelepípedo, basta contar quantos quadrados podem ser formados em cada face e somar todos os resultados. Em cada face do paralelepípedo, podemos encontrar quatro quadrados que podem ser formados, pois cada lado da face pode ser a base de um quadrado.
Portanto, considerando que um paralelepípedo possui seis faces, podemos concluir que vinte e quatro quadrados podem ser formados em um paralelepípedo.
Assim, ao analisarmos a estrutura do paralelepípedo e suas características, podemos facilmente determinar quantos quadrados podem ser formados em suas faces e obter o resultado final somando o número de quadrados em cada uma das seis faces.
Paralelepípedo: características, tipos, área, volume
Um paralelepípedo é um corpo geométrico formado por seis faces, cuja principal característica é que todas as faces são paralelogramos e também as faces opostas são paralelas uma à outra.É um poliedro comum em nossas vidas diárias, pois podemos encontrá-lo em caixas de sapatos, na forma de um tijolo, na forma de um microondas, etc.
Sendo um poliedro, o paralelepípedo inclui um volume finito e todas as suas faces são planas. Faz parte do grupo de prismas, que são os poliedros em que todos os seus vértices estão contidos em dois planos paralelos.
Elementos do paralelepípedo
Faces
São cada uma das regiões formadas por paralelogramos que limitam o paralelepípedo. Um paralelepípedo tem seis faces, em que cada face tem quatro faces adjacentes e uma oposta. Além disso, cada face é paralela ao seu oposto.
Bordas
Eles são o lado comum de duas faces. No total, um paralelepípedo tem doze arestas.
Vertex
É o ponto comum de três faces que são adjacentes umas às outras duas a duas. Um paralelepípedo tem oito vértices.
Diagonal
Dadas duas faces de um paralelepípedo opostas uma à outra, podemos desenhar um segmento de linha que vai do vértice de uma face ao vértice oposto da outra.
Esse segmento é conhecido como diagonal de paralelepípedo. Cada paralelepípedo possui quatro diagonais.
Centro
É o ponto no qual todas as diagonais se cruzam.
Características do Parallelepiped
Como já mencionado, esse corpo geométrico possui doze arestas, seis faces e oito vértices.
Em um paralelepípedo, podem ser identificados três conjuntos constituídos por quatro arestas, paralelas entre si. Além disso, as bordas desses conjuntos também cumprem a propriedade de ter o mesmo comprimento.
Outra propriedade que os paralelepípedos possuem é que são convexos, ou seja, se pegarmos dois pontos pertencentes ao interior do paralelepípedo, o segmento determinado por esse par de pontos também estará dentro do paralelepípedo.
Além disso, os paralelepípedos sendo poliedros convexos estão de acordo com o teorema de Euler para poliedros, o que nos dá uma relação entre o número de faces, o número de arestas e o número de vértices. Essa relação é dada na forma da seguinte equação:
C + V = A + 2
Esse recurso é conhecido como recurso e Euler.
Onde C é o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.
Tipos
Podemos classificar paralelepípedos com base em suas faces, nos seguintes tipos:
Ortopédico
Eles são os paralelepípedos onde seus rostos são formados por seis retângulos. Cada retângulo é perpendicular àqueles que compartilham arestas. Eles são os mais comuns em nossa vida diária, sendo essa a forma usual de caixas de sapatos e tijolos.
Cubo regular ou hexaedro
Este é um caso particular do anterior, onde cada uma das faces é um quadrado.
O cubo também faz parte dos corpos geométricos chamados sólidos platônicos. Um sólido platônico é um poliedro convexo, de modo que suas faces e ângulos internos são iguais entre si.
Rhombohedron
É um paralelepípedo que se parece com diamantes. Esses losangos são todos iguais, uma vez que compartilham arestas.
Rhombohedron
Suas seis faces são romboides. Lembre-se de que um romboide é um polígono com quatro lados e quatro ângulos iguais a dois ou dois. Romboides são paralelogramos que não são quadrados, retângulos ou losangos.
Por outro lado, os paralelepípedos oblíquos são aqueles em que pelo menos uma altura não corresponde à sua aresta. Nesta classificação, podemos incluir rhombohedra e rhombohedra.
Cálculo diagonal
Para calcular a diagonal de um ortopédico, podemos usar o teorema de Pitágoras para R 3 .
Lembre-se de que um ortopedista tem a característica de que cada lado é perpendicular aos lados compartilhados pela borda. Deste fato, podemos deduzir que cada aresta é perpendicular àquelas que compartilham um vértice.
Para calcular o comprimento de uma diagonal de um ortopédico, procedemos da seguinte forma:
1. Calculamos a diagonal de uma das faces, que colocaremos por base. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Vamos nomear essa diagonal d b .
2. Então, com d b , podemos formar um novo triângulo retângulo, de modo que a hipotenusa desse triângulo seja a diagonal D procurada.
3. Usamos o teorema de Pitágoras novamente e temos que o comprimento do viés diagonal é:
Outra maneira de calcular diagonais de uma maneira mais gráfica é com a soma de vetores livres.
Lembre-se de que dois vetores livres A e B são adicionados colocando a cauda do vetor B com a ponta do vetor A.
O vetor (A + B) é aquele que começa na cauda de A e termina na ponta de B.
Considere um paralelepípedo para o qual queremos calcular uma diagonal.
Identificamos as arestas com vetores convenientemente orientados.
Em seguida, adicionamos esses vetores e o vetor resultante será a diagonal do paralelepípedo.
Area
A área de um paralelepípedo é dada pela soma de cada uma das áreas de suas faces.
Se determinarmos um dos lados como base,
A L + 2A B = Área Total
Onde A L é igual à soma das áreas de todos os lados adjacentes à base, denominada área lateral e A B é a área da base.
Dependendo do tipo de paralelepípedo com o qual estamos trabalhando, podemos reescrever essa fórmula.
Área ortopédica
É dado pela fórmula
A = 2 (ab + bc + ca).
Exemplo 1
Dado o seguinte ortoedro, com lados a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcule a área do paralelepípedo e o comprimento de sua diagonal.
Usando a fórmula para a área de um ortoedro, temos que
A = 2 [(6) (8) + ( 8) (10) + (10) (6) ] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 centímetros 2 .
Observe que, como é ortopédica, o comprimento de qualquer uma das quatro diagonais é o mesmo.
Usando o teorema de Pitágoras para o espaço, temos que
D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2
Área do cubo
Como cada aresta tem o mesmo comprimento, temos que a = bya = c. Substituindo na fórmula anterior, temos
A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a 2 ) = 6a 2
A = 6a 2
Exemplo 2
A caixa de um console de jogos tem a forma de um cubo. Se quisermos embrulhar esta caixa com papel de presente, quanto papel gastaríamos sabendo que o comprimento das bordas do cubo é de 45 cm?
Usando a fórmula da área do cubo, obtemos esse
A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm 2 ) = 12150 cm 2
Área de um romboedro
Como todos os seus rostos são iguais, apenas calcule a área de um deles e multiplique por seis.
Temos que calcular a área de um losango por meio de suas diagonais com a seguinte fórmula
Um de R = (Dd) / 2
Usando esta fórmula, segue-se que a área total do romboedro é
Um T = 6 (Dd) / 2 = 3DD.
Exemplo 3
As faces do seguinte romboedro são formadas por um losango cujas diagonais são D = 7 cm ed = 4 cm. Sua área será
A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 centímetros 2 .
Área de um romboedro
Para calcular a área de um romboedro, devemos calcular a área dos romboides que o compõem. Como os paralelepípedos atendem à propriedade de que lados opostos têm a mesma área, podemos associar os lados em três pares.
Desta forma, temos que sua área será
Um T = 2b 1 h 1 + 2b 2 h 2 + 2b 3 h 3
Onde b i são as bases ligadas aos lados e h i altura relativa correspondentes a ditas bases.
Exemplo 4
Considere o seguinte paralelepípedo,
onde o lado A e o lado A ‘(seu lado oposto) são baseados em b = 10 e altura h = 6. A área marcada terá um valor de
A 1 = 2 (10) (6) = 120
B e B ‘têm b = 4 e h = 6, então
A 2 = 2 (4) (6) = 48
YC e C ‘têm b = 10 eh = 5, então
A 3 = 2 (10) (5) = 100
Finalmente, a área do romboedro é
A = 120 + 48 + 100 = 268.
Volume de um paralelepípedo
A fórmula que nos dá o volume de um paralelepípedo é o produto da área de uma de suas faces pela altura correspondente a essa face.
V = A C h C
Dependendo do tipo de paralelepípedo, esta fórmula pode ser simplificada.
Assim, temos, por exemplo, que o volume de um ortopédico seria dado por
V = abc.
Onde a, bec representam o comprimento das arestas ortopédicas.
E no caso particular do cubo é
V = a 3
Exemplo 1
Você tem três modelos diferentes para caixas de biscoitos e deseja saber em qual desses modelos pode armazenar mais cookies, ou seja, qual das caixas tem mais volume.
O primeiro é um cubo cuja borda tem um comprimento de a = 10 cm
Seu volume será V = 1000 cm 3
O segundo tem arestas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm
E, portanto, seu volume é V = 765 cm 3
E o terceiro tem e = 9 cm, f = 9 cm eg = 13 cm
E seu volume é V = 1053 cm 3
Portanto, a caixa com o maior volume é a terceira.
Outro método para obter o volume de um paralelepípedo é usar álgebra vetorial. Em particular, o produto escalar triplo.
Uma das interpretações geométricas que o produto escalar triplo tem é o do volume do paralelepípedo, cujas arestas são três vetores que compartilham o mesmo vértice como ponto de partida.
Assim, se temos um paralelepípedo e quer para saber o que o seu volume de, simplesmente representar um sistema de coordenadas em R 3 , combinando um de seus vértices com a fonte.
Em seguida, representamos as arestas que coincidem na origem com vetores, como mostrado na figura.
E, dessa maneira, temos que o volume desse paralelepípedo é dado por
V = | AxB ∙ C |
Ou, equivalentemente, o volume é o determinante da matriz 3 × 3, formada pelos componentes dos vetores de borda.
Exemplo 2
Ao representar o seguinte paralelepípedo em R 3 , podemos ver que os vetores que o determinam são os seguintes
u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ew = (-0,25, -4, 4)
Usando o produto escalar triplo, temos
V = | (uxv) ∙ w |
uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, – 15)
(uxv) ∙ w = (0,0, – 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = – 60
A partir disso, concluímos que V = 60
Considere agora o seguinte paralelepípedo em R3, cujas arestas são determinadas por vetores
A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)
O uso de determinantes nos dá que
Assim, temos que o volume do referido paralelepípedo é 112.
Ambas são formas equivalentes de calcular o volume.
Paralelepípedo perfeito
É conhecido como tijolo de Euler (ou bloco de Euler) para um ortoedro que atende à propriedade de que tanto o comprimento de suas bordas quanto o comprimento das diagonais de cada uma de suas faces são números inteiros.
Embora Euler não tenha sido o primeiro cientista a estudar os orthedra que cumprem essa propriedade, ele encontrou resultados interessantes sobre eles.
O menor tijolo de Euler foi descoberto por Paul Halcke e os comprimentos de suas bordas são a = 44, b = 117 ec = 240.
Um problema em aberto na teoria dos números é o seguinte
Existem ortopédicos perfeitos?
No momento, essa pergunta não foi respondida, pois não foi possível provar que não existem tais órgãos, mas nenhum deles foi encontrado.
O que foi demonstrado até agora é que existem paralelepípedos perfeitos. O primeiro a ser descoberto tem o comprimento de suas arestas como valores 103, 106 e 271.
Bibliografia
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- Landaverde, F. d. (1997). Geometria Progresso
- Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
- Rendon, A. (2004). Desenho técnico: Livro de atividades 3 2º bacharelado. Tebar
- Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. México: Continental.